1、通过前面的学习，我们已经知道了数据在计算机中是如何表示，那么它们是怎么参加运算的呢？或者说运算器是怎样工作的呢？要明白这个问题就是我们在这一章要学习的算术、逻辑运算的方法。,第5章 运算方法和运算器,1 移位运算和舍入操作,一、移位运算1、意义移位运算是计算机中最基本、最常见的运算操作之一。任何计算机都含有移位指令。移位操作有两种： （1）逻辑移位：寄存器中整组数据进行移位，空位补0，只有数字位置的变化，无数量变化。 （2）算术移位：寄存器中带符号数的移位，移位时，符号位保持不变，仅数量变化。在此仅讨论算术移位：当机器字长固定，左、右移位时，出现空位怎么办？,2、算术移位的规则大前提是：移位后
2、，符号位保持不变。 （1）正数：正数的符号位为0，且x原=x反=x补，故进行算术移位时，出现的空位均补0.例如：x原=0.1001， 2x原=0.0010；x反=0.0011， x反=0.0001；x补=0.1001 2x补=0.0010； （2）负数：原码的移位：除符号位外，原码的数值部分与真值相同，故移位后都补0.x原=1，0111 2x原=1，1110 x原=1，0011反码的移位：除符号位外，反码的数值部分与原码相反，故移位后都补1.x反=1，0111 2x反=1，1111 x反=1，1011 补码的移位：除符号位外，左移补0，右移补1,3、练习设X=-0.1001010，求：（1）X
3、的原码左移2位、右移2位各是多少？（2）X的反码左移2位、右移2位各是多少？（3）X的补码左移2位、右移2位各是多少？,思考：2x补=2x补成立吗？ x补= x补成立吗？ 解答：当x=0时，在不溢出的情况下，上述二式成立；当x0时，在不溢出的情况下，2x补=2x补成立,而 x补= x补不成立。 如：x=-0.0001,字长5位。x=-0.0000 x补=1.1111, x补=1.1111 x补=0.0000 又如：x=-0.10101,字长6位。x补=1.10101 x补=1.10110,二、舍入操作在算术移位时，由于硬件的限制，会失去一定的位数，造成一些误差。为减少误差，就要进行舍入操作。
4、(1)恒舍（切断）：多余的部分全部舍去 (2)冯诺依曼舍入法：末位恒置1 (3)0舍1入法： (4)ROM舍入法（查表法）,2 定点数加减法,我们来分析一下：由该例可知真值X和Y所表示的十进制数分别为（69）10和（103）10，其和为（172）10，该数用二进制数为+10101100，在机器中表示这个数需要9位。而现在机器的字长为8位，无法表示，我们把这种现象称为“溢出”（overflow）。类似的，当两个负相加，如果和正，也同样属于溢出现象。而两个异号数相加是不可能产生溢出现象的。我们再看一个例子。,例2:设机器字长为8位，X=-1000011，Y=-0100001，求X+Y 解： X补=
5、10111101+Y补=11011111X补+Y补=110011100 即X+Y补=X补+Y补=10011100 求得X+Y=-1100100 结果正确,从上面两个例子来看，一会儿是溢出，一会儿又是对，同学们是不是会问：我们怎么知道哪一种是溢出，哪一种又不是？有没有办法一下子就能判断出来呢？回答是肯定的。那就是采用多个符号位。我们把符号位用多位表示所得机器数的表示形式称为变形码。 变形码也有变形原码，变形反码和变形补码三种形式。变形码的原码，反码和补码之间的关系和一般的原码、反码和补码之间的关系一样。,三、变形补码加法对于变形补码，同样有：X+Y变补=X变补+Y变补 用这个式子进行加法运算就能
6、及时判断出溢出。我们用这个式子来计算上述 例1和例2（符号用两位表示）。其结果为01，0101100和11，0011100。前者溢出，后者没溢出。这说明，当和的两个符号位不相同时，就说明发生了溢出。讲到这里，判断溢出是解决了，但怎么解决溢出呢？,方法是这样的：将每一个加法同时除以比例因子2i，然后相加，其结果再乘以2i，即为所得。 我们来验证一下例1: 选比例因子2： X变补=00，0110011 Y变补=00，0100010 X变补+ Y变补=00，1010101 即 （X+Y）变补=00，1011010（X+Y）=00，0101011 X+Y=00，10101100 正确,3 定点原码乘法
