第2章运算方法与运算器.doc

1、第2章 运算方法与运算器 教学目标 数据在计算机中的表示方法及编码形式 掌握非数值型数据的表示方法及校验方法 定点加减运算以及硬件实现 定点乘除运算以及硬件实现 浮点运算以及硬件实现 运算器举例教学重点 数据在计算机中的表示方法 定点加减运算以及硬件实现 定点乘除运算以及硬件实现 浮点运算以及硬件实现教学过程2.1 数值信息的表示方法2.2 非数值信息的表示方法2.3 数据校验2.4 定点加减运算 2.5 定点乘法运算2.6 定点除法运算2.7 浮点数的算术运算2.8 逻辑运算及实现2.9 定点运算器的组成与结构 预备知识 (1/4) 数据：是对事实、概念或指令的一种特殊表达形式，可以用人工方

2、式或自动化装置进行通信、翻译转换或加工处理。 数值型数据：具有特定值的一类数据，可用来表示数量的多少，可比较其大小。 非数值型数据：包括字符数据、逻辑数据、图画、声音和活动图像数据等。 1. 数据、信息和媒体 信息：对人有用的数据，这些数据可能影响到人们的行为和决策。 信息处理：通过数据的采集和输入，有效地把数据组织到计算机中，由计算机系统对数据进行相应的处理加工（如：存储、建库、转换、合并、分类、计算、统计、汇总、传送等操作），最后向人们提供有用的信息的全过程。 预备知识 媒体：承载信息的载体。与计算机信息处理有关的媒体： 感觉媒体：能使人听觉、视觉、嗅觉、味觉和触觉器官直接产生感觉的一类媒

3、体，如声音、文字、图画、气味等，它们是人类使用信息的有效形式。 表示媒体：为了使计算机有效地加工、处理、传输感觉媒体而在计算机内部采用的特殊表示形式，即声、文、图、活动图像的二进制编码表示。 存储媒体：用于存放表示媒体以便计算机随时加工处理的物理实体，如磁盘、光盘、半导体存储器等。 表现媒体：用于把感觉媒体转换成表示媒体进而转换为感觉媒体的物理设备，如计算机的输入输出设备 传输媒体：用来将表示媒体从一台计算机传递到另一台计算机的通信载体，如同轴电缆、光纤、电话线等预备知识 (4/4) 数字化编码：用少量、简单的基本符号，选用一定的组合规则，以表示大量复杂多样的信息。 一切信息编码的两大要素 基

4、本符号的种类 组合规则 基二码：基本符号是“ ” 和“ ” 两个码 计算机内部采用的二进制表示方式的原因： （1）二进制只有两个数码“0” 和“1”，易于用物理器件表示。这些物理状态都是不同的质的变化，形象鲜明、易于区别，并且数的存储、传送和处理可靠性高。（2）运算规则简单，操作实现容易（3）二进制加、减、乘、除运算，可以归结为加、减、移位三种操作。（4）理论和实践证明，采用R= e =2.71828进制时，存储设备最省，取3 比取2更节省设备，但二进制比三进制易于表示 （5）二进制中的 “1”和“0”与逻辑命题中的“真”、“假”相对应，为计算机实现逻辑运算和程序中的逻辑判断创造了良好条件。复

5、习： 进位计数制1. 进位基数和位的权数2. 二进制数制3 .八进制数制4 .十六进制数制5 .数制之间的相互转换1. 进位基数和位的权数基数：计数制中用到的数码的个数，用R表示。位权：以基数为底的指数，指数的幂是数位的序号。对一个数S，其基数为R，则：计算机常用各种进制数的表示 2. 数制之间的相互转换 二、八、十六进制数转换为十进制数 十进制数转换为二、八、十六进制数 十进制数转换为二进制 十进制数转换为八进制、十六进制数 二进制数和八进制数、十六进制数的转换 二进制数转换为八、十六进制数 八、十六进制数转换为二进制数 2. 数制之间的相互转换二、八、十六进制数转换为十进制数 （1/2）例

