1、2017 届江苏省南通市高三第三次调研考试数学试题一、填空题1设复数 （ ， 为虚数单位） 若 ，则 的值是_ 【答案】【解析】2已知集合 ， ，则 =_【答案】【解析】因为 ， 所以 =3某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是_【答案】【解析】由题得所有基本事件为：（甲乙） ， （甲丙） （甲丁） ， （乙丙） ， （乙丁） ， （丙丁） ，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放得基本事件有（甲乙） ， （甲丙）（甲丁） ， （乙丙） ， （乙丁）所以甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是4右图是一个算法流程图，则输出的
2、 k 的值是_【答案】3【解析】由题得：S=1,k=1 得 S=2，否，k=2，S=6 ，否，k=3，S=1510，是，所以 k=35为调查某高校学生对“一带一路 ”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人若其他年级共有学生 3000 人，则该校学生总人数是_【答案】7500【解析】设总人数为 ，则分层抽取比例为 ，而大一，大二共抽取 300 人，且大一，大二的总人数为 ，所以 得6设等差数列 的前 n 项和为 若公差 ， ，则 的值是_【答案】110【解析】由题可知：7在锐角 ABC 中， ， 若 ABC 的面积
3、为 ，则 的长是_【答案】【解析】由题可知： ，又为锐角三角形，所以，由余弦定理8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 （ ）经过抛物线 的焦点，则该双曲线的离心率是_【答案】【解析】抛物线的焦点为：（2,0）所以双曲线的 a=2，又 b=1，故离心率为：9已知圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高为_ 【答案】【解析】由题得扇形得面积为： ，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为 3 即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式： 所以圆锥的高为10若直线 为曲线 的一条切线，则实数 的值是_【答案】1【解析】设切点为 ，又 ，所以切点为（0,1）代入直线得 b=111若正实数
4、满足 ，则 的最小值是_【答案】8【解析】 当 y=2x 取得等号，所以 的最小值是812如图，在直角梯形 中， ，若 分别是线段 和 上的动点，则 的取值范围是 _【答案】【解析】以 AB 为 x 轴，BC 为 y 轴建立直角坐标系，则 A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n，2)故 =2m-3n-4，由图可知：，所以 2m-3n-4点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据题意范围求解结果13在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ，点 ， 为圆 上一动点，则 的最大值是_【答案】2【解析】设点 P（x,y）,则 =而 表示圆上一点与点
5、 的斜率，所以当过点 的直线与圆相切时取得最值，设直线： 由 d=r 得 所以 的最大值时 ，故=点睛：首先根据问题将 的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论14已知函数 若函数 恰有 2 个不同的零点，则实数a 的取值范围是_【答案】【解析】由题可知：若 ，显然成立，若 且 0，当 时， ，不符合题意，当 时， = 得 ，所以 0 是其中一个零点，又 恰有 2 个不同的零点，所以，同理若 时，则 0 是其中一个零点，那么，所以综合得 a 的取值范围是点睛：解本题关键是
6、要注意根据分段函数每个表达式去解方程求零点一定要在所规定得范围之内才算时有解，根据题目恰有 2 个不同的零点去排除第三个解要不在规定范围内从而求得结论二、解答题15 （本小题满分 14 分）已知函数 （ ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点 （1）求函数 的解析式；（2）若角 满足 ， ，求角 的值【答案】(1) ;(2) 或 【解析】试题分析：（1）由条件，周期 ，即 ，所以 ，因为 的图象经过点 ，所以 ，所以 从而得表达式（2）由，得 ，所以 ，即，根据所给范围得 或 试题解析：（1）由条件，周期 ，即 ，所以 ，即 因为 的图象经过点 ，所以 ，所以 ，所以 （2）由 ，得
7、， 即，所以 ，即 因为 ，所以或 点睛：对三角函数问题，要熟练其性质，例如周期公式，三角化简，单调区间求法，最值求法，对称中心，对称轴等，在做计算时，尤其要注意对所求角的范围考虑，否则极易犯错16如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面分别为棱 的中点.求证：（1） 平面 ；（2） 平面 .【答案】(1)详见解析; （2）详见解析.【解析】试题分析：（1）线面平行的证明则只需在面内找一线与之平行即可，因为 M， N 分别为棱 PD， PC 的中点，所以 MN DC， 又因为底面 ABCD 是矩形，所以AB DC，所以 MN AB （2）线面垂直则需要在面内找两根相交线与之垂直，因为 AP
