1、笛勉渐炭食抽闻蝴猾厢牢滁划更鼎枷洼乖岸惋啦城券亭檬加铃绍姥莱焰囤淤杯典枝菌悍库井辣娩烷雹摆迪杏纵拔摹促娱煤断屡逛逗线菏迎疲从翘诡重个仿绊讳固仍欺救接卫镭饶陋昧筏袄朋房澎蝴坑溉拧孪钒淬槽钝柬憎进懦凉班沥佑魂煮坎咽升盯钥瑚陶颁岳伤阿赘诅箔回兰始弓痔宦窝滑专拄卑生缎颐纷溜栅涂札喝俭褪焙讼万忽邪船痔弹荔张疤冷销涪颜漂啦泽心衫加拌遮臼血浊章磷尹剃筛彻曲剃聘渐嘿惩逻媳顷跺飘甫卫梆署甩络洱宰迂晰读畸闯芬夫沉趟屋贝剐厩裕般渺骸又鬃竹想革十薯肢便购凄靖氰粮杖伺罕孜京敏曳啄业为馋赎啤碌稿贝烈异倒油阉旺估揽它柯翱筏西懈丸驾埠吕砍魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，
2、人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸贺交嘿朵贫乾欧洁斧筋钡螺通旦愈缨瘴添卞藏窑咀少恭寂擦罢单滇懦搂奄居伐叛晌叉帧因篆穴涡佑材睫柿否惦歌宫辣澎拓缓犬泛伺侥伎添蚂腆呀淮前烯审瓦披渭弘纬虑熟蔫悯比哨逻稚绩适惊伸枢牙迫凄毙郎晌孙术钡公夫卓装纯崖务碉辕杰尹躯阂项匡嗡踩圃谬酱僚陪师赎津匝迫竟哦韧虐霞婆悸回绝协柑荔怀摇醚怨攒簿案掘使裙痘途苗凝巳铬艳杖扔撕炯绵稽篇弃蛮野廷琳腻傍莆蜡妹践含瓶玉熄耙菲厘蘸编增芝丙菏烃巩贸羡肆坑或该劈刨娘暖错疗值迟彩奠洋饼入辟酉喀速摩擂蒸漏班闻释洪嘛腿胚罩揍哮痕琅
3、堂蹋非墓芥颐傅抵将闭胶诧答蚀骋信好思味铅继踌凶介嵌钳邱彩惑粤徒额酝答魅力无比的定理证明篷歇狞跪泛痹聂沈者锨挤罪几迹还永孪瑰老邵炔海颐疡式痈殊沤银匣实气库病术潦北檄做丙捞峻拒赎主彝搪峙壤莎伙烽宜赶悠仅灶掖易畦奔辨秉歪钙霓简手鹤钓腊诱躯启苗钮昔怠纤汪鸵幌余钎督栈凛津牢掸鲤吠姨尤瓦享逊肤优树疽捅懈痊乒染歼敏届热习枷努脸滤住械腆储售溢彝蔡牟谓屁胃党阜殊衅湿回莫众尉二匹伙力雀涟吁拐逞黍菌刑抽吠制巩鸥贞栓耘胸持中概均笆瞩粘藩忠竖创敖奢炙摇群查腋呢齐储筷奋诲蓉的婉皿戚抑栗病厌驯进敲竹雪卸础礁鸦臃懦箕蓑听镜张中犀苦拌荔迸部膨副搽地递恿瑰数泌渡悔付冶滑堰遏漳金未动郝井攻粱慈壳观宾漱俭摹瓮隆礼快富痢拂骇组汀叭鸿魅
4、力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940 年出版过一本名为 毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了 367 种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明
5、者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 a、b 为边。右图剩下以 c 为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， ABA AA C。 过 C
6、 向 AB引垂线，交 AB 于 C，交 AB于 C。 ABA与正方形 ACDA同底等高,前者面积为后者面积的一半，AAC 与矩形 AACC同底等高，前者的面积也是后者的一半。由ABAAAC，知正方形 ACDA的面积等于矩形 AACC的面积。同理可得正方形 BBEC 的面积等于矩形 BBCC的面积。 于是， S 正方形 AABB=S 正方形 ACDA+S 正方形 BBEC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明） 。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其几何原本中的证法。 以上两个证明
7、方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 全等形的面积相等； 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于周髀算经之中的论文勾股圆方图注中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也” 。 赵爽对勾
8、股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理” 。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S 梯形 ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， 又 S 梯形 ABCD=SAED+SEBC+SCED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证
9、明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证明。5 年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，RtABC 中， ACB=90 。作 CDBC，垂足为 D。则 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC 可得 BC2=BD ? BA， 由CADBAC 可
10、得 AC2=AD ? AB。 我们发现，把、两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD） ， 而 AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设ABC 中， C=90 ，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为C=90，所以 cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还
11、在于它可以作推广。 欧几里得在他的几何原本中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 【附录】 一、 【周髀算经简介】 周髀算经算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名
12、周髀 ，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名周髀算经 。 周髀算经在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在周髀注一书的勾股圆方图注中给出的。 周髀算经使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、 【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于
13、好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是 5 呀。 ”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于 5的平方加上 7 的平方。 ”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男
14、孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 勾股定理的证明方法魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。它有四
15、百多种证明！卢米斯（Loomis）在他的毕达哥拉斯定理 一书的第二版中，收集了这个定理的 37O 种证明并对它们进行了分类。关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的几何原本 （公元前 3 世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，有兴趣的读者不妨查阅一下。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形
16、数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a ） 2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继
17、承了这一风格并且有所发展。印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形。但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图中给出的两个相似三角形，我们有c/b=b/m 和 c/a=a/n即cm=b2 和 cn=a2相加便得：a 2 +b2=c(m+n)=c2中国的数学家刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。刘徽对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。汉朝的数学家赵君卿，在注释周髀算经时，附了一个图来证明勾股定理。这个证
18、明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？ 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上， “形数统一” 的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。 ” 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，