6、2-1 将(11011.11) 2转换为十进制数解：(11011.11) 2=124+123+022+121+120+12-1+12-2=(27.75)10二、八、十六进制数转换为十进制数 （2/2）例2-2 将(732.6) 8转换为十进制数解：(732.6)8=782+381+280+68-1=(474.75)10例2-3 将(A5C.B2) 16转换为十进制数解：(A5C.B2)16=10162+5161+12160+1116-1+216-2=(2652.6953125)10十进制转换为二进制数 （1/3） 任一十进制数N，N=N 整 +N小 。将这两部分分开转换整数部分的转换：采用“除

7、2求余法”，转换方法为：连续用2 除，求得余数（1或0）分别为K 0、K 1、K 2、，直到商为0，所有余数排列K n-1Kn-2K2K1K0 即为所转换的二进制整数部分。小数部分的转换：采用“乘2取整法”。转换方法为：连续用2 乘，依次求得各整数位（0或1 ）K -1、K -2、K -m，直到乘积的小数部分为0。在小数转换过程中，出现F i恒不为0 时，可按精度要求确定二进制小数的位数。 十进制转换为二进制数 （2/3）例2-4 求(43) 10的二进制表示解： 除以2 商Q i 余数K i43/2 21 K0=1 21/2 10 K1=110/2 5 K2=05/2 2 K3=12/2 1

8、 K4=01/2 0 K5=1(43)10=(101011)2十进制转换为二进制数 （3/3）例2-5 求(0.6875) 20的二进制值解： 乘以2 小数F i 整数K i0.68752 0.3750 K-1=10.37502 0.7500 K-2=00.75002 0.5000 K-3=1 0.50002 0.0000 K-4=1(0.6875)10=(0.1011)2十进制数转换为八进制数、十六进制数 将十进制数转换为八进制数、十六进制数时，使用的方法与十进制数转换成二进制数的方法基本相同，只是求整数部分时是用商除以8或16，取其余数；小数部分改用乘以8 或16，取其整数即可。二进制数与

9、八进制、十六进制数间的转换 二进制转化成八(十六)进制 整数部分：从右向左按三(四)位分组，不足补零 小数部分：从左向右按三(四)位分组，不足补零八进制、十六进制数与二进制数间的转换 八(十六)进制转化成二进制 一位八进制数对应三位二进制数 一位十六进制数对应四位二进制数例2-8(247.63)8= (010 100 111.110 011)2例2-9(F5A.6B) 16= (1111 0101 1010 0110.0110 1011) 2补充： 计算机中数的表示单位和机器字长 数的表示单位： 位（Bit ）：表示数的最基本单位，对二进制只有“0”和“1” 字节（Byte）：8 位二进制数

10、字（Word）：机器字长：参加运算的寄存器所含的二进制位数，代表机器的精度 固定长度 可变字长 2.1 数值型数据的表示方法2.1 数值型数据的表示方法2.1.1 带符号数的表示 一个数的表示方法，是它们在计算机中的组成格式和编码规则。当一个数送入计算机进行运算处理时，首先将其转换为二进制数，同时还要解决以下几个问题：（1）怎样表示数的符号（2）怎样确定小数点的位置2.1.1 带符号数的表示机器数：表示一个数值数据的机内编码称为机 器数 真值：机器数的实际值 1. 机器数的原码表示 （1/3）规则：机器数的最高一位表示符号，“0”表示正号；“1” 表示负号，后面各位表示数的绝对值。整数原码的定

11、义为：X 原 为机器数的原码，X为真值，n为整数的位数。 例2-10 ：求X=1011 和Y=-1011的原码（n=5 ）解：X=1011时， 原 = 01011Y=-1011时， Y原 = 24 - (-1011) = 110111. 机器数的原码表示 （2/3） 小数原码的定义为：X 原 为机器数的原码，X为真值。 例2-11：求 X=0.1011和Y=-0.1011的原码解：X=0.1011时， 原 = 0.1011Y=-0.1011时， Y原 = 1 - (-0.1011) = 1.10111. 机器数的原码表示 （3/3） 性质： 原码最高位表示数的符号，0表示正号，1表示负号。 对

