1、张量概念及其基本运算,1、张量概念, 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具 。, 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。, 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。, 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。, 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。, 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。, 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成： M = 3n, 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。,
2、当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量；、 当取n时，n阶张量，M = 3n。, 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。, 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。, 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。,2.下标记号法,3.求和约定,关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：, 关于求和标号，即哑标有：, 求和标号可任意变换字母表示。, 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标
3、号。, 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：, 关于自由标号：,在同一方程式中，各张量的自由标号相同， 即同阶且标号字母相同。,自由标号的数量确定了张量的阶次。, 关于Kronecker delta（ ）符号：,是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号 （或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：,的作用与计算示例如下：,4.张量的基本运算,A、张量的加减：,张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：,凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：,其中各分量（元素）为：,B、张量的乘积, 对于任何阶的
4、诸张量都可进行乘法运算。, 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：, 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：,C、张量函数的求导：, 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参数xi的函数。, 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。, 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前上方加“ ”的方式来表示。例如 ，就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数xj求导。, 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。例如：,
