1、习题 10-3 图第 10 章 静电场中的导体和电介质习 题 一 选择题10-1 当一个带电导体达到静电平衡时， (A) 表面上电荷密度较大处电势较高(B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零答案：D解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。10-2 将一个带正电的带电体 A 从远处移到一个不带电的导体 B 附近，导体B 的电势将 (A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定答案：A解析：不带电的导体 B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体 A 移到不
2、带电的导体 B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A） 。10-3 将一带负电的物体 M 靠近一不带电的导体 N，在 N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体 N 的左端接地（如图 10-3 所示） ，则 (A) N 上的负电荷入地(B) N 上的正电荷入地(C) N 上的所有电荷入地(D) N 上所有的感应电荷入地答案：A解析：带负电的带电体 M 移到不带电的导体 N 附近的近端感应正电荷；在远端N感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体 N 的电势小于 0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体 N，或导体
3、N 的负电荷入地。故正确答案为（A） 。10-4 如图 10-4 所示，将一个电荷量为 q 的点电荷放在一个半径为 的不带R电的导体球附近，点电荷距导体球球心为 d。设无穷远处为零电势，则在导体球球心 O 点有 (A) ， (B) ，0E=04qVd204qE04qV(C) ， (D) ， dR答案：A解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此 。导体0E=球球心 O 点的电势为点电荷 q 及感应电荷所产生的电势叠加。感应电荷分布于导体球表面，至球心 O 的距离皆为半径 R，并且感应电荷量代数和 为 0，因q此 。由此在导体球球心 O 点的电势等于点电荷 q 在 O 点处的04
4、qVR感 应 电 荷电势 。0d10-5 如图 10-5 所示，两个同心球壳。内球壳半径为 R1，均匀带有电量 Q；外球壳半径为 R2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为 r 处的 P 点的电场强度大小及电势分别为 (A) ， 0E=014QV(B) ， 2()R(C) ， 204r04r(D) ， QE1V答案：BqOd习题 10-4图 r1R2P习题 10-5 图解析：根据静电场的高斯定理 ，同心球壳的电场强度大小分布为0diSqEA，则点 P 的电场强度为 ，电势12200,4rREQr 0E=。1210 012d()RRVrR10-6 极板
5、间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是 (A) 电容器极板上电荷面密度增加 (B) 电容器极板间的电场强度增加(C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板间的电势差增大答案：D解析：电容器极板上电荷面密度 ，平板电荷量及面积没有变化，因此电容QS器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度 ，电容器极板间的电0E场强度不变。平行极板电容 ，两极板间距离增加，则电容减小。电容器0Cd极板间的电势差 ，电场强度 E 不变，距离 d 增大，则电势差增大。因而UEd正确答案为（D） 。10-7 在静电场中，作闭合曲面 S，若有 （式中 为电位移矢量
6、）0SDA，则 S 面内必定 (A) 既无自由电荷，也无束缚电荷 (B) 没有自由电荷(C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 (D) 自由电荷的代数和为零答案：D解析：根据有电介质时的高斯定理 ，可知 S 面内自由电荷的代diSQAD数和为零。10-8 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是 (A) 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的 倍1r(B) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的 倍1r(C) 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的 倍1r(D) 电介质中的电场强度
7、一定等于没有介质时该点电场强度的 倍r答案：A解析：各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的 倍。1r10-9 把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接。然后在两极板之间充满相对电容率为 的各向同性均匀电介质，则 r(A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小(C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加答案：D解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空中电场强度 不变化，因而各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度UEd的 倍，也不变化。各向同性介质中的电容器静电能 ，相对于1r 201rWEV真空中电容器静电能有所增加。故正确答案为（D ） 。1