12、定点小数，有： 0不唯一定点小数 +0原 = 0.00-0原 = 1.00整数 +0原 = 000-0原 = 1002. 机器数的补码表示 （1/8）整数的补码：X补 为整数 X的补码，X为任意整数，n为整数的位数。小数的补码：X补 是小数 X的补码，X为任意小数，2为模数。2. 机器数的补码表示 （2/8）例2-12：求正整数 X=1011和负整数Y=-1011的补码 解： X补 =01011Y补 =2n+1+X=24+1+ X =100000-1011=10101 例2-13：求正小数 X=0.1011和负小数Y= -0.1011的补码解：X补 =0.1011Y补 =2+X=2-0.101

13、1=1.0101 2. 机器数的补码表示 （3/8） 性质 0的补码唯一整数0 +0补 = 000-0补 = 2n+1-000 = 2n+1=000 (mod 2n+1)小数0 +0补 = 0.000-0 补 = 2-0.000 = 2 =0.000 (mod 2) 设 X补 =XSXn-1Xn-2X1X0，X S是补码的符号位，标志整数 X的符号，X S=0时，X 为正数；X S=1时，X为负数。 补码的表示范围是：正整数 2nX0负整数 0X-2 n 整数X 的补码可以写成：X 补 = 2n+1XS + X，2 .机器数的补码表示 （4/8） 性质 整数的补码与真值之间的关系 补码与真值的

14、关系设X 补 =XSXn-1Xn-2X1X0，X 补 = 2n+1XS + X，可以 证明：X = X补 - 2n+1XS = -2nXs + Xn-1Xn-2X1X0 补码的一项算术运算特性X/2 补 是把X 补 中各位连同符号位一起都右移一位，符号位保持不变。2. 机器数的补码表示 （5/8） 补码的求法当0X-2 n时，数X的补码是：符号位为1，数值位是其真值X的数值位取反加1。也可由 X的原码X 原 求得补码X 补 ：X 补 等于 X原 除符号位外求反加1。反过来可由X的补码X 补 求得原码X 原 ：X 原 等于X 补 除符号位外求反加1 。当X 为小数时，若X 为负数，则X的补码是：

15、符号位为1，数值位是其真值X 的数值位取反末位加1 。也可由 X的原码X 原 求得补码X 补 ：X 补 等于X 原 除符号位外求反末位加1 。反过来可由 X的补码X 补 求得原码X 原 ：X 原 等于X 补 除符号位外求反末位加1 。2. 机器数的补码表示 （6/8） 由X 补 求-X 补X+Y补 = X补 + Y补X-Y补 = X补 + -Y补假设X 补 =XSXn-1Xn-2X1X0，可由X 补 按下式求得-X 补把对X 补 连同符号位在内的各位求反运算称为对X 补 “求反”运算，记为X 补 。这样对X 补 的“求补”运算可看成对X 补 “求反”运算再加1 ：-X 补 =X 补 + 1，且

16、两者有以下关系：X补 + X 补 = 2n+1 - 1 = 111(n个1)2. 机器数的补码表示 （7/8）变形补码小数“模4补码 ”的定义为：或 X补 = X (mod 4)(1) 当-1X0 ，X S=0 ，扩展后高8 位全为 0 ，低 8 位包括符号位仍为原来的数码位。 若XX-2 n即无论X 是正还是负，一律加上2 n，称2 n为基数。 移码与补码的关系：真值是正数时，移码是补码的最高位加1；真值是负数时，移码是补码的最高位减1 。即若 X补 =XSXn-1Xn-2X1X0，则 X移 =XSXn-1Xn-2X1X0 例2-14 ： X=1001，X 补 =01001 ，可求得X 移

17、=11001X=-1001，X 补 =10111 ，可求得X 移 =001114. 机器数的移( 增)码表示法 （2/2） 性质：(1) 0的移码唯一。整数0 +0移 = 2n + 000 = 1000-0移 = 2n - 000 = 1000 (2) 机器0的形式为000，它表示的真值是X 移 所能表示的最小的数。 (3) 移码的最高位是符号位，但表示的意义与原码和补码的意义相反。符号为 0时，表示负数；符号为1 ，表示正数。(4) 移码一般只进行加减运算，运算后需要对结果进行修正，修正量为 2n，即要对结果的符号位取反后，才能得到移码形式的结果。(5)通过比较两个移码的大小， 可得知其对应

