1、2019/4/22,第4篇 电磁学,电荷与真空中的静电场 导体和电介质中的静电场 恒定电流与真空中的恒定磁场 磁介质中的恒定磁场 电磁场与麦克斯韦方程组,2019/4/22,第9章 电荷与真空中的静电场,9.1 电荷 库仑定律 9.2 电场和电场强度 9.3 电通量 真空中静电场的高斯定理 9.4 静电场力的功 真空中静电场的环路定理 9.5 电势 9.6 电场强度和电势的关系,内容提要,2019/4/22,9.1 电荷 库仑定律,9.1.1 电荷的量子化,1. 实验表明:,自然界只存在两种电荷，分别称为正电荷和负电荷。,同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。,2. 电荷的量子化：电荷量不连续的
2、性质.,C (库仑)为电量的单位.,通常的计算中, e 取:,带电体所带的电量： q=ne (n=1, 2, ),2019/4/22,9.1.2 电荷守恒定律,一个孤立系统（即与外界无电荷交换的系统）的总电荷数（正负电荷的代数和）保持不变，即电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一个部分转移到物体的另一部分。,自然界的基本守恒定律之一,2019/4/22,9.1.3 真空中的库仑定律,1. 点电荷,在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷.,2. 库仑定律,真空中两个静止的点电荷之间存在着相互作用力,其大小
3、与两点电荷的电量乘积成正比，与两点电荷间的距离平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线，同性电荷互相排斥，异性电荷互相吸引,其数学表达形式 :,静电力(库仑力),2019/4/22,矢量形式:,电荷q2对q1的作用力F12 :,真空中的电容率（介电常数）,说明,(1) 库仑定律只适用于真空中静止的点电荷；,(2) 静电力(库仑力)满足牛顿第三定律；,(3) 在原子中，一般,2019/4/22,9.2 电场和电场强度,9.2.1 电场, 后来: 法拉第提出近距作用,并提出力线和场的概念., 早期：电磁理论是超距作用理论.,电场是物质存在的一种形态,它分布在一定范围的空间里,并和一切物质一样,具
4、有能量、动量、质量等属性., 电场的特点:,(1) 对位于其中的带电体有力的作用;,(2) 带电体在电场中运动,电场力要做功.,2019/4/22,9.2.2 电场强度,1. 试验电荷q0,带电量足够小,点电荷,例:,将同一试验电荷 q0 放入电场的不同地点：,q0 所受电场力大小和方向逐点不同.,电场中某点P处放置不同电量的试验电荷:,所受电场力方向不变，大小成比例地变化.,电场力不能反映某点的电场性质.,2019/4/22,比值 与试验电荷 无关，仅与该点处电场性质有关.,2. 电场强度E,电场中某点的电场强度 E 的大小,等于单位试验电荷在该点所受到的电场力的大小,其方向与正的试验电荷受
5、力方向相同.,单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m).,2019/4/22,9.2.3 点电荷与点电荷系的电场强度,1. 点电荷的电场强度,试验电荷q0所受的电场力为:,由场强的定义可得场强为:,点电荷的场强,(1) 的大小与 q 成正比，与 r2成反比；,(2) 的方向取决于 q 的符号.,讨论,2019/4/22,点电荷的电场是辐射状球对称分布电场.,2019/4/22,2. 点电荷系的电场强度,设空间电场由点电荷q1、q2、qn激发.,则各点电荷在P点激发的场强分别为:,P点的总场强为:,点电荷系在某一点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和,电场强度
6、叠加原理,2019/4/22,3. 连续分布的任意带电体场强,整个带电体在P点产生的总场强为:,在带电体上任取一个电荷元 dq， dq在某点P处的场强为:,: 电荷线密度,: 电荷面密度,: 电荷体密度,2019/4/22,矢量积分步骤：,(1) 选取坐标系;,(5) 分别积分： ;,(6) 写出合场强： .,(4) 根据几何关系统一积分变量;,(2) 选积分元，写出 ;,(3) 写出 的投影分量式: ;,2019/4/22,9.2.4 电场强度的计算,例：电偶极子的场强,有两个电荷相等、符号相反、相距为l 的点电荷+q和 -q，它们在空间激发电场。若场点P到这两个点电荷的距离比 l 大很多时
7、，这两个点电荷构成的电荷系称为电偶极子.,由-q指向+q的矢量 称为电偶极子的轴,称为电偶极子的电偶极矩(电矩)，用 表示,(1) 电偶极子轴线延长线上一点的电场强度;,下面分别讨论：,(2) 电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度.,2019/4/22,解:,(1)延长线上:,2019/4/22,（2) 中垂线上：,2019/4/22,P,它在空间一点P产生的电场强度. （P点到杆的垂直距离为a),解:,dq,r,由图上的几何关系:,2,1,例:,长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 .,求:,2019/4/22,(1) a L 杆可以看成点电荷,讨论,(2) 无限长带电直线,2019/4/22