7、,利用原码作乘法，其方法是： 1、乘积的符号等于两数的符号位异或的结果。 2、乘积的数值等于两数绝对值的积 原码乘法的实质是两个正数相乘。,由此例可以看出：手算乘法是通过移位和加法来实现的。存在如下缺点： （1）n位乘法，需n个数相加的部分积，而全加器只有三个输入端，故实现不了。 （2）n位乘法，乘积为2n位，要用2n位的寄存器来存放积，造成浪费。 （3）若用加法器做加法，n位乘法，需2n位的加法器，也造成硬件浪费。于是，在计算机中不能采用这种手算乘法，我们必须想办法达到： （1）n位乘法，只用n位的加法器，且只用两数相加的加法器。 （2）n位乘法，只用n位的寄存器来存放积。,下面将两数做乘法
8、的过程作一些变形。设被乘数为X，乘数为Y=0.1011 XY=X0.1011=X0.1+X0.00+X0.001+X0.0001 =2-1（X+2-1 （0+ 2-1 (X + 2-1X)） =2-1（X+2-1 （0+ 2-1 (X + 2-1（X+0）)） 由上式可以推导出如下规则：（1）两数相乘之前，设初始部分积为全0（位数和被乘数的位数相同）。（2）从乘数的个位乘起，乘数位为1，部分积加被乘数后结果右移一位；乘数位为0，部分积加0后结果右移一位。（3）重复上述操作，直到乘数位全部乘完为止。,2、部分积右移法 方法是：部分积相加后右移一位，直到乘数各位都乘完为止。,二、原码2位乘法（不作
9、要求） 对乘数从右至左，每两位分成一组，称为判断位，共有四种可能：00，01，10，11 （1）对于00：将上次部分积右移2位 （2）对于01：上次部分积加被乘数，再右移2位 （3）对于10：上次部分积加被乘数的2倍（被乘数左移1位），再右移2位 （4）对于11：上次部分积减被乘数，右移2位，再在下一个判断位+1,例：-0.11010.1011,4 定点原码除法,定点除法只考虑被除小数小于除数的情况，因为这样总能保证商的小数点就在最左边位有效数字的前面。 一、恢复余数法 方法： 1、将Y与2Ri( Ri左移1位，Ri为上次的余数)比较如果2Riy 表示够减，则商为1如果2RiY，表示不够减，则
10、商为0 2、够减和不够减的方法2Ri+-Y补，即2Ri-y补如果余数为正，则说明够减，商为1，如果余数为负，则说明不够减，商为0。这一步操作仅是为了判断减和不够减的问题，所以是不该做，因此要把除数再加回去，以恢复成原来的余数。恢复余数法由此而得名,二、加减交替法我们先回顾一下恢复余数法，采用 =2Ri-1+（-Y），当Ri0时，同时恢复余数，采取的方法是Ri+Y，则Ri+1=2(Ri+Y)+(-Y)=2Ri+Y 这个式子说明：当 0，商0时，Ri+1可直接将Ri左移一位，再加上Y得出，而不必将Ri左移+-Y，然后再+Y。,不管是余数恢复法还是加减交替法，都有两点值得提醒同学们： 1、当有余数的
11、时候，除到什么时候为止？ （1）视题目要求的精度 （2）商的位数和被除数的位数一样即可 2、当商的最后位为0时，余数不要忘了加上除数，才是真正的余数。,5 规格化浮点运算,一、规格化浮点补码加减法要对两浮点数进行加减法，需使其阶码相等。如x=0.1101102011,y=-0.0010112110 1、对阶小阶向大阶看齐要使两数的阶码相等，可通过移动尾数来进行。尾数左移，阶码减小，尾数高位损失；尾数右移，阶码增加，尾数精度损失。一般采取后一种办法。移动位数：J=Jx-JyX补=00，011；00.110110 Y补=00，110；11.110101J补=Jx补+-Jy补=00，011+11，0
12、10=11，101J=-3说明：X要向Y看齐，得X补=00，110；00.000110,2、尾数求和00.000110 00.000110+11.110101 + 00.00101111.111011 00.010001X+Y补=00，110；11.111011X-Y补=00，110；00.010001 观察结果是否为规格化形式，如果不是必须规格化。 3、结果规格化 根据规格化的定义：补码正数应满足00.1的形式；补码负数应满足11.0的形式。 （1）若尾数求和后出现以下情况：01.或10.时，表示运算结果产生溢出，需要进行向右规格化。右规的方法是：尾数连同符号位右移1位，阶码加1，直到成为规