18、的真值大小。5. 各种编码的比较 相同点：1、 三种编码（原码、反码、补码）的最高位都是符号位。2、 当真值为正时，三种编码的符号位都用0 表示，数值部分与真值相同。 即它们的表示方法是相同的。3、 当真值为负时，三种编码的符号位都用1 表示，但数值部分的表示各不相同，数值部分存在这样的关系：补码是原码的“求反加1”(整数) ，或者“求反末位加1”(小数)；反码是原码的“每位求反”。4、 它们所能表示的数据范围基本一样，-2 nX2n(整数)或-1X1( 小数)，补码多表示一个数 -2n(整数)或-1(小数)。 区别：在于对负数的表示方法有所不同。2.1.2 定点数和浮点数 数据的表示 定点表

19、示法 浮点表示法 任何一个二进制数N都可以表示为N=2ES其中E是一个二进制整数，称为数N的阶码，2为阶码的基数，S 是二进制小数，称为数N的尾数。E和S可正可负。尾数S 表示数N 的全部有效数据，阶码E指明该数的小数点位置，表示数据的大小范围。2.1.3 定点数表示法 阶码E保持不变 若E=0，小数点固定在最高位之前，则该数是一个纯小数或定点小数。例如 N=200.110101001=0.110101001 若E=n (n为尾数的位数)，则把小数点定在尾数最末位之后，表示一个纯整数(定点整数)。例如 N=270.1011010=010110102.1.4 浮点数的表示 2. 浮点数的格式阶码

20、位数m与尾数位数n之间有如下关系：2m-1n即表示阶码的值应保证实际的小数点可以在整个尾数的位格中移动。2.1.4 浮点数的表示3. 规格化浮点数所谓浮点数的规格化，就是通过移动尾数，使尾数M的最高位数字为1。即M 满足:1/2|S|1这个浮点数就是规格化的数，否则就不是。在字长一定的情况下，规格化的浮点数精度最高。原码规格化后：正数的尾数形式为：0.1xxx.x负数的尾数形式为：1.1xxx.x补码规格化后：正数的尾数形式为：0.1xxx.x负数的尾数形式为：1.0xxx.x思考：非规格化的数，怎样转变为规格化？2.1.4 浮点数的表示2.1.5 定点数表示法和浮点数表示法的比较 表示的数据

21、范围不同 定点表示法，8位小数，能表示的数据范围：0.00000010.1111111 （2 -71-2-7） 浮点表示法，2位阶码，1 位阶符，4 位尾数，1位尾符，能表示的范围：0.00012 -11 0.1111211 溢出情况不同 定点表示法（小数） 带符号n+1位数时： 绝对值 小于2 -n时或 大于1-2 -n时：溢出，停机。 浮点表示法： 规格化后，从阶码上分析溢出： 阶码很小时，下溢：当0；阶码超出最大值时，上溢：停机。 运算规则的复杂性不同 定点数：较简单； 浮点数：较复杂。 精度不同：规格化浮点数的精度远远大于定点数。2.1.6 十进制数据表示 人们习惯于用十进制表示数据，

22、而计算机则采用二进制表示和处理数据。所以向计算机输入数据时，需要进行十进制数到二进制数的转换；输出数据时，则要进行二进制数到十进制数的转换处理。在数据量较小的情况下，这样的转换对机器运行效率的影响不是很大。但是，在某些应用领域，运算简单而数据量很大，进行这些转换所占用的时间比例比较大。所以为了提高机器的运行效率，计算机可以用十进制来表示和处理数据。 一个十进制数位是用若干位二进制编码表示。用四位二进制代码的不同组合来表示一个十进制数码的编码方法，称为二十进制编码，也称BCD码（Binary Coded Decimal）。 常用这种编码作为十进制数转换成二进制数的中间过渡。即先将一个十进制数用B

