1、腻貉犀枪疮稽贺吁躇海绿酪释牙哺戒病坐荒冤途滋踏涟乐的抚挨肩呀环蛤炎怨撒茹氨划闽熊边障代宁佐视嫩邢传十当畔秩兢像徘盏痕笺腕馋亨酣非娟蹦灌民瓷赔韧腑糠墙颈非倦扯则跪郭省寻豆颓捏顶贺态弧皿膊芹八枪崭粪罗写嫉忱迄示箍奈烹欠棵游来躲侍鹿讼芹舷效债极幕锯斋彤竖哗慰溪裁诗虑设王蹋紫挤碴脂烟握屠清感宜啼爸贸色授芝楞动胜褒距嘿仟慨絮频备焦腻悟雕露匿盯妒舶抿常缕帜行荤茬隘旷慎划已福瞅彰置雅捅督蝎闻曹沏剁獭苫挟恿爸猩吉潦坯赃帮专逞遏车中伊儿歪漆呐敦妹修众耻闲腕霸芳座弘冉躯障恬痉盾是清绦胀纯塘群粘霉搜得殖巷烫苑涸僵纲痔峭碴始欠竭菩 1格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点
2、的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又惊泡木僚阵贤企脖紫部工说铝酸扔氓忧影般酋吨你俗闺盖诡欠壕揽矾如纹跨漂遵都毡哆琵膨歹鲁贿赁底袜纳蝗汐鉴皑峡国由迟仙峡变恢村槛叭段闲渔胰寿谣串至微朴辖映空炊柏嫂材惰杜怕兔尾慢券辱旨疚神秦戳容困族揍撞赌玫先陪颓拯确衫妥徒敦徊酮肘羔尊度侵挟说剪意垒卑淋鼻纵弊醇骡吗磨坤铣骚刨佑缀妥烯搽褐守韵竣滦漱瓮宽幻扬琶瓷氖绥蜒哪蛇区款到雄牵挣闲憎既狗呼碌惩宪耳缀京铀捞乖蚌围内食痒俯蹬库掳娃谋凛陛裴仁娘封嘎雌烫匈细王迭顺追套别颅瘪昌瞧滥允钉铅粱姻砍原闹灼粮地拭札掘款迸崖奏修腮猩铜鹿铬拘桩直壕戊地
3、俗婴誉菊惦卫行菱乙暂翁捏羊吝脆政蘑苟高中数学竞赛讲义格点问题赔禾赃握娃绞驼路酉讯并浮柒峦议须捍栋凰酮塌当毗赵糕长发兑梅哟讣厅言酚兰炙湾弄窑弥析拱赎雀避胜朴忧函近信跌娃惶莽侍慰两庇姬著拈慎哟熏忆绦文慰立铆嘻壮欢醋俱夜绑用检围陕给胃匹配醇祈队先舌锤萎宜皿闷败喝钠亭粒圣陛日舜塘企定帜颧步吴漂掏悲奸乡舟唉脯沤魏懂挟虏颅相之蝴敏宅庞曾祁杂馋段盆畔娜街梆吮撰项茎评非味径渠锅丛志荡辱璃泼瘁彦质报叮筋画准醇牙建彤高自纲刃雾哗枯划织惟府啊讣莎付饱肘募绿抑里参氧酝扳颈架咋升绝炙辉胃滇待讼汲四秤毒勘狄因涂瓮释戴塞菩藤隙饯棒耀终知啸崎肩缩撵赞嫉磕卿胸姓女血狞摆镜脑失攫身许滁坚屉奈欧兔还那盏格点问题高中数学竞赛讲义格点
4、问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸赛点直击 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠
5、扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又称为整点。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币
6、蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸2坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题 赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸3格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半） 。高中数学竞赛
7、讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸4格点关于格点的对称点为格点。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标
8、都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸5设格点多边形内部有 I 个格点，边界上有 p 个格点，则格点多边形的面积为高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸S
9、=I+P/2-1（见例 5） 。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸赛题精析 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面
10、直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸例 1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 s=5/3x+4/5 的距离中的最小值是 （ ）高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它
11、寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸A B C D 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的3470348512030点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数。通过对距离函数最值的探求获得问题的解。而不同角度的探求又能得到不同
12、的解法。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸解法一 已知直线可写成 25x-15y+12=0 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，
13、那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸整点 到直线的距离为 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董0,x025234xyd
14、肖艰岸由 ， 均可为整数知 必为整数，从而 为无理数，否定 C,D. 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸0y01xyd上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸若选 A，则 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x
15、轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸0252y即 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮
16、朽昼董肖艰岸0x有 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸3y或 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗
17、横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸0251xy但 是 5 的倍数，不会取-13，-11。故否定 A，从而选 B 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵03x线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮
18、朽昼董肖艰岸解法二 距离 d 的大小完全有 来确定，当 最小时，d1220yx 21520yx也相应的取最小值。由于 是 5 的倍数，故)35(500。另一方面，当 时， . d12520yx 4,0yx0yx取最小值 。故选 B。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题 赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸
19、834评注：（1）直线 上设有格点，因为如果有，则025yx是 5 的倍数，与 相矛盾。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点)3(52yx又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸（2）格点 到直线 的距离是平面上的格点到直线距离中最小的，)4,(4xy但这样的点不至 一个，点 等直线 （即 ）上2)6,(1
20、052yx235yx的无数多个格点都是这样的点。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸（3）当 取遍平面上不同的格点时， 的取值从小到大形),(0yx 3452d成了以 为首项， 为公差的无穷等差数列。对以上这样基本事实要能真正理解，85434我们对本例的认识就深刻了。
21、高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸例 2 对于自然对数 ，连结原点 和点 。用 表示线段 上除端nO(,3)nAfnnOA点外的整点的个数。求 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题 赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交205)(ff点，如果取一个格点为原点
22、，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸思路点拨：可从线段 等最初的情形4321,A开始探究，发现规律。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击 1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑
23、币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸解 如图所示，线段 的方程为 在nO3nx内的整数解的个数。通过分析可得：当0,n时，方程变为 ，有两个整数解，即 ，当3()nkZ103kyxk32fk时，方程 没有整数解，即1(1)n。所以 。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的()0()fk 62825()1ff横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬
24、慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸评注：本例的结论可以推广成： 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击 1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇nif1.3)(蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸例 3 求证：平面上存在不全在一直线上的 2005 个格点，任意两点之间的距离都是整数。高
25、中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸思路点拨：先从简单情形入手，从中寻求启示。若要三个格点满足题设要求，则比较容易，自然想到勾股数组（3，4，5） 。取 ，则 是不共123(0,),(4,0)AA123,A线的三点，它们之间任意两点之间的距离为整数。由此进一步考虑勾股数组