8、,圆环轴线上任一点P 的电场强度.,R,P,解:,dq,r,例:,半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q .,求:,圆环上电荷分布关于x 轴对称,x,2019/4/22,(1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时，,(2) 当 xR 时,可以把带电圆环视为一个点电荷.,讨论,2019/4/22,求面密度为 的带电薄圆盘轴线上的电场强度,解：,P,r,例：,R,2019/4/22,(1) 当R x ，圆盘可视为无限大薄板,(2),(3) 补偿法,p,讨论,2019/4/22,9.3 电通量 真空中静电场的高斯定理,9.3.1 电场线（电力线）,1) 曲线上一点的切线方向表示该点场强的方向；,
9、2) 在垂直于场强方向的面积元 dS上通过的电场线数dN 正比于该点场强 E 的大小.,1. 电场线的概念: 在电场中画一系列曲线，使得:,电场线密度,2019/4/22,2. 静电场中电场线的性质,1）电场线起始于正电荷，终止于负电荷；,2）电场线永不闭合；,3）电场线永不相交.,2019/4/22,9.3.2 电通量,通过电场中某一曲面的电场线数.,1. 电场强度通量的定义：,2. 电场强度通量的计算:,1) 均匀电场中,平面 S 的法向矢量与场强成 角,平面 S 与场强垂直,则:,则:,2019/4/22,2) 非均匀电场中,在 S上任取一小面元 dS,有:,非闭合曲面,凸为正，凹为负,
10、闭合曲面,向外为正，向内为负,(2) 电通量是代数量,为正,为负,对闭合曲面:,方向的规定：,(1),讨论,2019/4/22,9.3.3 真空中静电场的高斯定理,Carl Friedrich Gauss (17771855) 德国数学家和物理学家,高斯定理讨论的是:,封闭曲面的电通量与该曲面内包围的电荷之间的关系,2019/4/22,1. 点电荷的情况,1) 通过以点电荷为球心,半径为R的球面的电通量:,与 方向相同, 即:,对以q为中心而 R不同的任意球面而言, 其电通量都相等.,推论：,2019/4/22,2) 点电荷不位于球面的中心,3) 点电荷位于任意形状的封闭曲面内,结论: e 与
11、曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关.,以 q为中心作一球面S通过S的电力线都通过S.,同理:,4) 点电荷位于封闭曲面外,穿入、穿出S的电力线数相等,2019/4/22,2. 多个点电荷的情况,根据场强叠加原理:,推广: 点电荷系的情况,2019/4/22,3. 静电场的高斯定理（Gauss theorem）,（不连续分布的带电体）,（连续分布的带电体）,(1) 高斯定理反映了静电场的性质有源场;,在真空静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电量的代数和的 倍., 为电荷体密度，V 为高斯面所围体积.,讨论:,(2) 是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关.,2019/4
12、/22,9.3.4 高斯定理的应用,球对称 柱对称 面对称,球体 球面 (点电荷),无限长柱体 无限长柱面 无限长线,无限大的平板 无限大的平面,对带电体电荷的分布具有某种对称性的情况下，利用高斯定理求 E 较为方便.,常见均匀带电体的对称性：,2019/4/22,利用高斯定理解题的一般步骤：,2) 选择适当的闭合曲面（高斯面）,3) 计算,4) 计算,1) 分析电场所具有的对称性质,2019/4/22,求均匀带电球体内、外任一点的场强. (已知球体半径为 R , 带电量为 Q , 电荷体密度为 ),例:,解：,（1）求球体外任一点的场强,( r R ),作如图所示高斯面, 由高斯定理有:,电
13、场分布具有球对称性,2019/4/22,（2）求球体内任一点的场强,（ r R ）,作如图所示高斯面, 由高斯定理有:,若为一均匀带电球面，总电量为Q，半径为R, 结果又如何?,电场分布曲线,2019/4/22,求无限长均匀带电直线在空间任一点的场强. （已知线电荷密度为 ）,例:,解:,电场分布具有柱对称性,过直线外任一点P作一个以带电 直线为轴，以l 为高的圆柱形闭 合曲面S 作为高斯面.,r,2019/4/22,解:,电场分布具有面对称性,选取一个圆柱形高斯面,已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为.,电场强度分布,求:,例:,电场分布曲线,2019/4/22,例:,已知一厚度为d的无