8、=AD， M 为PD 的中点， 所以 AM PD因为平面 PAD平面 ABCD， 又平面 PAD平面 ABCD= AD， CD AD， 平面 ABCD，所以 CD平面 PAD 又 平面 PAD，所以CD AM试题解析：（1）因为 M， N 分别为棱 PD， PC 的中点，所以 MN DC， 又因为底面 ABCD 是矩形，所以 AB DC，所以 MN AB 又 平面 PAB， 平面 PAB，所以 MN平面 PAB （2）因为 AP=AD， M 为 PD 的中点， 所以 AM PD因为平面 PAD平面 ABCD， 又平面 PAD平面 ABCD= AD， CD AD， 平面 ABCD，所以 CD平面
9、 PAD 又 平面 PAD，所以 CD AM 因为 CD， 平面 PCD， ，所以 AM平面 PCD 17在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左焦点为 ，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦 过点 ，且与 轴不垂直.若 为 轴上的一点， ，求 的值.【答案】(1) ;(2)4.【解析】试题分析：（1）由题意，得 解得 所以椭圆的标准方程为 （2）设直线 的方程为 若 k=0 时，AB=2a=4， FD=FO=1，所以 ； 若 k0 时， ， ， AB 的中点为，代入椭圆方程，整理得 ，所以，所以 ,所以 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 所以 因为椭圆的左准线的方程为 ，离心率
10、为 ，由 ，得 ，同理 所以 所以 试题解析：（1）方法一：由题意，得 解得 所以椭圆的标准方程为 方法二：由题意，知 ，所以 又 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 （2）方法 1：设直线 的方程为 若 k=0 时， AB=2a=4， FD=FO=1，所以 ； 若 k0 时， ， ， AB 的中点为 ，代入椭圆方程，整理得 ，所以 ，所以,所以 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 因为 DA=DB，所以点 D 为 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点,所以 ，所以 因为椭圆的左准线的方程为 ，离心率为 ，由 ，得 ，同理所以 所以 综上，得 的值为 4 方法 2：设 ， ， AB 的中点为 ， 若直
11、线 与 x 轴重合，； 若直线 不与 x 轴重合，设 ， ， AB 的中点为 ，由得 ，所以 ，所以直线 的斜率为 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 因为 DA=DB，所以点D 为 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点，所以 ，所以 . 同方法一，有， 所以 综上，得 的值为 4 方法 3： 若直线 AB 与 x 轴重合， 若直线 AB 不与 x 轴重合，设 ， ，则 AB 的中点为 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 令 y=0，得 所以 同方法一，有 ， 所以 综上，得 的值为 4 18如图，半圆 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 的长为 百米.为了保护景点，基地管理部门从道路 上
12、选取一点 ，修建参观线路 ,且 ,均与半圆相切，四边形 是等腰梯形，设 百米，记修建每 百米参观线路的费用为 万元，经测算 .（1）用 表示线段 的长；（2）求修建参观线路的最低费用.【答案】(1) （ ）;(2) 万元【解析】试题分析：（1）建立坐标系：由题意得，点 E 的坐标为 ， 设直线 EF 的方程为 （ ） ，即 因为直线 EF 与半圆相切，所以圆心 O 到直线 EF 的距离为 ，解得 代入 可得，点 F 的坐标为 所以 ，（2）设修建该参观线路的费用为 万元 当 ， ，由，则 在 上单调递减 当 时，所以 ， 因为，所以 ，且当 时， ；当 时， ，所以在 上单调递减；在 上单调递增由知， 取最小值为 试题解析：设 DE 与半圆相切于点 Q，则由四边形 CDEF 是等腰梯形知 ， DQ QE，以 OF 所在直线为 x 轴， OQ 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy （1）方法一：由题意得，点 E 的坐标为 ， 设直线 EF 的方程为 （ ） ，即 因为直线 EF 与半圆相切，所以圆心 O 到直线 EF 的距离为，解得 代入 可得，点 F 的坐标为 所以 ，即 （ ）
