1、专题10 集合论的创立与发展,教育硕士 林清峰,19世纪,由德国数学家康托（G.Cantor，18451918）建立的集合论是关于无穷集合与超穷数的数学理论，是人类思想史上最伟大的创造之一。,一、无穷是什么？,神秘莫测的，无边无际的，苍穹一样的迷人的， 诗人，作家，艺术家，神学家，科学家数学家,从一粒沙子看世界， 从一朵野花看苍穹， 把无穷掌握在你的手中， 把永恒掌握在顷刻之中。威廉布莱克（William Blake）英国著名诗人 诗作天真的预言（节选）,无穷是什么？,数的概念演进,经历四次飞跃： 区别一与多 区别少数与大数 区别有穷数与无穷数 区别无穷数的不同层次 每一次飞跃代表对数、对无穷
2、的新认识。,无穷是什么？,阿基米德（Archimedes 287-212 B.C.）在数沙者（The Sand Reckoner）中定出一种计算地球上所有海滩上的沙粒数目的方法，从而纠正了认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。,无穷是什么？,二、关于无穷集合的早期认识,希腊人通常认为无穷是不能接受的概念，它是一个不着边际且不确定的东西。 亚里士多德（Aristotle，384322 B.C.） 潜无穷与实无穷 地球的年龄 正整数 整数,两种无穷观,亚里士多德在他的物理学中得出的结论是：“可选择的是无限具有潜性的存在不会存在实无限。”他坚持认为数学中不需要后者。,关于无穷集合的早期认识,无限悖论栖身
3、之处,亚里士多德只承认有穷数的存在。他和经院哲学家们使用的一个典型论据是，如果承认无穷，就会导致有穷数的“湮灭”。 普洛克鲁（Proclus，410485 A.D.） 伽利略（Galileo，15641642）两门新科学(1638） “所有无穷大量都一样，不能比较大小。”,关于无穷集合的早期认识,许多数学家像谈论数一样谈论无穷，却并没有弄清它的概念或确定它的性质。 欧拉 代数学(1770年)1/0是无穷大（而他并没有定义无穷，只是用符号表示它） 2/0,关于无穷集合的早期认识,笛卡尔说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。” 高斯在1831年写给舒马赫的信中说：“我反对把无穷量作为现实的实体来用
4、，在数学中这是永远不能允许的，无限只不过是一种说话方式，我们所说的极限是指，某些比可以随意地接近它，而其他的则被允许无界地增加。”,关于无穷集合的早期认识,柯西（Cauchy,Augustin-Louis 1789 1857） 拒绝承认完成的无限集合的存在，其根据就是有这类悖论：一个完成的无限集合能与其本身的真正部分建立一一对应。,有限集合 大小的比较“整体大于部分” 欧几里得十条公设最后一条 计数的根据波吕斐摩斯的故事 利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。 荷马史诗记载 荷马（Homeros) 约9-8B.C. 古希腊诗人,有限集合的早期认识,当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并
5、离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。,结绳记数成为人类早期表示记数的方法,图：日本琉球群岛的结绳,三、无穷集合论的创立,波尔查诺（B.Bolzano ，17811848，捷克） 无穷的悖论（1851）,实无穷集合 两个集合等价的概念，即后来叫做两个集合元素之间的一一对应关系，适用于有限集合，也适用于无限集合 无穷集合中部分或子集可以等价于整体 对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，使不同的无穷
6、集合有不同的超限数，但他认为对于超限数无需计算，所以不用深入研究它们。,无穷集合论的创立,为了说明这种等价关系的真实存在，他举出了大量实例. 例如，在实数集 0，5 与实数集 0,12 之间可以建立 11 对应关系,无穷集合论的创立,直到19世纪上半叶，虽然数学家要处理无穷集合，例如无穷级数、实数、自然数，等等；但是，他们一般都避开存在完成的集合的假定后面的麻烦问题。,无穷集合论的创立,康托集合论的起源 19世纪,分析的严密化使人们必须考虑，收敛的无穷级数（有一个有限和）和那些发散级数的区别。在这些级数中，三角函数的无穷级数，即以傅立叶命名的傅立叶级数，起了极其重要的作用。,无穷集合论的创立,