23、CD码来表示，再把它们送入机器， 计算机通过标准子程序使其转换成纯二进制数。 2.1.7 二十进制编码原理1、二十进制的编码都采用压缩的十进制串的方法，即四个二进制位的值来表示一个十进制数码。2、各种编码的区别在于选用哪十个状态。选择的原则是：要考虑输入和输出时转换方便；内部运算时，加、减运算规则要尽量简单；在特定场合，可能有其它一些要求。3、从每个二进制位是否有确定的位权区分，可把二十进制编码分为有权码和无权码。1. 二-十进制有权码 （1/2） 对于有权码，将每位的数码与相应的位权相乘，再求和，就可以得到它所代表的十进制数值。 8421码实现加、减运算时的修正规则：（1）4位一组二进制数，

24、两个 8421码表示的数相加之和等于或小于1001，即十进制的9时，不需要修正，在各组内，二进制代码相加，仍遵循“逢二进一”的规则。（2）4位一组二进制数，两个 8421码相加结果大于1001（即十进制9 ）时，则应该对该组的4 位进行“加6 修正 ”，使它向高一组产生进位。（3）4位一组二进制数，两个 8421码相加结果大于或等于10000（即十进制16 ），而向高一组进位时，则应该对该4位进行“加6 修正 ”。1. 二-十进制有权码 （2/2） 编码方法：8421码，2421码、5211 码、4311码和84-2-1码( 四位二进制位的位权分别为8、 4、-2、-1)等。其最方便使用的共同

25、特点为：(1) 对于2421码、5211码、4311码，任何两个十进制数位，采用这三种编码的任何一种编码，它们相加之和等于或大于10 时，其结果的最高位向左产生进位，小于10时则不产生进位。这一特点有利于实现 “逢十进位 ”的计数和加法规则。(2) 对于2421码、5211码、4311码和84-2-1 码，任何两个十进制数位，采用这四种编码的任何一种编码，它们相加其和等于9时，即它们的二进制编码位互为反码，则其结果的四个二进制位一定是1111，能较好地体现十进制的按9 取补与二进制的按1 取补的对应关系，这对减法很有用。2. 二十进制无权码 （1/2） 无权码中，用的较多的是余3码(Exces

26、s-3 code)和格雷码(Gray code)，格雷码又称循环码。1. 余3码（1）余3码是在8421码的基础上，把每个代码都加上0011而形成的。（2）普通8421码的加法器仍能为余3码加法器直接利用，具体规则如下：（A）若两个十进制数的余3码相加，如果结果不产生进位，则从所得和值去减0011，便得十进制位和的余3码。（B）若两个十进制数的余3码相加，如果结果有进位，则其进位正确， 但需将所得和值加上0011，才求得十进制数和的余3码。2. 二十进制无权码 （2/2） 2. 格雷码（1）格雷码的编码规则是使相邻的两个代码，只有一个二进制位的状态不同，其余三个二进制位必须有相同状态。（2）优

27、点：从一个编码变到下一个相邻编码时，只有一个位的状态发生变化，有利于保证代码变换的连续性。在模拟/数字转换和产生节拍电位等应用场合特别有用。2.2 非数值型数据的表示法 非数值型数据：字符汉字图形图像音频、视频等等2.2.1 字符编码 1. ASCII码 2. EBCDIC码1. ASCII码 “ 美国标准信息交换代码”(American Standard Code for Information Interchange) ，简称ASCII 码。7 位二进制编码，可表示2 7=128 个字符。 ASCII 码中，编码值0 31 不对应任何可印刷（或称有字形）字符，通常称它们为控制字符，用于通信

28、中的通信控制或对计算机设备的功能控制。编码值为32 的是空格（或间隔）字符SP 。编码值为127 的是删除控制DEL 码。其余的94 个字符称为可印刷字符。 1. ASCII码（1）字符09编码满足正常排序关系高3位编码为：011低4位编码为：00001001（2）英文字母的编码满足正常排序关系大写字母：AZ：100 0001101 1010小写字母：a z： 110 0001111 10101. ASCII码2. EBCDIC码 EBCDIC 码(Extended Binary Coded Decimal Interchange Code ，扩展BCD 码) ，是8 位二进制编码，可以表示2