13、格化数。 （2）若尾数求和后出现以下情况：00.0或11.1时，表示运算结果为非规格化数，需要进行向左规格化。左规的方法是：尾数连同符号位左移1位，阶码减1，直到成为规格化数。 X+Y补=00，011；11.011000 左移3位 X-Y补=00，101；00.100010 左移1位,4、舍入对阶右规时，都要右移尾数，使尾数的低位丢失，造成误差，故都要进行舍入处理。（1）0舍1入法 （2）末位恒置1 5、溢出检查：若阶码超出表示范围为浮点溢出，正溢出称为上溢，为软件故障，应请求CPU予以处理，负溢出称为下溢，置运算结果为浮点形式的机器零。 练习：设浮点数格式为，；.，X=-19/128,Y=1
14、17/128,用浮点补码规则求XY=？,二、规格化浮点补码乘除法运算（不作要求）规则： （1）阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）（定点整数加法）。 （2）浮点数的尾数处理：采用定点小数的乘除法运算，结果要进行舍入处理。,6 定点运算器设计,运算器是实现数据的算术运算和逻辑运算的部件，是CPU的一个重要组成部分。 一、运算器的基本结构（如下图）,（1）ALU：算术逻辑运算单元，是运算器的核心部件。 （2）寄存器A：既存放原始数据，又存放中间结果，故称为累加器 （3）寄存器B：具有求反功能 （4）”+1”:实现求补，连同B的求反功能 （5）移位寄存器：乘除运算时使用。,二、加减法运算器
15、1、基本的算术逻辑运算部件全加器（如下图） 输入端3个：Ai，Bi本位操作数，Ci-1低位来的进位。 输出端2个：Si本位和，Ci本位向高位的进位。2、串行的加减法运算器（如下图）（1）A,B:具有移位功能的寄存器，且A存放运算结果 （2）D触发器：保存进位。串行运算器所用元器件少（1位全加器），但速度低，因此，现在用的不多，现在惯常使用的是并行加法器。,3、并行加法器参加运算的两个数各位同时进行加法运算，即两数相加一次完成，为了实现这种要求，必须要解决两个问题： （1）加法器如何构成？ （2）进位问题如何解决？对于第一个问题解决起来较容易：只要保证参加运算的数据有几位，就用几位全加器就可以，
16、而参加运算的数据的位数与计算机的字长相同。例如：计算机字长为8位，并行加法器就需要8个全加器来组成。对于第二个问题比较麻烦，但解决的方法不少。,（1）串行进位法：将各全加器的进位用一根据号线串接在一起。如右图所示 这种方法的优缺点： 优点：电路简单。 缺点：运行速度慢。因为每一位进位的产生是需要延迟时间的，随着全加器数目的增多，累计延迟时间将会越来越大。,（2）并行进位法 （超前进位，先行进位）：指所有的进位都由C0直接产生。 全加器（FA）的函数表达式Si=AiBiCi-1Ci=AiBi+（Ai+Bi）Ci-1 令Gi= AiBi，Pi= Ai+Bi ，则Ci=Gi+PiCi-1 其中Gi称
17、为产生函数：只有本位两个输入全为1时，才会产生向高位的进位。Pi称为进位传递函数：只要本位两个输入有一个为1时，低位来的进位就能传送到高位。,上述各式中所有各位的进位均不依赖于低位的进位，各位的进位可以同时产生。 特点： （1）一旦C0，G，P形成后，最多只有两级门的延时即可形成Cn，是速度最快的一种进位链。 （2）n位字长，Cn产生共需2T延时，但此方案的扇入系数太大（一个门需要的输入端太多），n位要n+1个输入端，无法用元器件实现。故称为理想进位链。,（3）分组进位法 （若干位分成一组） 组内并行进位，组间串行进位；组内串行进位，组间并行进位；组内并行进位，组间并行进位。 将n位加法分组，
18、组内用并行进位链，组间用串行进位链。如12位加法器可以分成4组，每组3位。,加法器共延时=2T4+4T=12T采用这种做法有一个问题需要思考：分组可以多种多样，共分几组？多少位一组？组内位数是否相等？ 这取决于机器的字长，对进位链速度的要求以及元器件的性能等。 特点：速度高，但线路复杂，成本高。,三、基本结构 运算器的基本结构有三种形式：（1）单总线结构 （2）双总线结构 （3）三总线结构 1、单总线结构 只有一条数据总线，因此，参加运算的数据必须分步送入锁存器A和B。这样一来就导致了运行速度慢的缺点，但由于只采用一条总线，控制是工作的电路简单。,2、双总线结构采用两条数据总线，这样就可以把参
