1、2017 届湖南省衡阳市第八中学高三第二次模拟（实验班）数学（理）试题注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 6
2、0 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.已知集合 A=x|x22x30，集合 B=x|2x+11，则 BA=（ ）A时，f（x）=log 2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ）的实数 x 为 （ ）A B C D7.已知 A、B、C 是圆 O 上的三个点，CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆外一点若 ，其中 m，nR则 m+n 的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（1，0）C（1，+）D（，1）8.已知函数 f（x）= ，若存在实数 x1，x 2，x 3，x 4满足 f（x 1）=f（x 2）=f（x 3）=f（x 4） ，其中 x1x
3、2x 3x 4，则 x1x2x3x4取值范围是（ ）A （60，96）B （45，72）C （30，48） D （15，24）9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆 x2+y2=25 内的个数为（ ）A2 B3 C4 D510.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 h（0h2）的平面截该几何
4、体，则截面面积为（ ）A4 Bh 2 C（2h） 2 D（4h 2）11.已知 f（x）是定义域为（0，+）的单调函数，若对任意的 x（0，+），都有，且方程|f（x）3|=x 36x 2+9x4+a 在区间（0，3上有两解，则实数 a 的取值范围是（ ）A0a5 Ba5 C0a5 Da512.已知 F1、F 2分别是双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A（1， ）B（ ，+） C（ ，2）D（2，+）第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空
5、题（每题 5 分，共 20 分）13.已知数列a n是无穷等比数列，它的前 n 项的和为 Sn，该数列的首项是二项式 展开式中的 x的系数，公比是复数 的模，其中 i 是虚数单位，则 = 14.已知三棱锥 ABCD 中，AB面 BCD，BCD 为边长为 2 的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为 15.ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则：若 cosBcosCsinBsinC，则ABC 一定是钝角三角形；若 acosA=bcosB，则ABC 为等腰三角形； ， ，若 ，则 ABC 为锐角三角形；若 O 为ABC 的外心， ；若 sin2A+sin2B=sin2C，
6、 ，以上叙述正确的序号是 16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积， “势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系 xOy平面内，若函数21,0cosxf的图象与 x轴围成一个封闭的区域 A，将区域 A 沿 z 轴的正方向平移 4 个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域 A 的面积相等，则此圆柱的体积为三.解答题（共 8 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）已知数列a n满足
7、 a1=1，S n=2an+1，其中 Sn为a n的前 n 项和（nN *）（）求 S1，S 2及数列S n的通项公式；（）若数列b n满足 ，且b n的前 n 项和为 Tn，求证：当 n2 时， 18.（本题满分 12 分）根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 20 天PM2.5 的 24 小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：组别 PM2.5 浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组 （0，25
8、3 0.15第二组 （25，50 12 0.6第三组 （50，75 3 0.15第四组 （75，100 2 0.1（1）将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图求频率分布直方图中 a 的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由（2）将频率视为概率，对于 2016 年的某 3 天，记这 3 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分布列19.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，B
9、CCD，平面 SCD平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N 分别为 SA，SB 的中点，E 为 CD 中点，过 M，N 作平面 MNPQ 分别与 BC，AD交于点 P，Q，若 =t （1）当 t= 时，求证：平面 SAE平面 MNPQ；（2）是否存在实数 t，使得二面角 MPQA 的平面角的余弦值为 ？若存在，求出实数 t 的值；若不存在，说明理由20.（本题满分 12 分）已知 A，B 分别为椭圆 C： + =1（ab0）在 x 轴正半轴，y 轴正半轴上的顶点，原点 O 到直线 AB的距离为 ，且|AB|= （1）求椭圆 C 的离心率；（2）直线 l：y=kx+m（1k2）与圆
10、 x2+y2=2 相切，并与椭圆 C 交于 M，N 两点，求|MN|的取值范围21.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=lnx，g（x）= （x 为实常数）（1）当 a=1 时，求函数 （x）=f（x）g（x）在 x上有解，求实数 a 的取值范围选做题（本题满分 10 分）22.以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数，0） ，曲线 C 的极坐标方程为 sin 22cos=0（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 变化时，求|AB|的最小值23.设函
11、数 f(x)|xa|3x，其中 a0.()当 a2 时，求不等式 f(x)3x2 的解集；()若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值衡阳八中 2017 届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D A D B B C D A D13.7014. 15.16.+417.（）数列an满足 Sn=2an+1，则 Sn=2an+1=2（Sn+1Sn），即 3Sn=2Sn+1， ，即数列Sn为以 1 为首项，以 为公比的等比数列， （nN*）S1= ，S2= ；（）在数列bn中， ，Tn 为bn的前 n 项和，则|T
12、n|= |= 而当 n2 时， ，即 18.（1）由第四组的频率为 1（0.006+0.024+0.006）25=0.1，得 25a=0.1，解得 a=0.004；去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为：12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1=42.5（微克/立方米）；因为 42.535，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9，X 的可能取值为 0，1，2，3；P（X=k）= （10.9） 3k 0.9k，可得 P（X=0）=0
13、.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X 的分布列为：X 0 1 2 3P 0.001 0.027 0.243 0.72919.（1）E 为 CD 中点，四边形 ABCE 为矩形，AECD，当 t= 时，Q 为 AD 中点，PQCD，所以 PQAE，平面 SCD平面 ABCD，SECD，SE面 ABCD，PQ面 ABCD，PQSE，PQ面 SAE，所以面 MNPQ面 SAE（2）如图，以 E 为原点，ED，EA，ES 直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系；设 ED=a，则 M（1t）a，（ ）a， a），E（0，0，0），A（0
14、， ，0），Q（1t）a， ，0）， =（0， ， ），面 ABCD 一个方向向量为 =（1，0，0），设平面 MPQ 的法向量 =（x，y，z），则 ，取 z=2，得 =（0， ，2），平面 ABCD 的法向量为 =（0，0，1）二面角 MPQA 的平面角的余弦值为 ，由题意：cos= = = ，解得 t= 或 t= ，由图形知，当 t= 时，二面角 MPQA 为钝二面角，不合题意，舍去综上：t= 20.（1）由丨 AB 丨= = ， = ，解得：a=2，b= ，c=1则椭圆离心率 e= = ；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程： ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，
15、整理得：（3k 2+4）x 2+6kmx+3m212=0，x1+x2= ，x 1x2= ，由直线 l 与圆 x2+y2=2 相切，则 = ，则 m2=2（k 2+1） ，则丨 MN 丨= = ，= ，令 3k2+4=t，t，则丨 MN 丨= = ，由 ，f（ ）= ，在单调递增，则 丨 MN 丨 ，|MN|的取值范围21.（1）当 a=1 时，函数 （x）=f（x）g（x）=lnx + ，（x）= = ；x函数在上单调递增，在上单调递减x= 时，y= ；x= 时，y= ；x=1 时，y= ，ya22.（1）由 sin 22cos=0，得 2sin2=2cos曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x；（2）将直线 l 的参数方程代入 y2=2x，得 t2sin22tcos1=0