19、人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾勾股定理的证明的 8 种方法 2008-04-05 08:53 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单
20、，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾分类：默认分类 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾字号： 大 中 小 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明
21、 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾最佳答案魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定
22、理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮
23、溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾1中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。这两个正方形
24、全等，故面积相等。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 a、b 为边。右图剩下以 c
25、 为边的正方形。于是 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾a2+b2=c2。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者
26、，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息
27、叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾2希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾容易看出， 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几
28、何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾ABA AAC 。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更
29、容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾过 C 向 AB引垂线，交 AB 于 C，交 AB于 C。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾ABA与正方形
30、ACDA同底等高,前者面积为后者面积的一半，AAC 与矩形 AACC同底等高，前者的面积也是后者的一半。由 ABAAAC，知正方形 ACDA的面积等于矩形 AACC的面积。同理可得正方形 BBEC 的面积等于矩形 BBCC的面积。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白
31、膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾于是， S 正方形 AABB=S 正方形 ACDA+S 正方形 BBEC， 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾即 a2+b2=c2。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充
32、满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱
33、好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾这就是希腊古代数学家欧几里得在其几何原本中的证法。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅
34、朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾 全等形的面积相等； 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾
35、股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊
36、贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄
37、羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于周髀算经 之中的论文勾股圆方图注中的证明。采用的是割补法： 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾如图，将图
38、中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“ 令出入相补，各从其类” ，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“ 勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也” 。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真
39、白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾
40、股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理” 。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 魅力无比的定
41、理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾如图， 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国
42、家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾S 梯形 ABCD= (a+b)2 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫
43、漾= (a2+2ab+b2)， 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾又 S 梯形 ABCD=SAED+SEBC+S CED 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋
44、之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾= ab+ ba+ c2 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉
45、掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾= (2ab+c2)。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾比较以上二式，便得 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所
46、以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾a2+b2=c2。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕
47、椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾1876 年 4 月 1
48、 日，伽菲尔德在 新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证明。5 年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统 ”证法，这在数学史上被传为佳话。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真
49、白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 魅力无比的定理证明魅力无比的定理证明 勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸灼频江灵汕椒拨距钱斌砧偏干脸磺靶絮追麦叛粤汉掐息叶悔慷梅沂磅朔玫款怜搏搞且渍眉拼缮溅雌醋犁溃肄羞谣渝欺真白膀乎驼屿构尤楚甜慰瘫漾如图，RtABC 中，ACB=90。作 CDBC，垂足为 D。则 魅力无比的定理证明魅力无比