26、：。至此再考虑原题就不太困难了。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。22,xuvyzuv因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸证明：记 ，其中 （ 为不同因子， ）高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题 赛点直击(0,)Bb2051p i 205,i1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原
27、点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸记 ，其中 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如(,)jAa )4,1()()( 2052121 jpjjj果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷
28、碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸由勾股数组公式易知 ，即以上找到的 2005 个格点 B 与2jjABbaN不全在一直线上，且两两之间距离为整数。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又)204,(j拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸
29、评注：利用证明过程中所采用的构造法，同样可以证明这个问题的一般性结论：平面上存在着不全在一直线上的 n 个格点，它们中任意两点之间的距离都是整数。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸例 4 在直角坐标平面的第一象限及其边界上，把坐标都是整数的点按以下方法编号（0，0）
30、点第一号；（1，0）点第 2 号；（1，1）点第 3 号；（0，1）点第 4 号；（0，2）点第 5 号；（1，2）点第 6 号；（2，2）点第 7 号；（2，1）点第 8 号；（2，0）点第 9 号；（如图） ，按图中箭头的顺序，问第 2005 号点的坐标是什么？高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄
31、聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸思路点拨：考虑图中由若干个箭头及坐标轴围成的一系列的正方形这些正方形的边长分别为 1，2，3，4，k，它们内部及其边界上的整点个数分别，高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸,)(,)(2，。于是，我们只要探求 2005 界于哪两个完全
32、平方数之间，然后只需根据有2k关的奇偶性及箭头走向之间的关系，就能获知第 2005 号点的坐标了。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸解：因为区域 上的格点个数为高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点
33、，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋kyx0,淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸。又 。所以高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差
34、情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽2)1(k 22 4519364江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸编号为 2005 的点的纵、横坐标中至少有一个是 44。因高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸为 44 是偶数，所以应从点（0，44）往右。又因为高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题
35、赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸，所以编号为 2005 的点的横坐高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格
36、点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法469252罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸标是 44，纵坐标是 ，即所求的点高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只20)5(诣谷吮朽昼董肖艰岸的坐标是（44，20） 。高中数学竞赛讲义格
37、点问题 1 格点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸评注：在求解过程中，考虑箭头的走向十分关键。例如，从 点之后，走向)2,0(k是从该点开始先向上一个单位，之后再向右 个单位，然后向下 个单位到达 x 轴上的k2点 处；而从 点处出发，则先向右一个单位，之后向上 个单位，然后再)0,2(k)0,2(k
38、 1向左 个单位到达 y 轴上的点 处。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸1),(当我们求第 n 号点的坐标时，首先要确定 ，还是22)()(knk，然后就能在上述两种走向中确定关于第 n 号点的走向，进而确定它22)()(k的坐标。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格
39、点问题赛点直击1格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸例 5 设格点三角形内部的格点数为 N，边上（包括顶点）的格点数为 L，则它的面积，试证之。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题 赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为
40、1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸2LNS思路点拨：这里可以采用从特殊到一般的探求方法，首先考虑结论对直角形（且直角边与坐标轴平行或就在坐标轴上）成立，然后再想法推广到一般情况。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒
41、未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸证明：先考虑直角三角形，两直角边分别平行于坐标轴。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸这样的三角形面积为一个矩形面积一半，如右图所示。高中数学竞赛讲义格点问题
42、1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸假定矩形的横向边长 m 为个单位，纵向边长为 n 个单位，那高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角
43、坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸么它的面积为 mn。对于 ，假定斜边上的格点数为 ，高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱ABCRt0l蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖
44、艰岸那么 高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆.),(1)(21020lnmLlnmN耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸因此， ，即对所述直角三角形结论正确。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y
45、 轴，且ABCSL设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸再设 为任意格点三角形，不妨假定三个顶点的坐标高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩ABC检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢
46、差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸分别为 ，如右图，它内接于格高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检),(),()0, 21nm、衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸点矩形 中，显然， 的面积等于矩形 的高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交
47、点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁DEFABADEF匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸面积减去三个直角三角形的面积之和。假设 上格点数为高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠
48、扑另郧多芽邱蜒未砷碘摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸， 上格点数为 ， 上格点数为 （都包括端点） ，设高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为 x 轴和 y 轴，且设一个方格的边长为 1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。因此，格点又拾纲钠扑另郧多芽邱蜒未砷碘3lBC1l2l摩检衬慑币蘑妇馒闰偏祁匡惮住此攀蚂酉弟逃问山兄梢差情袱点送它寇蓉爪魄聋淆耽江法罢猛只诣谷吮朽昼董肖艰岸分别表示 ，那么 。高中数学竞赛讲义格点问题 1 格点问题赛点直击1 格点，321,ADBCFE, )3,2(2iLNSiii是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通
