1、8.2 空间几何体的表面积与体积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积圆柱 S 侧 _ V_圆锥 S 侧 _V_ r213 l2 r2圆台 S 侧 _V (S 上 S 下 )13 S上 S下h (r r r 1r2)h13 21 2直棱柱 S 侧 _ V_正棱锥 S 侧 _ V_正棱台 S 侧 _ V (S 上 S 下 )13 S上 S下h球 S 球面 _ V_2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_、_ 、_；它们的表面积等于_.难点正本 疑点清源1.几何体的侧面积和全面积几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面 积是侧面积
2、与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的 侧面展开图来进行.要特 别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题.如直棱柱(圆柱) 侧面展开图是一矩形， 则可用矩形面积公式求解.再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周 长，利用 这一点可以求出展开 图扇形的圆心角的大小.2.要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法割补法是割法与补法的总称.补法是把不规则(不熟悉的或复杂的) 几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的 图形补成完整的 图形.割法是把复杂的(不规则的) 几何体切割成简单的(规则的) 几何体.割与
3、补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面.割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离) 以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开 阔思维的优点.等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等 积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数 值.1.表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_.2.一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为 a，则球的表面积为_.3.如图所示，在棱长为
4、 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是 A1B1 上一点，且 PB1 A1B1，则多面体14PBCC1B1 的体积为_.4.(2011上海)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2 的三角形，则该圆锥的侧面积为_.5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是 ( )A. B. 253 343C.3 D.12 163 163题型一 几何体的表面积例 1 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 ( )A.372 B.360 C.292 D.280探究提高 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位
5、置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.一个几何体的三视图( 单位：cm) 如图所示，则该几何体的表面积是_cm2.题型二 几何体的体积例 2 如图所示，已知 E、F 分别是棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 A1A、CC 1的中点，求四棱锥 C1B1EDF 的体积.探究提高 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则
6、几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.如图 (1)所示，在直角梯形 ABEF 中(图中数字表示线段的长度 )，将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起，使平面 DCEF平面 ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示.图(1) 图(2)(1)求证：BE平面 ADF；(2)求三棱锥 FBCE 的体积.题型三 组合体的表面积与体积问题例 3 正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 ，6内有一个球与它的四个面都相切(如图). 求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.探究提高 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相
7、关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.17.空间与平面的转化试题：(12 分) 如图，在直棱柱 ABCABC中，底面是边长为 3 的等边三角形，AA4，M 为 AA的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC到 M 的最短路线长为 ，29设这条最短路线与 CC的交点为 N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC
8、 与 NC 的长；(3)三棱锥 CMNP 的体积.审题视角 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MNNP 最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好.规范解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形，故对角线长为 .42 92 972 分(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB展开，如图，设 PCx，则 MP2MA 2( ACx) 2.MP ，MA2，AC3，x2，即 PC2.29又 NCAM，故 ，即 .NC . 8 分PCPA NCAM 25 NC2 45(3)SPCN CPCN 2 .12 12 45 45在三棱锥 MPCN 中，M 到面 PCN 的距离，即
9、h 3 .32 332V CMNPV MCNP hSCNP13 . 12 分13 332 45 235批阅笔记 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是 “展开” ，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形或平面图形的转化意识.方法与技巧1.对于基本概念和
10、能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.求几何体的体积，要注意分割与 补形.将不规则的几何体通 过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.失误与防范1.将几何体展开为平面图形时，要注意在何 处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱 长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体
11、 对角线长等于球的直径 .球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的 组合，通 过多面体的一条 侧棱和球心，或“切点” 、“接点”作出截面图 .8.2 空间几何体的表面积与体积(时间：60 分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1.已知高为 3 的直棱柱 ABCABC的底面是边长为 1 的正三角形(如右图所示)，则三棱锥 BABC 的体积为( )A. B.14 12C. D.36 342.正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为 ( )A.48(3 ) B.48(32 )3 3C.24( ) D.1446 23.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何
12、体的表面积为( )A. B.32 3C. D. 32 3 52 3二、填空题4.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为 120，底面圆的半径为 1，则该圆锥的体积为_.5.已知正四棱柱的对角线的长为 ，且对角线与底面所成角的余弦值为 ，则该正四633棱柱的体积为_.6.(2011天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.三、解答题7.已知正方体 AC1 的棱长为 a，E ，F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点，求四棱锥 A1EBFD1 的体积.8.如图所示，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，2以 A 为圆心画一个扇形，以 O 为圆心画一个圆，M，
13、N，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.B 组 专项能力提升题组一、选择题1.若某多面体的三视图(单位： cm)如图所示，则此多面体的体积是 ( )A. cm3 B. cm312 23C. cm3 D. cm356 782.如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥B1ABC1 的体积为 ( )A. B.312 34C. D.612 643.(2011辽宁)已知球的直径 SC4，A、B 是该球球面上的两点，AB ，ASCBSC30，则棱锥 SABC 的体积为3( )A.3 B.23 3C.