29、56 个编码状态，但只选用其中一部分。 主要用在IBM 公司生产的各种机器中。 2.2.2 汉字的表示 特点：（1）汉字是一种象形文字，据统计，从甲骨文至今约有六万左右的汉字。目前常见的汉字有约七千个。（2）汉字字形结构复杂，笔划繁多。（3）汉字同音字多，多音字多。 涉及多种编码： 汉字编码输入方案可以归纳为四类，即数字编码，如区位码；字音编码，如拼音码；字形编码，如五笔字型；汉字混合编码等。 1981年我国制定了信息交换用汉字编码字符集基本集GB2312-80国家标准。每个二进制编码用两个字节表示。共收录一级汉字3755个，二级汉字3008个，各种符号682个，共计7445个。2.2.2 汉

30、字的表示 汉字字符集 GB2312-80,6763个汉字，其中一级汉字3755个（按汉语拼音序），二级汉字3008个（按偏旁部首序），另外687个符号（英文、俄文、日文、罗马字母和汉语拼音）2.2.2 汉字的表示 汉字的编码2.3 数据校验码2.3.1 奇偶校验码2.3.2 海明校验码2.3.3 循环冗余校验码2.3 数据校验码1、数据校验的实现原理：数据校验码是在合法的数据编码之间，加进一些不允许出现的(非法的)编码，使合法的数据编码出现错误时成为非法编码。这样就可以通过检测编码的合法性达到发现错误的目的。2、码距：指任何一种编码的任两组二进制代码中，其对应位置的代码最少有几个二进制位不相同

31、。2.3.1 奇偶校验码1、码距=22、奇偶校验码：它是在被传送的n位信息组上， 加上一个二进制位作为校验位，使配置后的n+1位二进制代码中1 的个数为奇数( 奇校验)或偶数(偶校验)。 例：数据 奇校验编码 偶校验编码00000000 100000000 00000000001110101 001110101 101110101其中，最高一位为校验位，其余低八位为数据位。 3、奇偶校验码只能检测出数据代码中一位出错的情况，但无法判断差错所发生的位置。常用于存储器读写检查，或ASCII字符传送过程中的检查。2.3.2 海明校验码 （1/8）1原理在数据位中加入几个校验位，将数据代码的码距均匀地

32、拉大，并把数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组中。当某一位出错后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化，不但可以发现错误，还能指出是哪一位出错，为进一步自动纠错提供依据。2编码规则若海明码最高位号为m，最低位号为1，即H mHm-1H2H1，则海明码的编码规则是：（1）校验位与数据位之和为m，每个校验位P i在海明码中被分在位号2 i-1的位置上，其余各位为数据位，并按从低向高逐位依次排列的关系分配各数据位。（2）海明码的每一位位码H i（包括数据位和校验位）由多个校验位校验，其关系是被校验的每一位位号要等于校验它的各校验位的位号之和。2.3.2 海明校验码 （2/8）3增添校验位假设欲检测

33、的有效信息为n位，需增加的校验位为k位，则校验码的长度为 n+k位。校验位的状态组合，应当具有指出n+k 位中任一位有错或无错的能力，即需要区别出n+k+1 种状态。应满足以下关系式：2kn+k+1这个关系式称为海明不等式，若信息位长度n确定后，由此可得到校验位k的最短长度。确定校验位后，就可以与信息位组成海明校验位。假设数据位是7位二进制编码，据上所述，校验位的位数k为4, 故海明码的总位数为 11。它们的排列关系可表示为：海明码位号：H 11 H10 H9 H8 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1海明码： D7 D6 D5 P4 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1可知： 每个校

34、验位由其本身校验；每个数据位由若干校验位校验。2.3.2 海明校验码 （3/8）4校验位校验任务的分配：根据海明码的编码规则，每一位海明码都有多个校验位，且被校验的每一位的位号等于参与校验的几个校验位的位号之和。 占据各权位上的校验位按权组成的8421码，正好等于海明码的位号，即海明码的位号H i正好等于要校验它的校验位所占权位权值之和。例如：112 32 22 1这说明了H 11位将由 P4、P 2、P 1进行校验。校验位P 1可以校验：H 1 、H 3、H 5 、H 7 、H 9、H 11、H 13、H 15校验位P 2可以校验：H 2 、H 3、 H6、H 7 、H 10、H 11、H