8、0-10 和 两空气电容器并联起来接上电源充电。然后将电源断开，再1C2把一电介质板插入 中，如图 10-10 所示，则 (A) 和 极板上电荷都不变12(B) 极板上电荷增大， 极板上电荷不变2C(C) 极板上电荷增大， 极板上电荷减少1C(D) 极板上电荷减少， 极板上电荷增大2答案：C解析： 和 为并联，则电容器两端电势差相等。 中插入一电介质，则 的12 1C1C电容增大（ ） ， 极板上电荷增大（ ） 。由于电源断开， 和0rC1QU1C2习题 10-10 图两端总电荷量不变，因此 极板上电荷减少。故正确答案为（C） 。2C1二 填空题10-11 任意形状的导体，其电荷面密度分布为
9、（x,y ,z） ，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小 E（x,y ,z）= ，其方向 。答案： ；垂直导体表面0(,)xyz解析：处于静电平衡的导体表面附近的电场强度正比于电荷面密度，因而，方向垂直于导体表面。0(,)(,)xyzExyz10-12 如图 10-12 所示，同心导体球壳 A 和 B，半径分别为 ，分别带12R、电量 ，则内球 A 的电势 =_；若把内球 A 接地，则内球 AqQ、 AV所带电量 _。A答案： ；01024R12RQ解析：根据静电场的高斯定理 ，0diSqEA同心球壳的电场强度大小分布为 ，则内球 A 的电势12203,4,rRqErQr。若把内球 A
10、接地，则内球 A 的121230 012dd()4RRARQqVErER电势 ，解得 。012()4AqQ2A10-13 如图 10-13 所示，在真空中将半径为 R 的金属球接地，在与球心 O相距为 r ( rR )处放置一点电荷 q，不计接地导线上电荷的影响，则金属球表BQq2R1习题 10-12 图面上的感应电荷总量为 ，金属球表面电势为 。答案： ；0Rqr解析：金属球接地，则金属球的电势为 0。金属球球心电势为 ，004qQVrR感 应感 应解得，感应电荷总量为 。金属球表面是一个等势面，电势与地的电势q感 应相等，电势为 0。10-14 两带电导体球半径分别为 R 和 r(Rr)，
11、它们相距很远，用一根导线连接起来，则两球表面的电荷面密度之比 = 。:答案： rR解析：导体表面的电荷面密度反比与曲率半径，因此 。:Rr10-15 对下列问题选取“增大” 、 “减小” 、 “不变”作答。 （1）平行板电容器保持板上电量不变（即充电后切断电源） 。现在使两板的距离增大，则：两板间的电势差_,电场强度_,电容_，电场能量_。 （2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着） 。则两板间距离增大时，两板间的电场强度_，电容_，电场能量_。答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小解析：（1）保持板上电量 Q 不变，使两板的距离 d 增大。电容器极板上电荷面密度
12、 ，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，QS并且极板间的电场强度 ，电容器极板间的电场强度不变。电容器极板间0E的电势差 ，电场强度 E 不变，距离 d 增大，则电势差增大。平行极板电Ud容 ，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量 ，电荷量 Q 不0SC 2eWC变，C 减小，则电场能量 增大。eWR -qr习题 10-13 图（2）保持两板间电压 U 不变，使两板的距离 d 增大。 则极板间的电场强度，电容器极板间的电场强度减小。平行极板电容 ，两极板间距离UEd 0SCd增加，则电容减小。电场能量 ，电压 U 不变，C 减小，则电场能量21eW减小。eW10-16
13、一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质。已知相对电容率为 ，若极板上的自由电荷面密度为 ，则介质中电位移的大小 D= r ，电场强度的大小 E= ，电场的能量密度 = 。ew答案： ； ；0r20r解析：根据电介质中的高斯定理 ，得电位移矢量的大小 。由于dSDqAD，因此电场强度的大小 。电场的能量密度0rDE0rE。2200re rw（ ）10-17 在电容为 的空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距C离一半的金属板，则电容器的电容C= 。答案： 02解析：插入金属板后，电容 成为两电容 和 串联，且01C2。因此等效电容为 。12004SCCd 01210-18 一平板电容
14、器，两极板间是真空时，电容为 ，充电到电压为 时，00u断开电源，然后将极板间充满相对电容率为 的均匀电介质则此时电容r_，电场能量 _。CeW答案： ；0r20ru解析：电容器的电容仅与电容器的大小、形状及填充的电介质有关，将极板间充满相对电容率为 的均匀电介质时，电容为 。断开电源后，两极板上r 0=rC的电荷量不变化，因此电场能量 。22200()errCuQW10-19 一平行板电容器两极板间距离为 ，电荷面密度为 ，将一块相对d0电容率为 ,厚度为 均匀电介质插入到两极板间 (见图 10-19)，则电容器的2rd两极板间电压是插入前的_倍，电容器的电容是插入前的_倍，电容器储存的电能
15、是插入前的_倍。答案： ； ；34解析：电介质内部的电场强度 ，02rE插入电介质后两极板间电压 ，插入前两极板间电压为0034dUd，因此电容器的两极板间电压是插入前的 倍。电容器的电容 ，0UEd QCU电荷量 Q 不变，电容与电压 U 成反比，因此，电容器的电容是插入前的 倍。43电容器储存的电能 ，与电压 U 成正比，因此， 电容器储存的电能是12eWQ插入前的 倍。34三 计算题10-20 两块大金属板 A 和 B，面积均为 S，两块板平行地放置，间距为 d ，d 远小于板的尺度。如图 10-20 所示，现使 A 板带电 QA，B 板带电 QB 。在忽略边缘效应的情况下，试求： （1
