1、品淘奥数（高年段 老师用）第六讲：还原问题专题简析：在数学学习中，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。小试牛刀1、有一个数，把它乘以 4 以后减去 46，再把所得的差除以 3，然后减去 10，最后得 4。问：这个数是几？分析与解答：这个问题是由（446）3104，求出。我们倒着看，如果除以 3 以后不减去 10，那么商应该是 41014；如果在减去 4
2、6以后不除以 3，那么差该是 14342；可知这个数乘以 4 后的积为 424688，因此这个数是 884=22。即：（410）346422。2、小马虎在做一道加法题目时，把个位上的 5 看成了 9，把十位上的 8 看成了 3，结果得到的“和”是 123。问：正确的结果应是多少？分析与解答：利用还原法。因为把个位上的 5 看成 9，所以多加了 4；又因为把十位上的8 看成 3，所以少加了 50。在用还原法做题时，多加了的 4 应减去，多减了的 50 应加上。即：123-450169。3、一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩
3、7 米，这捆电线原有多少米？分析与解答：由逆推法知，第二次用完还剩下 157=22（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（243）254（米）。即：（15710）23254（米）。4、某数加上 7，减去 6，乘以 5，除以 4，其结果等于 40，这个数是多少？分析与解答：分析同上题。即 4045+6-7=319。5、丽丽今年 9 岁，当她问爷爷今年多少岁时，爷爷风趣地说：“把我的岁数加上 5 再乘以 3，然后缩小 10 倍再减去 12，正好与你的岁数相同。”丽丽的爷爷今年多少岁？分析与解答：分析同上题。即（9+12）103-5=65(岁)。挑战自我1、学校运来 36 棵树
4、苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了 10 棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来 6 棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的 2 倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？分析与解答：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗 36 棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的 2 倍，所以欢欢现在拿了 36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了 6 棵后是 24 棵，如果不抢，那么乐乐有树苗 24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了 10 棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有181028（棵）。即：365（12）2-610=28（棵）。2、甲、
5、乙、丙三组共有图书 90 本，乙组向甲组借 3 本后，又送给丙组 5 本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？分析与解答：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数 90 本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书 90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有 30333（本），乙组有 303532（本），丙组有 30525（本）。3、某人去银行取款，第一次取了存款的一半多 50 元，第二次取了余下的一半多 100 元。这时他的存折上还剩 1250 元。他原有存款多少元？分析与解答：利用问题还原法，由“第二次取余下的一半多
6、 100 元”可知，“余下的一半少 100 元”是 1250 元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元），余下的钱（余下一半钱的 2 倍）是：13502=2700（元）。用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：（1250+100）2+502=5500 （元）4、某粮库有面粉若干袋，第一次卖掉原有的一半少 12 袋，第二次卖出剩下的一半多 10袋，第三次又卖出 48 袋，这时还剩 28 袋。求粮库中原有面粉多少袋？分析与解答：(48+28+10)2122=320 袋。5、刘经理领回当月工资后，留下一半作为生活费，拿出 350 元准备付水电费，又拿出剩下的一半存入
7、银行，这时又拿出 20 元买了一些水果带回家，最后还剩 480 元。刘经理这个月的工资是多少元？分析与解答：分析同上。即 （480+20）2+3502=2700（元）。智慧一加一1、有甲、乙两筐桔子，只数不等。先从甲筐里拿出一些桔子放到乙筐里，使乙筐里的桔子数增加一倍；再从乙筐里拿出一些桔子放到甲筐里，使甲筐里的桔子数也增加一倍。这时甲、乙两筐里都有 60 只桔子。原来甲、乙两筐里各有多少只桔子？分析与解答：现在甲、乙两筐里都有60 只橘子，由于之前的交换使甲的桔子数目增加了一倍，所以之前甲是30，乙是 90；又由于之前的交换使得乙的桔子数目增加了一倍，所以之前乙是45，甲是75。2、三堆苹果
8、共有 48 个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这里这一堆个数相等的草果并入第一堆。这里，三堆草果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？分析与解答：由题意知，最后每堆草果都是48 3=16（个），由此向前逆推如下表：第一堆 第二堆 第三堆初始状态 8+14=22 282=14 12第一次变化后 8 16+12=28 242=12第二次变化后 162=8 16 16+8=24第三次变化后 16 16 16原来第一、二、三堆依次有22 、14 、12个苹果。逆推时注意，每次变化中，有一堆未动，有一堆增加了一倍，
9、逆推时应除以2。另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。3、兄弟三人分 24 个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？分析与解答：由于总共有 24 个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有2438（个）桔子。由此列表逆推如下表：由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子 13，7，4 个，现在的年龄依次为16，10，7 岁。逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应
10、乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半。 4、村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个?分析与解答：从上面线段图可以看出：最后剩下 2 个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的 2 个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是(2+2)2=8(个)。 8 个再加上第二次卖出余下的一半以外的 2 个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(8+2)2=20(个)。20 个再加上第一次卖出一篮的一半以外的 2 个就是全篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是： (20+2)
11、2=44(个) 。5、甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有 81 元，那么三人原来的钱分别是多少元？分析与解答：三人最后一样多，所以都是 813=27 元，然后我们开始还原：（1）甲和乙把钱还给丙：每人增加 2 倍，就应该是原来的 3 倍，所以甲和乙都是273=9，丙是 81-9-9=63；（2） 甲和丙把钱还给乙：甲 93=3，丙 633=21，乙 81-3-21=57；（3）最后是乙和丙把钱还给甲：乙 573=19，丙 213=7，甲 81-19-7=55 元。