14、限大平板电荷体密度为 .,板外：,板内：,解:,选取如图的圆柱面为高斯面,求:,电场强度分布,S,S,电场分布具有面对称性,电场分布曲线,2019/4/22,选取高斯面的原则：,2) 高斯面是简单的几何面（球面、圆柱面或长方体面等）或是它们的组合；,3) 选取高斯面时，可以将E从积分号内提出.,1) 所求的场点必须在高斯面上；,2019/4/22,9.4 静电场力的功 真空中静电场的环路定理,9.4.1 静电场力做功的特点,1. 单个点电荷产生的电场中,B,A,L,q0,O,C,电场力对q0作的元功为：,已知点电荷的电场强度为：,由图中几何关系：,2019/4/22,2. 点电荷系产生的电场中
15、,电荷系q1、q2、的电场中，移动q0，有:,由场强叠加原理:,(与路径无关),(与路径无关),同理: 对连续分布带电体可得同样结果.,2019/4/22,结论,一试验电荷q0在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时, 静电场力对它所做的功, 仅与试验电荷 q0 及路径的起点和终点的位置有关, 而与该路径的形状无关.,静电力保守力; 静电场保守力场,2019/4/22,9.4.2 静电场的环路定理,在静电场中,沿闭合路径移动q0,电场力做功可表示为：,B,D,静电场的环路定理,在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零.,2019/4/22,(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，
16、可用环路定理检验一个电场是不是静电场.,不是静电场,讨论,(2) 环路定理要求电力线不能闭合.,(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能.,2019/4/22,9.5 电 势,9.5.1 电势能,力学,保守力场,引入势能,静电场,保守力场,引入静电势能,重力等力,静电场力,取势能零点: E“0” = 0,q0 在电场中某点 A 的电势能：,点电荷q0 在电场中某点处电势能, 在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所做的功.,表明：,2019/4/22,(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有;,说明,(3) 选势能零点原则：,(2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两
17、点的差值与零点选取无关;, 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点., 当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在无穷远处;, 无限大带电体势能零点一般选在有限远处一点;,2019/4/22,试计算在带电量为Q 的点电荷所产生的静电场中，电量为q 的点电荷在A点处的电势能.,解：,例:,2019/4/22,9.5.2 电势和电势差,比值与试验电荷无关, 反映了电场在 A 点的性质.,定义A 点的电势UA：,在电场中某一点A的电势UA, 在数值上等于把单位正试验电荷从点 A移到势能零点处时, 静电场力所做的功.,表明：,1. 电势,电势的单位为J/C，称为伏特，记作V.,2019/4/22
18、,2. 电势差（电压）,电场中点和点B两点间的电势差(电压)为:,静电场中A、B两点的电势差UAB, 在数值上等于把单位正试验电荷从点 A 移到点 B时, 静电场力所做的功.,表明：,把q从点A移到点B 时，静电场力做的功可表示为:,2019/4/22,如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为q 的点电荷.,解:,选无穷远为电势能零点,q 在a 点和 b 点的电势能.,求:,例:,选 C 点为电势能零点,两点的电势能差：,2019/4/22,9.5.3 点电荷的电势 电势的叠加原理,取无限远处为零电势参考点，a点电势为：,(1) q0：各点的电势为正，离q愈远电势愈低
19、，在无限远处电势最低并为零； (2) q0：各点的电势为负，离q愈远电势愈高，在无限远处电势最高并为零.,讨论：,电力线的方向指向电势降落的方向,1. 点电荷电场中的电势,2019/4/22,2. 电势叠加原理,(1) 对q1、q2、qn构成的点电荷系:,点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代数和.,电势叠加原理,2019/4/22,(2) 电荷连续分布带电体电场中的电势,任取一电荷元dq， a点的电势为:,说明,(2) 选电势为零的参考点原则：,(1) 电荷在某点电势的值与电势为零的参考点选取有关,而两点的差值与电势为零的参考点选取无关;, 实际应用中取