7、傅立叶（J.B.J.Fourier ，17681830，法国）1807年 “对任意给定的函数都可以用一具有特殊类型的系数的三角级数表示” 被称为傅立叶级数 成为数学分析与数学物理中强有力的工具,但在当时被认为是缺乏严格性的。,无穷集合论的创立,“ 集合论，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人对于三角级数丰富的研究以及对不连续函数的分析。狄里克莱（Dirichlet）,李普希兹（Lipschitz），汉凯尔（Hankel）等人都对探索三角级数问题时引进例外点集，但主要是因为他们大体上是在三角级数的范围内考虑问题，虽然所作的大量工作包含了集合论的思想，只是在对函数分析时充当辅助性手段 ”,无
8、穷集合论的创立,柯西（A.L.Cauchy，17891857） 1823年，试图建立更严格的傅立叶级数理论，但他的许多论证是不充分的。 狄里希雷（P.G.L.Dirichlet ，18051859） 1829年，发表了一篇关于傅立叶级数的论文，其中证明，对于一个给定的函数，只要它是连续的，就完全可以由它的傅立叶级数表示，端点可能除外，而在不连续点和端点（和）处，函数仅当满足某些附加条件时才可由傅立叶级数表示。,康托（G.Cantor，18451918） 1870年-1872年 “函数展开为三角级数的唯一性”,无穷集合论的创立,数学分析里间断函数求积分问题和三角级数收敛性问题的研究都要求对于产生
9、各种不连续情形的函数定义域之上的点集进行特殊的考察，一般是要求能够从某一区间的所有点中分离出另一无穷点集。这个分离出的无穷集的性质在很大程度上影响着对有关问题的讨论。“无穷的各种关系弄得完全明朗”,无穷集合论的创立,“ 在建立三角级数表达式的唯一性定理时，他改造了他的前辈和同事的旧思想，表现出一种独创精神。康托在整个研究中将无穷集合作为一个独立于函数理论的对象进行考察，并在这一过程中大胆开创了数学的一个全新领域超穷集合论.”,无穷集合论的创立,论所有实代数数的一个性质（1874) 1873年11月29日，康托在给戴德金的一封信中明确提出了后来导致集合论产生的问题：正整数的集合（n）与实数的集合
10、（x）之间能否建立一一对应？,无穷集合论的创立,“取所有正整数 n的集体，表示为（n)，然后考虑所有实数 x的集体，表示为(x）；简单说来，问题就是（n)和（x)是否能够对应起来，使得一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个且唯一一个个体？乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为（n)由离散的部分构成，而（x)构成一个连续统；但是从这种说法我们什么结果也得不到. 虽然我非常倾向于认为（n)和（x)不能有这样一个一意对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。”,历史性发现：尽管有理数具有稠密性，但是它们是可数的！ 戴德金在连续性和无理数（1872年出版） 稠密
11、性与连续性 康托在1895年给出的第二个证明是现在普遍采用的。,无穷集合论的创立,证明有理数集Q是可列集（采用对角线的对应方法）,“上面把有理数域比作直线，结果认识到前者充满了间隙，它是不完备的、不连续的，而我们则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续的。”,“连续性公理” 实数就其数目和特性而言，要比有理数更丰富，因为无理数竟然能不可思议地填满了有理数以外的所有空隙，从而在连续性和完备性上完全超过了有理数。,1873年12月7日，康托在给戴德金的信中断言实数是可数的，全体实数可以排成一个序 列。但他很快发现所给出的证明太繁，两天后当他企图修改它时，偶然发现对任意包含在（0，1）中的区间（a，b
12、）,他能够证明存在一个数m in (a，b)，没有列在上面的序列中。,无穷集合论的创立,由此，康托在一个星期之内戏剧性地改变了自己的主张，获得一个全新的、先前几乎不太令人注意的方法突然涌现在他头脑中，康托得到了意外的收获，他立即补上了两个证明：代数数是可数的，实数是不可数的。,无穷集合论的创立,康托这第一步的主要成就在于在混沌一片的无穷划出一首线，在无穷当中区分开来可数的与不可数的两类，这成为研究无穷的出发点。康托第一次把可数性概念这词引进数学，并且给出明确的含义，判定的方法,对于凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合（可数集合）。 这是最小的无穷集合。,无穷集合论的创立,“康