16、）A、B 两板各个表面上的电量；（2）A、B 两板的电势差；（3）若 B 板外侧接地，A、B 两板各个表面上的电量又是如何分布？两板的电势差是多少？解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为 0，则dd+ + + +习题 10-19图A BdAQB习题 10-20图12340: /2AB1234ABSQ14 23()/()/2A ABSQS3()/2B BAQ（2） 31241234000EES0ABABQUdS（3）B 板外侧接地，则 4123012/2()ASQ14230AQ20 0AABEUEdSS10-21 如图 10-21 所示，半径为 的金属球，带电量10. mR，球外套一内
17、外半径分别 和 的同心金101CQ 223 2341 属球壳，壳上带电 ，求：(1)金属球和金属球壳的电势差；(2)若102 CQ用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳的电势各为多少？解：根据高斯定理，电场强度分布为： 112203,4,RrErQ(1) 2 21 11002dd6044RRAB QUErrVR3R211Q2O习题 10-21 图(2) 3 312122003dd744BRRQQVErrVR7AV10-22 半径为 的导体球带有电荷 Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其0内、外半径分别为 和 ，相对电容率为 ，如图 10-22 所示，求：（1）空间1R2r的电位移和电场强度分布
18、；（2）介质内的表面上的极化电荷面密度。解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球的表面，球内部没有电荷根据有电介质的高斯定理 ，iSDdQA， 20140rRDr时 ， 100rE， 2014rrQ时 ， 224D00(1)rrQ， 21234RrDr时 ， 324200rrDE， 224rrQ时 ， 424200(1)rrQ因此，空间的电位移和电场强度分布为：0R21习题 10-22 图， 02()4rRDQ 012202()4()4rrRQErR（2）介质内表面（ ）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相反，因1rR此，其面密度为： 10312211()(44rrr QER介质外表面（
19、）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相同，因此，其2R面密度为： 20322211(1)(44rrrER10-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为 100 km，求地球电离层系统的电容。 （设地球和电离层之间为真空）解：已知 6371km0k+RdRd地 球 地 球 电 离 ， ，设地球-电离层分别带点Q则根据高斯定律，地球-电离层间的电场强度为： 204QEr20011dd644RRQUErr VR电 离 电 离地 球 地 球 地 球 电 离20.58FQC地 球 电 离地 球电 离10-24 如图 10-24 所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为 d，导线半径都是 R（
20、 ） 。导线上电荷线密度分别为 和 。试求（1）两导线d间任一点 P 的电场强度；（2）两导线间的电势差；（ 3）该导体组单位长度的电容。 xOdxP习题 10-24 图解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为 的导线在点 P 处电场强度计算如下： 0 0122xhEEx方向沿 x 轴正方向， 0i同理，电荷线密度为 的导线在点 P 处电场强度为： 02()Eidx因此，两导线间任一点 P 的电场强度为：00()2(Eixdx （2）根据电势差的定义，两导线间的电势差为： 000d()ln2(R dRUrxdx （3）该导体组单位长度的电容为： 001lnlQCdR10-25 如图 10-25 所
21、示， 一平板电容器充满两层厚度各为 d1 和 d2 的电介质，它们的相对电容率分别为 和 ，极板的面积为 S。求：（1）电容器的电容；1r2（2）当极板上的自由电荷面密度为 时，两介质分界面上的极化电荷的面密度；0（3）两层介质的电位移。解：（1）设两板分别带 的电荷Q两板间没有电介质时的电场强度为： 00/SE放入电介质后，相对电容率分别为的1d21r2r习题 10-25 图电介质中电场强度为： 011rrEQS相对电容率分别为的电介质中电场强度为： 022rrEQS则两板间的电势差为： 12120()rdQUEdS电容器的电容为： 012120/()rr ddCU（2）相对电容率分别为 的
22、电介质的界面上，极化电荷面密度为：1r01101 0()()()rrrrE相对电容率分别为 的电介质的界面上，极化电荷面密度为：2r0220 0(1)(1)(1)rrrr（3）相对电容率分别为 的电介质的电位移为：1r01011rrDE相对电容率分别为 的电介质的电位移为：r02022rr10-26 如图 10-26 所示，在点 A 和点 B 之间有五个电容器，其连接如图 10-26 所示。 （1）求 A，B 两点之间的等效电容；（2）若 A，B 之间的电势差为 12 V，求 ， 和 。ACUD解：（1） (48)F1 62CD1F284ABB A C D B4 F8 F2 F6 F24 F习
23、题 10-26 图4FABC （2）AC、CD、DB 两端的电荷量相等，则 ABQUC12468124ACDBQUV 10-27 平行板电容器两极板间充满某种电介质，极板间距离 d=2 mm，电压为 600 V，若断开电源抽出电介质，则电压升高到 1800 V。求（1）电介质的相对电容率；（2）介质中的电场强度。解：已知 ， ，160U2180V2md（1）根据平行板电容器两极板间电势差的计算公式： 200(1)183EdE电介质中的电场强度为： 2r联立公式（1） 、 （2） ，可得电介质的相对电容率为： 3r（2）介质中的电场强度为： 5160V/m10/.2UEd10-28 一平行板电容器，极板形状为圆形，其半径为 8 cm，极板间距为 1.0 mm，中间充满相对电容率为 5.5 的电介质，若电容器充电到 100 V，求两极板的带电量为多少？储存的电能是多少？ 解：212 80 0.85.8419.710rSQCUCd 22 6109.7J.9JeW
