1、2017 届陕西省西藏民族学院附属中学高三 4 月月考数学（文）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ）2|1Mxy|1NyxMNA. B. C. D. 0,|0x|【答案】C【解析】 ， ，所以 ，故选 C.R|y|0x2对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示） 则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）A46 45 56 B46 45 53 C47 45 56 D45 47 53【答案】A【解析】试题分析：利用中位数、众数、极差的定义求解解：由样本的茎叶图得到：样本中的 30 个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是 45，47，该样本的中位数为： ；出现次数最
2、多的数据是 45，该样本的众数是 45；该数据中最小值为 12，最大值为 68，该样本的极差为：6812=56故选：A【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数3若由一个 列联表中的数据计算得 ，那么确认两个变量有关系的把224.395K握性有（ ）2PKk0.50.10.13.8416.25.82A. 90% B. 95% C. 99% D. 9.%【答案】B【解析】对照列联表中的数据 ， 对应参考值为 ，所以有435813.40.5以上的把握认为两个变量有关系，故选 B.95%4如果奇函数 在 上是增函数，且最小值是 5，那么， 在fx3,7 fx上是（ ）7,3A. 增函数，最小值
3、为 B. 减函数，最大值为5C. 减函数，最小值为 D. 增函数，最大值为 5【答案】D【解析】奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致， ，故35ff选 D.5等差数列 ， ， ， 的公差为 1，若以上数据 ， ， ， 1x23x1 1x23x为样本，则此样本的方差为（ ）1xA. 10 B. 20 C. 55 D. 5【答案】A【解析】 ，1216xx 所以 226416s x ，故选22 221543034510A.6若不等式组 ，所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部034xy3ykx分，则 （ ）kA. B. C. D. 773【答案】C【解析】作出可行域，求出点的坐标 ， ，
4、，40,3A1,B0,4C恒过点 ，所以当直线 经过 的中点时，直线将平面43ykx40,3Aykx区域分成面积相等的两部分，则 ，解得 ，故选 C.5142377下列命题中：线性回归方程 必过点ybxa,xy“ ”是“ ”的充分必要条件sincocs20在 中， “ ”的充要条件是“ ”ABCinBAB若 ， ，则 的最小值为 .,abR3ab1ab423其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】回归直线一定经过样本数据的中心点 ，所以正确； ,xy，所以 是2cossincosincosin0sinco的充分不必要条件，所以不正确；由正弦定理 知， 0
5、iabAB，所以正确.sinABabAB，所以不正确，故选 B.112123323baab8某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 63236【答案】D【解析】该四棱锥的底面是正方形，其中一条侧棱与底面垂直，所以该四棱锥的外接球就是它所在的长方体的外接球，半径 ，所以体积2216R，故选 D.3462V点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找
6、其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图9在区间 和 上分别各取一个数，记为 和 ，则方程 表示焦1,52,4mn21xyn点在 轴上的椭圆的概率是（ ）xA. B. C. D. 3413【答案】C【解析】如图，由题意知，在矩形 内任取一点 ，点 落在阴影部分的ABCD,Qmn概率即为所求概率，易知，直线 平分矩形 ，所以所求概率 ，故选mn12PC.10在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，ABCBCabc2
7、2016abc则 （ ）tantA. B. C. D. 12062150216【答案】B【解析】 ，又由22tantsincossinicosCABCABab得22016bc，故选 B.5cosaabC11已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ，0b121xyb2C21xyab与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ）1C232CA. B. C. D. 30xy0xy30xy30xy【答案】C【解析】椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率 ，由121abe2C2abe，解得 ，所以2221 13abe a213，所以双曲线 的渐近线方程为 ，故选 C.3ba2C3yx点晴：本题考查的是椭
8、圆，双曲线的离心率及双曲线的渐近线.根据题目中椭圆和双曲线的方程可得椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率 ，121abe2C2abe由，化简整理解得 ，所以双曲线 的渐近线221 3abe3a2C方程为 3yx12设函数 ， 为坐标原点， 为函数 上横坐标12xf0AnAyfx为 的点，向量 ，向量 ，设 为向量 与向量 的*nN1nKka1,0innai夹角，满足 的最大整数 是（ ）15t3nkA. 3 B. 2 C. 5 D. 4【答案】A【解析】由题意知， ， ，则 为直线 的倾斜角，所,nAf0naAn0nA以 ，所以 ， ， ， 1tan2n1t25t135ta24.49t80则有
9、，故满足条件的最大整数为 3，故选 A.513591280点晴：本题考查的是直线的方向向量和直线的倾斜角的正切之间的关系，由题意知， ， ，则 为直线 的倾斜角，所以,nAf 0naAn0nA，可得 时，各正切的值，求和比较有1ta2n1,234，故满足条件的最大整数为 3.5359480二、填空题13已知角 的的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴，若 是角 终边上一x4,Py点，且 ，则 _5siny【答案】 2【解析】由 得， .25si4y2y14在平面直角坐标系 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线xO4x的距离为 1，则实数 的取值范围是 .1250xycc【答案】 （-13,13）【