19、加运算的两个操作的同时送人ALU进行运算，结果送人锁存器通用寄存器锁存器标志寄存器很显然，这种结构同但总线结构相比，速度快，但增加了一条总线，控制电路自然要复杂一些,3、三总线结构采用三条数据总线，其中两条用于同时送操作数进入ALU，另一条直接送出结果，整个运算一次完成。通用寄存器状态标志寄存器总线旁路器 优点：运算速度快。 缺点：增加了总线旁路器，控制复杂。,7 协处理器,协处理器是专门用来实现浮点运算的。当然它必须与处理器配对使用。协处理器有8087，80287，80387三种。其中8087与8086/8088配对，80287与80286，82386配对；80387与80386以上的处理器
20、配对。早期的协处理器是一个独立的芯片，安装在主板上，到了80586以后，已经集成到了CPU中。我们在本节主要简单介绍一下80287和80387 一、性能 80287和80387都是高性能的协处理器，80387在80287的基础上扩展了三角函数的功能。 1、都具有80位体系结构 2、时钟频率高（1）287工作频率为8MHZ 12MHZ（2）387工作频率为16MHZ 20MHZ 3、能处理7种数据类型 单字整数（16位）短整数（32位）长整数（64位） 装配十进制数（80位）单精度（32位）双精度（64位）临时浮点数（80位） 4、可工作于两种模式 （1）实模式：把80286/80386当作高速
21、8086使用，使用24位地址中的低20位，全部可用存储空间是整个主存的最低1MB （2）保护模式：可使用16MB的主存空间支持虚拟存储器管理。 5、能检测数据运算的六种错误：（1）非法处理 （2）非法操作数 （3）零作除数 （4）上溢 （5）下溢 （6）精度下降,二、协处理器的内部结构 不管是8087还是80287，80387，其内部结构基本相同，都含有： （1） 8个80位的寄存器堆栈（先进后出） （2） 3个16位的寄存器（控制字，状态字，特征字） （3） 2个32位的寄存器（指令指针，数据指针） 1、特征字寄存器：16位长，每两位表示寄存器栈一个寄存器的状态，该寄存器的内容允许用户读写。
22、 2、控制字寄存器：16位长，用于控制协处理器的内部操作。 3、状态字寄存器：16位长，用于表示协处理器的处理情况。 4、寄存器堆栈：8个，每个80位。 （1）8 个寄存器是一个头尾相接的整体。单分别用07表示其编号。 （2）位于顶上的一个称为栈顶寄存器，并用ST表示。 （3）用ST（i）访问相对于栈顶寄存器的偏移量为i的寄存器。i不是寄存器的编号。,三、80287和80387的硬件特性： 1、80287的硬件特性 （1） 采用HMOS工艺，40引脚，双列直插式封装 （2） 分两级操作，彼此相互独立。第一级同系统总线连接，接收并译码指令。请求同系统存储器传送操作数，以及执行协处理的控制指令。第
23、二级执行实际的数值运算。 （3） 具有84位宽度的内部数据通路。 （4） 一次操作仅能执行一条指令。 2、80387的硬件特性： （1） 采用1.5m的高速CHMOS工艺、68引脚、PGA封装，速度快，功耗低。 （2） 采用彼此独立的三级操作： 第一级同系统总线连接；第二级是数据接口和控制接口；第三级执行浮点运算 （3） 具有84位宽度的内部数据通路 （4） 一次操作仅能执行一条指令。,四、协处理器的工作方式 1、 作为80386等处理器的外设 （1） 80387的指令是由80386进行读取。 （2） 80387访问存储器由80386生产地址。 2、占用专用的I/O端口：800000F8H80