14、D.13二、填空题4.(2011课标全国)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且AB6，BC2 ，则棱锥 OABCD 的体积为_.35.如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为_ cm.6.(2011福建)三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体积为_.三、解答题7.如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，AD CD2，将ADC 沿 AC 折起，使平面 A
15、DC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示.图 1 图 2(1)求证：BC平面 ACD；(2)求几何体 DABC 的体积.8.如图所示，在体积为 1 的三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，AC AB，AC AA 11，P为线段 AB 上的动点.(1)求证：CA 1C 1P；(2)线段 AB 上是否存在一点 P，使四面体 PAB1C1 的体积为 ？若存在，请确定点16P 的位置；若不存在，请说明理由.答案要点梳理1.面积 体积圆柱 S 侧 2 rh VSh r2h圆锥 S 侧 rlV Sh r213 13 r2 h13 l2 r2圆台 S 侧 (r 1r 2)l
16、V (S 上 S 下13 )hS上 S下 (r r r 1r2)h13 21 2直棱柱 S 侧 Ch VSh正棱锥 S侧 Ch12V Sh13正棱台 S侧 (CC)h12V (S 上 S 下 )h13 S上 S下球 S 球面 4R 2 V R3432.(1)各面面积之和 (2) 矩形 扇形 扇环形 侧面积与底面面积之和基础自测1.2 2.a 2 3. 4.3 5.D163题型分类深度剖析例 1 B 变式训练 1 412例 2 解 方法一 连接 A1C1，B1D1 交于点 O1，连接 B1D，过 O1 作 O1HB 1D 于 H.EFA 1C1，且 A1C1平面 B1EDF，A 1C1平面 B1
17、EDF.C 1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离.平面 B1D1D平面 B1EDF，O 1H平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高.B 1O1HB 1DD1，O 1H a.B1O1DD1B1D 66VC 1B1EDF S 四边形 B1EDFO1H EFB1DO1H a a a a3.13 1312 1312 2 3 66 16方法二 连接 EF，B1D.设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1h 2B 1D1 a.2由题意得，VC 1B1EDFVB 1C1EFVDC 1EF SC 1EF(h1h 2) a3
18、.13 16方法三 VC 1B1EDFV 多面体 A1B1ED1C1FDVE A1B1C1D1VEC1D1D a3.16变式训练 2 (1)证明 由图可知 BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变.BCAD，BC平面 ADF，AD 平面 ADF，BC平面 ADF.同理 CE平面 ADF.BCCEC，BC、CE平面 BCE，平面 BCE平面 ADF.BE平面 BCE，BE平面 ADF，BE平面 ADF.(2)解 V FBCEV BCEF，由图(1)，可知 BCCD，平面 DCEF平面 ABCD，平面 DCEF平面 ABCDCD，BC 平面 ABCD，又BCDC，BC平面 DCEF.由图(1)可知
19、，DCCE1，SCEF CEDC ，12 12V FBCEV BCEF BCSCEF .13 16例 3 解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为 2 ，13 32 6 2则正棱锥侧面的斜高为 .12 22 3S 侧 3 2 9 .12 6 3 2S 表 S 侧 S 底 9 (2 )2212 32 69 6 .2 3(2)设正三棱锥 PABC 的内切球球心为 O，连接 OP、OA、OB、OC，而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r.V PABCV OPABV OPBC VOPACV OABC S 侧 r SABC r13 13 S 表 r(3 2 )r.13 2 3又 VPABC (
20、2 )2113 12 32 62 ，3(3 2 )r2 ，2 3 3得 r 2332 23 2332 2318 12 2.6S 内切球 4( 2) 2(4016 ).6 6V 内切球 ( 2) 3 (9 22).43 6 83 6变式训练 3 解 如图所示，作出 轴截面，因轴截面是正三角形，根据切 线性质知当球在容器内时，水的深度为 3r，水面半径BC 的长为 r，则容器内水的体 积为3VV 圆锥 V 球 ( r)23r r3 r3，3 3 43 53将球取出后，设容器中水的深度 为 h，则水面圆的半径为 h，从而容器内水的体积为 V 2h h3，33 3( 33h) 9由 VV，得 h r.
21、315课时规范训练A 组1.D 2.A 3.C 4. 5.2 6.42237.解 因为 EBBF FD 1D 1E a，a2 (a2)2 52所以四棱锥 A1EBFD1 的底面是菱形，连接 EF，则EFBEFD 1，由于三棱锥 A1EFB 与三棱锥 A1EFD1 等底同高，所以 VA1EBFD 12VA 1EFB 2VFEBA 12 SEBA 1a a3.13 168.解 设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，高为 h，由已知条件Error!，解得 r ，l 4 ，S rlr 210 ，2 2h ，Vr 2h2 .l2 r2 30 30B 组1.D 2.A 3.C 4.8 5.13 6.3 3
22、7.(1)证明 在图中，可得 ACBC 2 ，2从而 AC2BC 2AB 2，故 ACBC.又平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ABC，BC平面 ACD.(2)解 由(1)可知 BC 为三棱锥 BACD 的高， BC2 ，SACD 2，2V BACD SACD BC 22 ，由等体 积性可知，几何体 DABC 的体积13 13 2 423为 .4238.(1)证明 连接 AC1，AB1，由 ACC1A1为正方形知 CA1AC 1.由 ACAB ，AA1底面 ABC 知 AB平面 AA1C1C，所以 CA1AB.又 ABAC 1A，所以 CA1平面 C1AP，则 CA1C 1P.(2)解 VBAB1C1VVC 1AA1B1VBACC 11 ，当棱 锥 PAB1C1 的13 13 13体积为 时，P 为 AB 的中点.16
