1、1.1.3 集合的基本运算,思考：,类比引入,两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？,思考：,类比引入,考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？,（1） A=1，3，5， B=2，4，6，C=1，2，3，4，5，6,（2）A=x|x是有理数， B=x|x是无理数， C=x|x是实数,集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的,一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）,记作：AB（读作：“A并B”）即： AB =x| x A ， ( ) x B,Venn图表示
2、：,说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）,并集概念,或,例1设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AUB,解：,例2设集合A=x|-1x2，B=x|1x3，求AUB,并集例题,解：,可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：,集合运算常用数轴画图观察,并集性质,AA ； A ； ABA B_A,并集的交换律,并集的结合律,并集的相关性质：,思考：,类比引入,考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？,（1） A=2，4，6，8，10， B=3，5，8，12，C=8,（2）A=x|x是新华中学2004年9月入学的女同学
3、，B=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学，C=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的,一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）,记作：AB（读作：“A交B”）即： A B =x| x A（ ）x B,Venn图表示：,说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合,交集概念,且,交集性质,AA ； A ； ABA A_B,(1)设A1，2，B2，3，4，则AB (2)设Ax|x2，则AB .,2,D,(4)设A1,2
4、，Ba,3，若AB1，则a ；若AB，则a .(5)设Ax|x1，Bx|x2，则AB .,1,1或2,类比并集的相关性质,例题：,例题：,解：,5,A,0,B,例题：,解：,0,B,10,C,例题：,解：,5,A,0,B,10,C,例题：,AB A, B AB，AB A AB B，AB AB,一些性质（补充）：(AB)CA(BC)；(AB)CA(BC)；A(BC)(AB)(AC)；A(BC)(AB)(AC),(2010湖南文，9)已知集合A1，2，3，B2，m，4，AB2，3，则m_.解析 由题意知m3.答案 3,6(09上海)已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_
5、答案 a1 解析 将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示要使ABR，则a1.,7你会求解下列问题吗？集合Ax|2xm，AB，则m的取值范围是 .(2)若Bx|xm，AB，则m的取值范围是 .(3)若Bx|xm5且x2m1，AB，则m的取值范围是 .,m2,m1,1m3,2利用数形结合的思想，将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用 3集合元素的互异性在解决集合的相等关系、子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多时候会造成结果失误，解题时要多留意解决集合问题时，常常要分类讨论，要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏，注
6、意检验,若已知xAB，那么它包含三种情形： xA且xB； xB且xA； xA且xB，这在解决与并集有关问题时应引起注意,在求AB时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可反之，若已知aAB，那么就可以断定aA且aB；若AB，说明集合A与B没有公共元素,例 (09全国)设集合MmZ|3m2，NnZ|1n3，则MN( ) A0,1 B1,0,1 C0,1,2 D1,0,1,2解析 M2，1,0,1，N1,0,1,2,3，MN1,0,1，故选B.,B,若集合Ax|2x3，Bx|x4，则集合AB等于( )Ax|x3或x4 Bx|1x3Cx|3x4 Dx|2x1答案 D解析 将集合A