35、14 、H 15校验位P 3可以校验：H 4 、H 5、 H6、 H7 、H 12、H 13、H 14 、H 15校验位P 4可以校验：H 8、H 9、 H10、H 11、H 12、H 13、H 14 、H 15根据校验时采用奇校验或偶校验，可以写出相应的校验方程。2.3.2 海明校验码 （4/8）例2-15 设有一个7 位信息码位0110001，求它的海明码。解： n=7，根据海明不等式，可求得校验位最短长度k=4 。其海明码先表示如下：海明码位号：H 11 H10 H9 H8 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1海明码： 0 1 1 P4 0 0 0 P3 1 P2 P1按偶校验写出校

36、验方程为：H1 H3H5 H7 H9H110 （P 1H 1）H2 H3 H6H7 H10H110 （P 2H 2）H4H5 H6H70 （P 3H 4）H8H9 H10H110 （P 4H 8）由此可得：P 10、P 20、P 30、P 40，所以0110001的海明码为01100000100。2.3.2 海明校验码 （5/8）5检错与纠错方法：将错了的码字重新代入校验方程校验一次即可。假设上面例子中的海明码01100000100传送后，若H 6位发生了错误，变成了01100100100，这时把它们代入上面的偶校验校验方程，如下：H1 H3H5 H7 H9H110 1 0 0 1 0 = 0

37、 = E1H2 H3 H6H7 H10H110 1 1 0 1 0 =1 = E2H4H5 H6 H70 0 1 0 = 1 = E3H8H9 H10H110 1 1 0 = 0 = E4可以把E 4E3E2E1= 0110看成一个“指误字”，因为其二进制码为0110，说明H 6出了错，是H 6错成了1，所以要纠错，纠错时将H 6位取反值，即让它恢复到正确值0。这样纠错后，即可得到正确的海明码01100000100。2.3.2 海明校验码 （6/8）6讨论：设有效信息位n=4位，则根据海明不等式，可求得校验位最短长度k=3。则：海明码位号： H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1海明码： D

38、4 D3 D2 P3 D1 P2 P1可以得到：P1参与D 1、D 2、D 4的校验； P2参与D 1、D 3、D 4的校验； P3参与D 2、D 3、D 4的校验。若采用偶校验，则：P1=D1 D2D4P2=D1 D3D4P3=D2 D3D4上述编码中，两个正确码之间若有一位有效信息不同，则由于该位至少参加两组的奇偶校验，故至少会影响到两位校验位的不同，所以这种码距=3（可以检测两位错，或检测并纠正一位错）2.3.2 海明校验码 （7/8）若按下述关系对所得的海明码进行偶校验：S1=P1 D1 D2D4S2=P2 D1 D3D4S3=P3 D2 D3D4则S 3 S2 S1可以反映出错情况

39、：（1）若S 3 S2 S1=000，无错（2）若欲传的海明码=0101101，收到0111101 ，则S 1= P1 D1 D2D4=1110=1，S 2=0，S 3=1表明第5位（D 2）出错（3）若欲传的海明码=0101101，收到0110101 ，则S 1=1，S 2=0，S 3=0表明有错，但无法判断是第1位出错，还是4、5 位同时出错。上述编码不能把两位出错和一位出错区分开来。2.3.2 海明校验码 （8/8）7改进：增加一个校验位S4=P4 P1 P2 P3 D1 D2 D3 D4P4= P1 P2 P3 D1 D2 D3 D4（1）S 4=0，S 3S2S1=000，无错（2）

40、S 4=0，S 3S2S10，表明有两位出错（3）S 4=1，S 3S2S10，可根据S 3S2S1指出的值纠正一位错。在这种情况下，因多增加一位校验位，则前面的海明不等式改为：2k-1n+k称为扩展海明码，其码距=4，可发现两位错并纠正一位错。2.3.3 循环冗余校验码 （1/7）1CRC 的编码方法n是有效数据信息位位数，r是校验位位数。总长k= n+r 位，称（k，n ）码。设待编码的有效信息以多项式M(x)表示，将M(x)左移r位得到多项式M(x)X r，使低r位二进制位全为零，以便与r位校验位拼接。使用多项式M(x)X r除以生成多项式G(x)，求得的余数即为校验位。为了得到r 位余

