1、观众厅地面设计,在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。,问题的假设,观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。 同一排的座位在同一等高线上。 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等。 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。,建立坐标系,o处在台上的设计视点,b第一排观众的眼睛到地面的垂直距离,y,a第一排观众与设计视点的水平距离,d相邻
2、两排的排距,视线升高标准,x表示任一排与设计视点的水平距离,求任一排x与设计视点o的竖直距离函数,使此曲线满足视线的无遮挡要求。,问题,建模,设眼睛升起曲线应满足微分方程,初始条件,o,b,x,y,a,d,d,1）从第一排起，观众眼睛与o点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。,2）选择某排,和相邻排,相似于,再计算,相似于,4 模型求解,微分不等式（比较定理）,设函数,定义在某个区域上，且满足,1）在D上满足存在唯一性定理的条件； 2）在D上有不等式,则初值问题,与,的解,在它们共同存在区间上满足,所求曲线的近似曲线方程（折衷法）,折衷法,5
3、 总结与讨论,有时只需求近似解。,方法,利用微分不等式建模；,模型讨论,o,b,x,y,a,d,d,1）视点移动时升起曲线如何求得？,2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。,3）衡量经济的指标？,座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。,最速降线问题,1696年，瑞士著名数学家约翰伯努利 在教师报上发表了一封公开信，请全世 界的数学家来解决当时的难题:最速降线问 题，并向全世界最精明的数学家挑战，此信 的发表哄动了欧洲，引起了世界数学家的极 大兴趣。,最速降线问题：,确定一个连接定点A、 B的曲线,使质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (忽略摩擦力和阻力).,最速降线问题实验,速降
4、线是否连接A和B的直线段？,X,伽利略也曾研究过这个问题，他认为速降线是圆弧线。牛顿的实验：在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发现沿圆弧的球先到B。,此后问题为牛顿，莱卜尼兹，洛必达和伯努利 兄弟等所解决，从而产生了一门应用极为广泛的新 学科变分法。,变分法（calculus of variations）：是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法的关键定理是欧拉拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极
5、大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分原理 （variational principle）：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题 （或其他学科的问题）的变分原理。,质点花时间最短的运动轨迹,设有一质点从点A 运动到点B ,该质点的运动速度在上半平面为常数 V1，下半平面为常数V2 . 此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短?,例,设AC、BC与y轴的夹角分别为i1,i2,我们来证明当 所花费的时间最短。,证明,所以 等价于,光的折射定律：当光从一种介质进
6、入另一种介质时入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比.,设折点C的坐标为 (x,0)，则质点经ACB所花时间,+,+,物理学中的变分原理：费马从欧几里德确立的 光的反射定律出发提出了光的最小时间原理，即 光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光 的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最 小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早 先的怀疑，而且更加坚信他的原理。,建模与求解方法1,选取坐标系,设想质点(像光线)能选择从A滑行到B的路径,使所需时间尽可能短. 按照折射定理,由于质点在下降时所增加的动能应等于所减少的势能，故质点在点D(x,y) 处的速度v 满足,由几何关
7、系得,由此得微分方程,解为,D,1,建模与求解方法2,P,s: 曲线从 A点到 P(x, y) 的速度,由弧微分 , 得,需取极小值的积分是,令,由变分理论知 的解 所满足的欧拉方程为,问题可化为,B,B,交通管理中的黄灯问题,黄灯的持续时间 T 应包括:,驾驶员的决定时间(反应时间)通过十字路口的时间停车距离的驾驶时间,(2) 建模与求解,T1 驾驶员的决定时间(反应时间) -可测得 T2 通过十字路口的时间 T3 停车距离的驾驶时间,则 T=T1+T2+T3,假设：法定的行驶速度为 v0, 十字路口的长度为 I ,典型的车身长度为 L, 则,停车过程: 牛顿第二定律,设m为汽车质量, f 为刹车摩擦系数, x(t) 为行驶距离,积分一次:,再积分一次:,则,黄灯的持续时间:,