24、0000FFH 3、80387与80386同步工作。,8 应用举例,例1：写出下列十进制数的单精度IEEE754编码 （1）x=0.625 (2)x=-9 解：（1）0.625D=0.101B=1.012-1,根据IEEE754的单精度表达式，该二进制数可表示为： （-1）01.012126-127。其中，尾数符号位s=0(为正数)，f为小数点后的数值，f=01，实际阶码为-1，e-127=-1,得e=126D=01111110B x的IEEE754的单精度数表示为：0 01111110 01000000000000000000000 （2）-9D=-1001B=-1.00123，根据IEEE
25、754的单精度表达式，该二进制数可表示为： （-1）-11.0012130-127。其中，尾数符号位s=1(为负数)，f为小数点后的数值，f=001，实际阶码为3，e-127=3,得e=130D=10000010B x的IEEE754的单精度数表示为：1 10000010 00100000000000000000000 【点评】：求IEEE754编码时，首先要把任意进制的数转换成形式为（1.XXXXX）2k的二进制数，然后再转化成为IEEE754的单精度表达式（-1）s1.f2e-127。这样就可得s，e，f的值，最后根据s，e，f的值写出对应的IEEE754标准代码。,例2：求IEEE754
26、单精度数C0400000H对应的是进制数。 解：c0400000H=1 10000000 10000000000000000000000，符号位为1，f为1（0.5），e为10000000B=128D，则IEEE754表达式为：（-1）1（1+0.5）128-127=-11.521=-1.52=-3.0例3：已知：x=B4H,y=5DH,求：xy,xy,xy。 解：x=B4H=10110100B，y=5DH=01011101B 则xy=1011010001011101=14H Xy=1011010001011101=FDH xy=1011010001011101=E9H,例4：设阶码为4位补码
27、，尾数为7为补码，均包含符号位，用浮点运算计算x+y。 （1）x=2-30.010101,y=2-5(-0.001001) (2)=x=-25,y=35 解：（1）x补=1101，00.010101，y补=1011,11.110111对阶：y的阶码比x的阶码小2，y的尾数右移2位，阶码加2y补=1011,11.110111=1101，11.11110111尾数相加：00.010101+11.11110111=00.01001011规格化：将尾数左移1位，阶码减1x+y补=1101，00.01001011=1100,00.1001011舍入：按“0”舍“1”入规则 x+y补=1100,00.10
28、01011=1100，00.100110故x+y=2-40.100110 (2) x=-25D=-11001B=25(-0.110010),y=35D=100011B=260.100011x补=0101，11.001110，y补=0110,00.100011对阶：x的阶码比y的阶码小1，x的尾数右移1位，阶码加1x补=0101,11.001110=0110，11.100111尾数相加：11.100111+00.100011=00.001010规格化：将尾数左移2位，阶码减2x+y补=0110，00.001010=0100,00.101000故x+y=240.101000,例5：已知X为下列数据
29、：0.1010，0，-0，-0.1010，请写出每一个数的： X原，X补，X/2原，X/2补，2X原， 2X补。 解： （1）当X=0.1010时， X原=0.1010，X补=0.1010，X/2原=0.01010， X/2补=0.01010，2X原和 2X补因溢出无法表示 （2）当X=0时， X原=0.0000，X补=0.0000，X/2原=0.0000， X/2补=0.0000，2X原=0.0000， 2X补=0.0000 （3）当X=-0时， X原=1.0000，X补=0.0000，X/2原=1.0000， X/2补=0.0000，2X原=1.0000， 2X补=0.0000 （4）当X=-0.1010时， X原=1.1010，X补=1.0110，X/2原=1.01010， X/2补=1.10110，2X原和 2X补因溢出无法表示,