20、大地、仪器外壳等的电势为零., 当(源)电荷分布在有限范围内时，电势为零的参考点一般选在无穷远处;, 无限大带电体电势为零的参考点一般选有限远处一点;,2019/4/22,9.5.4 电势的计算,方法,（2）已知电荷分布,（1）已知场强分布,2019/4/22,(1) O点到四个顶点的距离均为:,例:,求:,(1) 正方形中心O处的电势； (2) 如果将试验电荷q0从无限远处移到O点，电场力做功多少？,四个电量均为 q 的点电荷，分别放在边长为 a 的正方形的四个顶点上.,解：,(2),2019/4/22,均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为.,解:,建立如图坐标系，选取电荷元 dq.,例:,圆
21、环轴线上一点的电势.,求:,2019/4/22,求圆盘轴上一点的电势.,取微元:,例:,解：,当 xR 时,2019/4/22,例：,求均匀带电球壳的电场的电势分布.,解：,设无限远处为电势零点, 则距离球心rP的P点处电势为：,根据高斯定理可得：,2019/4/22,讨论：,(1) 球壳内任一点的电势与球壳的电势相等(等势);,(2) 球壳外的电势与球壳上的电荷集中于球心的点电荷的电势相同.,2019/4/22,半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体.,解:,根据高斯定理可得：,求:,带电球体的电势分布.,例:,对球外一点P ：,对球内一点P1 ：,2019/4/22,求电荷线密度为 的无限
22、长带电直线的电势分布.,解：,分析: 选择某一定点为电势零点,现选距离线长为 a 处的P0点为电势0点.,例:,2019/4/22,9.6 电场强度和电势的关系,9.6.1 等势面,电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.,等势面的性质:,(1) 沿等势面移动电荷, 电场力不做功;,(2) 等势面处处与电场线正交;,q 0 E 0 d l 0,(3) 等势面稠密处 电场强度大.,规定: 电场中任意两个相邻等势面之间的电势差都相等,2019/4/22,平行板电容器,2019/4/22,9.6.2 电场强度与电势梯度,取两个相邻的等势面，等势面法线方向为,把点电荷从P移到Q，电场力做功为：,，设,
23、的,相同，,方向与,任意一场点P 处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。,2019/4/22,在直角坐标系中:,另一种理解:,电势沿等势面法线方向的变化率最大.,电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值.,2019/4/22,某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电场强度与电势梯度的关系.,例:,求:,（2，3，0）点的电场强度.,已知:,解:,2019/4/22,讨论：,(3) 电势为零处, 场强不一定为零；场强为零处，电势也不一定为零;,(1) 静电场各点场强的大小等于该点电势空间变化率的最大值，方向垂直于等
24、势面指向电势降落的方向;,(2) 在电势不变的空间, 电势梯度为零, 则场强必为零;,(4) 为我们了提供一种计算场强的方法.,2019/4/22,静电场的基本定律库仑定律 静电场的两条基本定理高斯定理和环路定理 描述静电场的两个基本物理量电场强度和电势,本章主要内容:,第9章 电荷与真空中的静电场 小结,2019/4/22,1. 库仑定律,矢量形式:,2. 电场强度E,电场中某点处的电场强度 E 等于位于该点处的单位试验电荷所受的电场力.,一个孤立系统（即与外界无电荷交换的系统）的总电荷数（正负电荷的代数和）保持不变，即电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从
25、物体的一个部分转移到物体的另一部分。,2019/4/22,(1) 点电荷的场强:,(2) 点电荷系的场强:,(3) 电荷连续分布的带电体的场强:,2019/4/22,矢量积分步骤：,(1) 选取坐标系;,(5) 分别积分： ;,(6) 写出合场强： .,(4) 根据几何关系统一积分变量;,(2) 选积分元，写出 ;,(3) 写出 的投影分量式: ;,2019/4/22,3. 电场强度通量的计算:,4. 静电场的高斯定理（Gauss theorem）,（不连续分布的带电体）,（连续分布的带电体）, 为电荷体密度，V 为高斯面所围体积.,在真空静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电量的代数和的 倍.,2019/4/22,利用高斯定理解题的一般步骤：,2) 选择适当的闭合曲面（高斯面）,3) 计算,4) 计算,1) 分析电场所具有的对称性质,2019/4/22,5. 静电场的环路定理,在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零.,6. q0 在电场中某点 A 的电势能：,7. 电势:,电势的计算,方法,（2）已知电荷分布,（1）已知场强分布,2019/4/22,8. 电场强度与电势梯度的关系,在直角坐标系中:,2019/4/22,