13、托1874年的论文中，不但证明了实数的不可数性，而且还把这一性质应用于一个长期困扰数学家的难题超越数的存在。这是一个真正引起争论的定理，因为人们毕竟只知道极少数几个非代数数的存在。而康托却十分自信地说，绝大多数实数是超越数，但他在作出这种推断的时候却没有展示出任何一个具体的超越数实例！ ”,无穷集合论的创立,“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”数学史作家埃里克坦普尔贝尔,1877年 6月20日，康托证明了：不仅由平面到直线可以建立一一对应，而且由任意维空间到直线都可以建立一一对应。“我看到了，但我简直不能相信它！”-G.Cantor,无穷集合论的创立,康托集合
14、论(1878)(直译应为对流形学说的一个贡献)： 两个集合称为等势的，如果它们之间能够建立一一对应。,无穷集合论的创立,康托的两个基本前提：可以通过一一对应的方法来确定相同基数；实无穷是一个确实的概念。,无穷集合论的创立,1879年-1884年间，康托相继发表了六篇系列文章，汇集成关于无穷的线性点集 1879年这篇，康托阐明了点集的另一个重要问题：按照集合的势对点集进行分类,无穷集合论的创立,集合论基础的出版（1883年） 康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托通过对无穷集的研究，创造了一种新的数字和一种新的数字类型。,无穷集合论的创立,康托清醒地认
15、识到，他这样做是一种大胆的冒进。 “我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”,无穷集合论的创立,基础中康托关于无穷的哲学,第一次公开地为实无穷这一大多数神学家，哲学家和神学家长期反对的概念提供了辩护。,无穷集合论的创立,康托认为，无论数学家们过去曾经作过什么假定，我们都不应认为有穷的性质可以适用于无穷的各种情况，而又正是这种不加限制的推广导致了种种矛盾和误解。,无穷集合论的创立,波尔查诺是实无穷的坚定拥护者实无穷可以无矛盾地引进数学的思想。 无穷的悖论（1821年） 是对数学和哲学的
16、重要贡献。 著作的特色之一是关于实无穷和潜无穷的区分。 数学上“实无穷”的概念；势及序数的概念；,无穷集合论的创立,第一，肯定实无穷是数学理论发展的需要。 第二，无穷有其固有的本质，不能把有穷所具有的一切性质都强加于无穷。 第三，有穷的认识能力可以认识无穷。,无穷集合论的创立,“ 正象每个特例所表明的那样，我们可以从更一般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷可能性的所谓证明都是站不住脚的，他们一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特性，甚至把有穷数的性质强加到无穷数上；与此相反，如果我们能以任何方式理解无穷数的话，倒是由于它们（就其与有穷数的对立而言）构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物
17、本身的性质，这是研究的对象，而并不从属于我们的主观臆想和偏见。”,超穷数理论的奠基性贡献，于1895年和1897年先后发表了两篇对超限基数理论具有决定意义的论文。 “序型”的概念，相应的序数。 集合 超限基数和超限序数的定义，符号；排成一个“序列”；加法，乘法和乘方。,无穷集合论的创立,贡献的第一段话是那个关于集合的经典定义 定义：集合M是能够明确区分的思维或感知的对象m（称为M的元素）的总体。,无穷集合论的创立,四、集合论悖论,1康托悖论（1895年发现，1899年公布） 2布拉里 -弗蒂悖论（1897） 3罗素悖论（1902） 4理查德悖论（1905） 5佩利悖论（1906） 6格里灵悖论