7、、B表示在数轴上，由数轴可得ABx|2x1，故选D.,例3 已知A(x，y)|4xy6，B(x，y)|3x2y7，则AB_.,例5已知集合A4，2a1，a2，Ba5，1a，9，分别求适合下列条件的a值(1)9AB； (2)9AB.分析 9AB与9AB意义不同，9AB说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其它公共元素9AB，说明A与B的公共元素有且只有一个9.,解析 (1)9AB，9A2a19或a29，a5或a3.检验知：a5或a3满足题意(2)9AB，9AB，a5或a3.检验知：a5时，AB4，9不合题 意， a3.,已知：Ax|2x2axb0，Bx|bx2(a2)x5b0，且AB ，
8、求AB.,例6 高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？分析 借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数用card(A)表示集合A中所含元素的个数，则计数公式card(AB)card(A)card(B)Card(AB),解析 设U高一(3)班学生，A高一(3)班参加语文小组的学生，B高一(3)班参加数学小组的学生，则AB高一(3)班既参加语文小组又参加数学小组的学生 有card(U)15card(AB)15card(A)card(B)card(AB)15
9、20221047(人)故高一(3)班有47名学生,例7 设集合AyR|yx21，xR，ByR|yx1，xR，则AB( )A(0,1)，(1,2) B(0,1)C(1,2) DyR|y1,辨析 以上解法不对集合A，B应该结合代表元素从整体意义上把握，它们是当x取一切实数时所得的y的值的集合，在审题时必须首先弄清集合的本质含义 正解 AyR|y1，BR，故AByR|y1，正确答案为D.,4(09广东理)已知全集UR，集合Mx|2x12和Nx|x2k1，k1,2，的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A3个 B2个C1个 D无穷多个,B,答案 B 解析 Mx|1x3
10、，N为正奇数集， MN1,3,8定义集合运算A*Bz|zxy，xA，yB，若A1,2，B0,3，则集合A*B中所有元素之和为_答案 9解析 由A*B的定义知，A*B0,3,6， 所有元素的和为9.,三、解答题 9已知：Ax|xa|4，Bx|x1或x5，且ABR，求实数a的范围,请看下例： A=班上所有参加足球队同学 B=班上没有参加足球队同学 U=全班同学 那么S、A、B三个集合之间有什么关系？,一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe set）通常记作U,全集概念,实例引入,请看下例： A=班上所有参加足球队同学 B=班上没有参加足球
11、队同学 U=全班同学 那么U、A、B三个集合之间有什么关系？,A=1,2,3,4 B=5,6,7,8 U=1,2,3,4,5,6,7,8 那么U、A、B三个集合之间有什么关系？,全集,1,2, 5,63,4 7,8,U,1,23,4,对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集（complementary set）,简称为集合A的补集,补集概念,记作： A即： A=x| x U 且x A,U,A,A,说明：补集是与全集同时存在的。补集的概念必须要有全集的限制,Venn图表示：,补集的性质,(1)、A( A )= .,(2)、A( A )=,问题
12、：,在下面的范围内求方程 的解集：,（1）有理数范围；（2）实数范围,并回答不同的范围对问题结果有什么影响？,解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：,（2）在实数范围内有三个解2， ， ，即：,补集例题,例设U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，B=3，4，5，6，求 A， B,解：根据题意可知：U=1，2，3，4，5，6，7，8， 所以： A=4，5，6，7，8， B=1，2，7，8,说明：可以结合Venn图来解决此问题,补集例题,例6设全集U=x|x是三角形，A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形.求AB， （AB）,解：根据三角形的分类可知,AB ，,AB x|x是锐角
13、三角形或钝角三角形，,（AB）x|x是直角三角形,例. 设全集为R,求 A , B,解 ： A,5,A,A,A,例 设U=x|x是小于9的正整数,A=1,2,3 B=3,4,5,6,求CUA,CUB.,解:根据题意可知,U=1,2,3,4,5,6,7,8, 所以 CUA=4,5,6,7,8CUB=1,2,7,8 .,例. 设全集为R,求 A , B,解 ： B,3,B,B,小结,说明: (1)涉及不等式,常用数轴法.注意标明实心,空心,1.已知xR，集合A=-3,x2,x1,B=x3,2x1,x21 如果AB=-3，求AB。,2. 已知集合A=x |2x4,B=x| xa 若AB=,求实数a的