10、解析】试题分析：圆上有且只有四个点到直线 的距离为 1，该圆半1250xyc 径为 2，即圆心 O（0,0）到直线 的距离 ，即1250xyc d.013cc， 【考点】1.直线圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.【思路点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，圆心到直线的距离小于半径和 1 的差，此时 4 个，等于 3 个，大于这个差小于半径和 1 的和是 2 个根据题意，求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可15设 ， ， ， 成等差数列，且公差 ，若将此数列删去某一项后得1a234a0d到的数列（按原来的顺序）成等比数列，则 的值为_ 1a【答案】 或 14【解析】 中
11、不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，234,a则公差 .0d若删去 ，则 ，即 ，化简得 ，解得23142113adad140ad.14a若删去 ，则 ，即 ，化简得 ，得 ，3214a211 11ad综上，得 或 .1d1三、解答题16直线 与函数 ( )的图象相切于点 A，且 ，O 为坐标原点，lsinyx0,/lPP 为图象的极值点， l 与 x 轴交于点 B，过切点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 C，则= BAC【答案】【解析】试题分析： ，直线 l 的斜率即为 OP 的斜率 ，设 A ，,12P 21,xy由于函数 y=sinx 在点 A 处的导数即为直线 l 的
12、斜率， ，2111224cos,sincosxyxxAB 直线的方程为 ，11令 y=“0“ 可得点 B 的横坐标 ，2BxycosABC= =ACC222114Bxy【考点】平面向量数量积的运算17如图，多面体 中，四边形 为矩形， ， ，BDSADSADSB且 ， ， 分别为 ， 中点.2MN（1）若三棱锥 的体积为 ，求 的长；BSAC3SD（2）求证： .MN【答案】 （1） ;（2）见解析.3D【解析】试题分析：（1）利用等体积法， .3BSACBVSD求 得（2）通过证明 平面 ，可得 .ASNM试题解析：（1） ， ，且 ， 平面 ，SBC ，132BASVD ， ，2D ，13
13、 .S（2）方法一：连结 ，易知 为正方形，连结 则 ，MNADMAND由（1）知 平面 ，又 平面 ，SDBCBC所以 ，又 ，于是 平面 ，ASNS所以 .方法二：连结 ， 、 分别为 、 中点，A ， 与 所成角即为 与 所成的角，CN设 ，则在 中 ， ， SDxSMA24Cx2MC，22 ，即 ，所以 .CANS18 （ 1）已知一个圆过直线 与圆 的两个交点，20xy240xy且面积最小，求此圆的方程；（2）抛物线 的顶点在原点，以椭圆 的右焦点为焦点，过点 的直C214,2线 与抛物线 有且仅有一个公共点，求直线 的方程.l l【答案】 （1） ;（2） ， 或 .2519xyy
14、0x32yx【解析】试题分析: （1）联立两圆方程求得两交点 ， ，可得圆心和1,A4,B半径，进而得圆的方程.（2）由题易得抛物线 的方程为 .设直线方程与抛物线方程联立，解C243yx可得.0试题解析：（1）联立 ，得 ，20xy2540x所以，两交点 ， ，易知以线段 为直径的圆面积最小，圆心为1,A4,BAB，5,2半径为 ，221341于是，所求圆的方程为 .22519xy（2）依题意，设抛物线 的方程为 ，C2(0)px椭圆 的右焦点为 ， ，214xy3,03抛物线 的方程为 .C243yx当直线 的斜率不存在时，直线为 轴与抛物线 相切，符合题意.l yC当直线 的斜率为 0
15、时，直线为 与抛物线 的对称轴平行，符合题意.2当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为 ，l l2ykx将 代入 ，得 ，2ykx243yx24380ky由 ，得 ，430直线方程为 ，2yx综上所述，直线 的方程为 ， 或 .ly0x32yx19某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，第五组 ，如图是13,414,517,8按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这 50 名学生百米测试成绩的中位数和平均值（精确到 ） ；0.（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，列举
16、所有选取方法，并求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率.【答案】 （1）见解析;（2） .47【解析】试题分析: (1)由频率分布直方图计算这 50 名学生百米测试成绩的平均数 ,x和中位数;(2) 从第一组选 3 人，第五组选 4 人，从这 7 人中任取两人共有以下 21 种选法，其中两个成绩的差的绝对值大于 1 的有 12 组,可得所求概率.试题解析：（1）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为 .5064.503816.52.08x，82928.中位数为 .67.3（2）第一组人数为 人，第五组人数为 人，0.61530.8154设第一组 3 人为 ， ， ，第五组 4 人为 ，
17、， ， ，从这 7 人中任取ABCdefg两人共有以下 21 种选法：， ， ， ， ， ， ， ， ,B,d,Ae,f,A,BC,d， ， ， ， ， ， ， ， efgfge， ， ， ， .,df,ef,fg其中两个成绩的差的绝对值大于 1 的有 12 组：， ， ， ， ， ， ， ， ,A,Af,Bd,e,Bf,g， ， ， ，CdeCg故这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率为 .24720如图，在三棱柱 中，每个侧面均为正方形， 为底边 的中点，ABDAB为侧棱 上的点，且满足 平面 .E1CCDA1EB（1）求证： 平面 ；1AB1E（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.C【答案】 （1）见解析;（2） .5【解析】试题分析: (1)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以 ， 1BA， 平面 ， 平面 ， ，可证1BC1BACDABC1D平面 ，,再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明;D(2) 取 中点 ，连接 ， ,易知侧面 底面 , 是1AF1EF11ABC1FE与平面 所成角.,然后构造直角三角形,在直角三角形中求其正弦值,从而BEC求解.