18、（1908),罗素悖论（1902） 集合分成两类：集合是它本身的元素， 称为“非正常集合”；集合不是它本身的元素， 称为“正常集合”。 设“是所有不包含自身的集合的集合。” 问：“包含不包含自身？”,集合论悖论,理发师悖论（1918） “在萨维尔村，理发师挂出一块招牌： “我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。,集合论悖论,五、有关集合论的争论,克罗内克（Kronecker ） 他在许多场合大骂康托是“败类、臭虫”，“我们科学的敌人”。他对外尔斯特拉斯的学生柯瓦列夫斯卡娅（18501891）说，康托的集合论同任何一门数学毫无共同之处，同另
19、外一些人说康托的集合论空洞无物。,庞加莱（Poincare，1905）： “Cantor给科学引入了考虑数学无穷的新方法但是发生了这样的事，我们遇到了会使爱利亚学派的Zeno和麦加拉哲学学派高兴的一些悖论，一些明显的矛盾。所以每一个人都必须寻找补救的方法。就我来说 而我并不是单独一人 我认为重要的是永远不要采用一些不能用有限的文字完全定义的东西。不论采用什么样的疗法，我们一定可以请来一位治疗一个极好的病理学病例的医生，并为此而感到喜悦。” 1908年他又说： “今后的几代人将把集合论当做一种人们已经从中恢复过来了的疾病. ”,数学知识来源于人的直觉，而数学的确定性仅限于有限论证的严格界限内，要
20、证明什么东西存在，那就要具体造出来. 反对把无穷当作确实的概念,“我的理论坚如磐石；射向它的每一支箭都会迅速反弹. 我何以得知呢？因为我用了许多年时间，研究了它的各个方面；我还研究了针对无穷数的所有反对意见；最重要的是，因为我曾穷究它的根源，可以说，我探索了一切造物的第一推动力。” G.Cantor,六、集合论的历史地位,康托创立的超穷集合论赋予实无穷的观念以数学内容，为抽象集合论奠定了基础，并为微积分的基本原理和实数连续统的分析作出了重大贡献。 康托的最引人注目的成就是从数学上严密地证明了“无穷”并不是铁板一块的不可分的概念。并非所有的无穷集合都具有相同的大小，因而它们之间是可以互相比较的。
21、,如今，“集合”这个词已经成为数学中最重要和最基本的术语之一，大部分数学的相容性已经被奠基于集合论的相容性之上，集合论在某种意义上已经成为整个数学最坚实的基础。,七、悖论的解决和集合论的发展,所有的人都渴望能解决悖论的问题以重建先前对数学相容性、严格性和确定性的信念，但他们为达到这一目标所选择的道路则是很不相同的。 20世纪初数理逻辑：罗素的类型论；数学原理形式公理化：公理集合论,策梅罗（德国数学家，1908年） 采取希尔伯特的公理化方法回避悖论，把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。 引进了七条公理：决定性公理（外
22、延公理），初等集合公理，分离公理组，幂集合公理，并集合公理，选择公理，无穷公理。,悖论的解决和集合论的发展,实际上策梅罗德公理系统是把集合限制得使之不要太大，即不只简单地将集合看成一些集团或集体。它是满足7条公理条件的对象。这样就排除了一些不适当的集合，从而消除了已知悖论产生的条件。现代标准的“策梅罗弗兰克尔公理系统（简称ZF系统）”。,悖论的解决和集合论的发展,在20世纪初，集合论的基本概念和方法不仅渗透到现代数学的各个部门（如分析、代数和拓扑等），而且渗透到一些自然科学（如物理学和质点力学等等）领域，为这些学科的奠基提供了基础，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对
23、现代数学获得一个深刻的理解。,悖论的解决和集合论的发展,参考及推荐书目,美周道本 康托的无穷的数学和哲学郑毓信、刘晓力译 江苏教育出版社 1989 美M克莱因 古今数学思想上海科学技术出版社 2002年 胡作玄 引起纷争的金苹果 福建教育出版社 1993 WDunhan（邓纳姆）天才引导的历程苗锋译 中国对外翻译出版社 1994 美M克莱因 数学：确定性的丧失 李宏魁译 湖南科学技术出版社1997 胡作玄 第三次数学危机,（德）格奥格尔康托，超穷数理论基础文稿，陈 杰、刘晓力译，内蒙古大学出版社，1995年9月 吴文俊主编 世界著名数学家传记（上下集），科学出版社，1995年10月 王宪钧，数理逻辑引论，北京大学出版社，1982 黄耀枢，数学基础引论，北京大学出版社，1987 张锦文，王雪生著 连续统假设辽宁教育出版社 1989年4月 科学美国人编辑部编著 从惊讶到思考数学悖论奇景李思一、白葆林译 科学技术文献出版社 1986年10月,