14、取值范围; 若AB=A,求实数a的取值范围,3，Ax |2x5,Bx | m1x2m1，若ABA，求m的取值范围.,练习：1. 判断正误（1）若U=四边形，A=梯形，则CUA=平行四边形,（2）若U是全集，且AB，则CUACUB,（3）若U=1，2，3，A=U，则CUA=,错,错 如图利用数轴,对,2.如果全集UN，那么N*的补集UN* ,0,3已知U1，2，3，4，5，6，A1， 3，5， 则UA_.,2，4，6,4已知UR，Ax|x15，则UA ,x|x15,5已知全集U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,3,4，则U(AB)( )A2,3 B1,4,5C4,5 D1,5答案 B解析
15、AB2,3，U(AB)1,4,5,6(09浙江理)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB( )Ax|0x1答案 B 解析 Bx|x1，UBx|x1， AUBx|x0x|x1x|0x1 故选B.,2. 设集合A=|2a1|，2，B=2，3，a2+2a3且CBA=5，求实数a的值。,解：易得集合A中没有5，集合B中一定有5.,a2+2a35.,a2 or 4.,接下来验证是否满足题意要求。,此步骤一般不可少！,当a2时，|2a1|3. 此时，满足CBA5.,当a4时，|2a1|9. 此时，显然不满足.,综上所述，a2.,几点说明,（1）补集是相对全集而言，离开全集谈补集 没有意义； （2）若B
16、UA，则A UB，即 U(UA)A； （3） UU， UU(4) U(AB)=( UA) ( UB) U(AB)=( UA) ( UB),例2 设全集U，已知集合M、P、S之间满足关系：MUP，PUS，则集合M与S之间的正确关系是( )AMUS BMSCS M DM S,分析 研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致解题的失误解析 由图形可得正确选项为B.,例3 已知Ax|x3，Bx|xa (1)若AB，问RBRA是否成立？ (2)若RARB，求a的取值范围解析 (1)AB，如图(1) a
17、3，而RBx|xa，RAx|x3 RBRA.即RBRA成立,(2)如图(2)， RAx|x3，RBx|xa RARB，a3. 故所求a的取值范围为a|a3,总结评述：解决这类问题一要注意数形结合，以形定数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然功亏一篑,已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，则实数a_.答案 2 解析 由PUPU知，,已知全集U=1，2，3，4，5， 非空集 A=xU|x25x+q=0，求CUA及q的值。,解：集合A非空，则x25x+q=0一定有解.,由根及韦达定理知：,x1x25，254q0，q x1x2.,x1，x2的组合可以是：1和4，2和3.
18、,即A1，4，2，3., CUA2，3，5，q4； or CUA1，4，5，q6.,解：不等关系一般都会借助于数轴。,前面几个例题都是等式关系，接下来我们来思考不等关系。,在数轴上画出集合A的区域如下所示：,例 已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围分析 集合A是由方程x24mx2m60的实根组成的集合，AB说明方程的根可能为：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况，分别求解十分麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，先由0求出全集U，然后求方程两根均为非负时m的取值范围，最后再利用“补集”求解,解：不等关系一般都
19、会借助于数轴。,前面几个例题都是等式关系，接下来我们来思考不等关系。,在数轴上画出集合A的区域如下所示：,例 已知集合UxR|1x7，AxR|2x5，BxR|3x7，求(1)(UA)(UB)；(2)U(AB)；(3)(UA)(UB)；(4)U(AB)(5)观察上述结果你能得出什么结论,解析 利用数轴工具，画出集合U、A、B的示意图，如下图所示可以得到，ABxR|3x5ABxR|2x7，UAxR|1x2或5x7，UBxR|1x3或x7,从而可求得 (1)(UA)(UB)xR|1x27 (2)U(AB)xR|1x27 (3)(UA)(UB)xR|1x3或5x7 (4)U(AB)xR|1x3或5x7 (5)认真观察不难发现： U(AB)(UA)(UB)； U(AB)(UA)(UB),设U1,2,3,4,5,6,7,8，A3,4,5，B4,7,8，求UA，UB，(UA)(UB)，(UA)(UB)答案 UA1，2，6，7，8， UB1，2，3，5，6， (UA)(UB)1，2，6， (UA)(UB)1，2，3，5，6，7，8,1求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合,知识小结,3注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法,2区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,
