1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）文 数第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 UR，集合 1Mx， 2,xNyR，则集合 )(NMCU等于A ,1 B ,2 C ,1, D 2,2若 zii ( 为虚数单位 )，则复数 z的虚部为A 1 B 21 C1 D 213等差数列 na中， 1359a， 5792a，则数列 na的前 9 项的和 9S等于A66 B99 C 144 D2974函数 ()cos2)fx的图象可由函数 ()sin)3gx的图象A向左平移
2、 个单位长度得到 B向右平移 2个单位长度得到 C向左平移 4个单位长度得到 D向右平移 4个单位长度得到5若 ,sinco52则 tan等于A. B2 C D212 126. 函数34xy的图象大致是A B C D7某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为A 31 B 41 C. 51 D 618如图所示的程序框图中，如输入 m， 3t，则输出 yA 61 B 62 C. 183 D1849. 下列区间中，函数 )ln()xf2在其上为增函数的是A( ，1 B. C. D1，2)1， 43 0， 32)10. 已知点 A(4，1) ，B(8，2)和直线 l：xy 10，动点 P(x，y)在直
3、线 l 上，则 的最小值为|PA| |PB|A 35 B 5 C. 5 D 6511如图，已知正方体 的棱长为 4，点 在棱 上，且 .在侧面 内作边长为 1 的正方形 ， 是侧面 内一动点，且点 到平面 距离等于线段 的长.则当点 运动时， 的最小值是A. 21 B. 22 C. 23 D. 2512在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 ,1,0,abab点 Q满足 2()Oab曲线cosin,02CPab，区域 ,PrRr若 C为两段分离的曲线，则A 13rR B 13rR C 13r D 13第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
4、分 134 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 14设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxy m30 交于点 P(x，y) ，则|PA|PB|的最大值是 _15已知实数 u， v， ， y满足 21uv，0,2,xy则 zuxv的最大值是 16已知数列 na满足 *123nnaaN ， 2nnba，则数列 nb中最大项的值是 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公
5、路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米) 如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?18(本小题满分 12 分)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x（吨） 、一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5) 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直
6、方图.a0.520.40.16.20.8.44.543.532.521.510.50 吨吨吨吨（1 ）求直方图中 a 的值；（2 ）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；（3 ）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨） ，估计 x的值，并说明理由.19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD 4，AB2.以 BD 的中点 O 为球心，BD 为直径的球面交 PD 于点 M.(1)求证：平面 ABM平面 PCD；(2)求直线 PC 与平面 ABM 所成角的正切值；
7、(3)求点 O 到平面 ABM 的距离20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E： 1(ab 0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点 (c，0)，(0 ，b)的直线的距离为 c.x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，AB 是圆 M：(x 2) 2(y1) 2 的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程 5221(本小题满分 12 分)已知函数 224xfxea（ 0x， aR， e是自然对数的底数） （1）若 是 0,上的单调递增函数，求实数 的取值范围；（2）当 1,2a时，证明：函数 fx有最小值 m，且 2e请考生在第 22、23 题中任选
8、一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以 为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为4，曲线 C的参数方程为 2cosin（1）写出直线 l与曲线 的直角坐标方程；（2）过点 M平行于直线 l的直线与曲线 C交于 ,AB两点，若 8|3MAB，求点 M轨迹的直角坐标方程23(本小题满分 l0 分)选修 45：不等式选讲设函数 (21fx.（1）画出函数 )的图像：（2）若不等式 (fxa的解集非空，求 a的取值范围.2017 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）文科数学答案一、
9、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A 2D 3B 4C 5B 6A 7D 8C 9D 10D 11B 12A9.解：f(x)的定义域为(，2)，且 f(1)0.当 x1，2)时，f(x )ln (2x) ，f (x)为增函数 故选 D.10.解：设点 A1(x1，y 1)与 A(4，1)关于直线 l 对称，P 0为 A1B 与直线 l 的交点， ， .|P0A1| |P0A| |PA1| |PA| .|PA| |PB| |PA1| |PB| |A1B| |A1P0| |P0B| |P0A| |P0B|当 P 点运动到
10、P0点时， 取到最小值 .|PA| |PB| |A1B|点 A， A1关于直线 l 对称，由对称的充要条件知，解得 即 A1(0，3) y1 1x1 41 1，x1 42 y1 12 1 0，) x1 0，y1 3，)( )min .故填 .|PA| |PB| |A1B| 82 （ 1）2 65 6512.二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 145 15 2 16187814.解：易知定点 A(0，0) ，B(1，3)且无论 m 取何值，两直线垂直所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有|PA|2 |PB|2 |AB|2 10(P 在 以 AB 为 直 径 的
11、圆 上 ) 所以|PA |PB| (|PA|2| PB|2)5.当 且 仅 当 |PA| |PB| 时 ， 等 号12 5成 立 故 填 5.三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)解：设AMN，在AMN 中， .2 分MNsin60 AMsin（120 ）MN2，AM sin(120) 在APM 中，cosAMP cos(60) ，4 分433AP2AM 2MP 22AM MPcosAMP5 分 sin2(120 )422 sin(120)cos(60 )163 433 sin2(60 ) sin(60)cos(60)416
12、3 1633 83 3sin（2 120） cos（2 120） 203 sin(2150 )，(0，120) 10 分203 163当且仅当 2150 270，即 60 时，AP 2取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 .12 分318(本小题满分 12 分)4 分（2 ）由（） ，100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.12=36 000 8 分（3 ）因为前 6 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.