41、数(校验位)，G(X)必须是r+1位的。2.3.3 循环冗余校验码 （2/7）假设M(x)X r除以生成多项式G(x) ，求得的余数用表达式R(x)表示，商的表达式用Q(x)表示，它们之间的关系如下：这时将r位余数R(X)与左移r位的M(x)X r相加，就得到n+r位的CRC 编码：M(x)Xr+R(x) = Q(x)G(x) + R(x) + R(x)因为“两个相同数据的模2和为零”，即R(x) + R(x) = 0，所以，M(x)Xr+R(x) = Q(x)G(x)可以看出，所求得的CRC码是一个可被 G(X)表示的数码除尽的数码。2.3.3 循环冗余校验码 （3/7） 例 2-16 设四

42、位有效信息位是1100，选用生成多项式 G(X)=1011，试求有效信息位1100的CRC编码。解：(1) 将有效信息位1100表示为多项式M(x)M(X) = X3 + X2 = 1100(2) M(X)左移r=3位，得M(x)X 3M(x)X3 = X6 + X5 = 1100000(3) 用r+1位的生成多项式 G(X)，对M(x)X r作“模2除”1100000/1011 = 1110 + 010/1011(4) M(x)X3 与r位余数 R(X) 作“模2加”，即可求得它的CRC编码M(x)X3 + R(X) = 1100000 + 010 = 1100010 (模2加)因为k=7、

43、n=4，所以编好的 CRC码又称为(7，4)码。2.3.3 循环冗余校验码 （4/7）2模2运算：不考虑借位和进位（1）模2加减：可用异或门实现，即：0+0=0；0+1=1；1+0=1 ；1+1=0；0-0=0； 0-1=1； 1-0=1； 1-1=0；（2）模2乘法：用模2加求部分积之和例如：1011x 111011+ 1011111012.3.3 循环冗余校验码 （5/7）（3）模2除法：按模2减求部分余数，每上一位商，部分余数要减少一位，上商规则是：只要余数最高位为1，则商1 ，否则为0。当部分余数的位数小于除数时，该余数为最后余数。例如：111.商11（除数） 1000（被除数）111

44、011101112.3.3 循环冗余校验码 （6/7）3CRC 的译码及纠错CRC码传送到目标部件，用约定的多项式G(x)对收到的CRC码进行“模2除”，若余数为 0，则表明该 CRC校验码正确；否则表明有错，不同的出错位，其余数是不同的。由余数具体指出是哪一位出了错，然后加以纠正。可以证明：更换不同的有效信息位，余数与出错位的对应关系不会发生变化，只与码制和生成多项式G(X)有关。2.3.3 循环冗余校验码 （7/7）4关于生成多项式不是任何一个(k+1)位多项式都能作为生成多项式，从检错、纠错的要求来看，生成多项式应满足下列要求：(1) 任何一位发生错误，都应使余数不为零；(2) 不同位发

45、生错误，都应使余数不同；(3) 用余数补零，继续作“模2 除”，应使余数循环。 本章小结 数据可区分为数值型数据和非数值型数据。 根据基数和位的权数可将数据表示成二进制数（基数R为2），八进制数（基数R 为8 ），十六进制数（基数R为16）等。数制之间可根据基数和位的权数实现相互之间的转换。 数的表示单位是位、字节和字。 定点表示法和浮点表示法可实现数据的有效表示，可根据精度及表示范围的不同采用不同的表示方法。 带符号数的表示要注意符号的表示方法和小数点的位置。 计算机中数的表示方法有四种：原码表示法、补码表示法、反码表示法、移码表示法。 十进制的数据表示方法有：有权码（2421码、4311码、8421码等）和无权码（余3 码、格雷码等） 英文字符采用ASCII码、EBCDIC码等，但最常用的还是ASCII 码。 汉字的编码有输入码、内码、字型码等。 主要的数据校验码有：奇偶校验码、循环冗余校验码和海明校验码等。