13、15=0.880.85，而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85，所以 2.5x3由 0.3(x2.5)=0.850.73，解得 x=2.9所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85% 的居民每月的用水量不超过标准12 分19(本小题满分 12 分)解：(1)证明：依题设，M 在以 BD 为直径的球面上，则 BMPD.因为 PA平面 ABCD，则 PAAB，又ABAD ，所以 AB平面 PAD，则 ABPD，因此有 PD平面 ABM，所以平面 ABM平面 PCD. 4 分(2)设平面 ABM 与 PC 交于点 N，因为 ABCD，所以 AB
14、平面 PCD，则 ABMNCD，由(1) 知，PD平面 ABM，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，所以PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角，且PNMPCD，则 tanPNMtan PCD 2 ，即所求角的正切值为 2 .8 分PDDC 2 2(3)因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由(1)知，PD平面 ABM 于 M，则|DM|就是 D 点到平面 ABM 的距离因为在 RtPAD 中，PAAD 4，PDAM，所以M 为 PD 中点，DM 2 ，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 .12 分2 220(本小题
15、满分 12 分)解：(1)过点( c，0)，(0 ，b)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到该直线的距离 d ，bcb2 c2 bca c2得 a2b2 ，解得离心率 e .4 分a2 c2ca 32(2)由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y 24b 2.依题意，圆心 M(2，1) 是线段 AB 的中点，且|AB | .5 分10易知，AB 与 x 轴不垂直，设其直线方程为 yk( x2)1，代入得(14k 2)x28k(2k 1)x4(2 k1) 24b 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .7 分8k（2k 1）1 4k2 4（2k
16、 1）2 4b21 4k2由 x1x 24，得 4，解得 k .8 分8k（2k 1）1 4k2 12从而 x1x282b 2.于是|AB| |x1x 2| .10 分1 (12)2 52 （x1 x2）2 4x1x2 10（b2 2）由|AB| ，得 ，解得 b23. 11 分10 10（b2 2） 10故椭圆 E 的方程为 1. 12 分x212 y2321(本小题满分 12 分)解：（1） ，依题意：当 时，函数 恒成立，即 恒成立，记 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，即 ；4 分（2）因为 ，所以 是 上的增函数，又 ， ，所以存在 使得所以 的取值范围是 6 分又当 ，
17、 ，当 时， ，所以当 时， 且有 8 分 10 分记 ，则 ，所以 12 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则 按所做的第一题计分22 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标系与参数方程解：（1） C：21xy，直线 l的直角坐标方程为 yx- 4 分（2）设点 0(,)M及过点 的直线为 012:tly（t 为参数） ，由直线与曲线相交可得：2 20003ttxtyxy， 2088|3xyMAB，即 20=6，即 2=6表示一个椭圆， - 8 分取 yxm代入 21y得 22340xm，由 得 3m，故点 M的轨迹是椭圆 2=6夹在平行直线 之间的两端弧 - 10 分23(本小题满分 l0 分)选修 45：不等式选讲解：（1）由于 (xf=2,32.x则函数 )(xfy的图像如图所示.5 分（2）由函数 )(fy与函数 yax的图像可知，当且仅当 2a时，函数 )(xfy与函数yax的图像有交点.故不等式 f)(的解集非空时， 的取值范围为 1,2,. 10 分
