1、1已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A0.35 B0.25 C0.20 D0.15解析：20 组随机数中恰有 2 个大于等
2、于 1 且小于等于 4 的共有 191、271、932、812、393 五组，其概率为 0.25.5202(2010北京高考)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从 1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是 ( )A. B.45 35C. D.25 15解析：分别从两个集合中各取一个数，共有 15 种取法，其中满足 ba 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P .315 153先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为 x，y，则 log2xy1 的概率为 ( )A. B.16 536C. D
3、.112 12解析：抛掷 2 枚骰子，共有 6636 种情况，因 为 log2xy1，所以 y2x，此时满足题意的数对(x，y) 共有(1,2) 、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率 P .336 1124(2010江苏高考)盒子里共有大小相同的 3 只白球，1 只黑球若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_解析：设 3 只白球为 A，B，C,1 只黑球为 d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd 共 6 种，其中两只球 颜色不同的有 3 种，故所求概率为 .125.学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐
4、的概率为_解析：每人用餐有两种情况，故共有 238 种情况他 们在同一食堂用餐有 2 种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为 .28 141基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的(2)任何事件(除不可能事件 )都可以表示成 的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型(1)试验中所有可能出现的基本事件 (2)每个基本事件出现的可能性 3古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件 A包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率为 P(A) .考点一 简单古典概型的概率有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1
5、,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x， y)表示结果，其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数，y表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数(1)写出试验的基本事件；(2)求事件“出现点数之和大于 3”的概率；(3)求事件“出现点数相等”的概率自主解答 (1)这个试验的基本事件 为(1,1)， (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共 16 个(2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件： (1,3)，(1,4)，(2,
6、2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)故 P .1316(3)事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)故 P .416 14某口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出 2 只球(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？解：(1)分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，从中摸出 2 只球，有如下基本事件 摸到 1,2号球用(1,2)表示：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) ，(
7、2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4) ，(3,5)，(4,5)因此，共有 10 个基本事件(2)如图所示，上述 10 个基本事件的可能性相同，且只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球(记为事件 A)，即(1,2)，(1,3) ，(2,3)，故 P(A) .310(3)故共有 10 个基本事件，摸出 2 只球都是白球的概率为 .310考点二 复杂的古典概型(2011苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 A1、A2、A3、A4 是道路网中位于一条对角线上的 4 个交汇处今在道路网 M，N 处的甲、乙两人分别要到 N，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的
8、最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N，M 处为止(1)求甲经过 A2 到达 N 处的方法有多少种；(2)求甲、乙两人在 A2 处相遇的概率；(3)求甲、乙两人相遇的概率自主解答 (1)甲经过 A2，可分 为两步：第一步，甲从 M 到 A2 的方法有 C 种；13第二步，甲从 A2 到 N 的方法有 C 种13所以甲经过 A2 到达 N 处的方法有(C )29 种13(2)由(1)知，甲经过 A2 的方法数 为 9；乙经过 A2 的方法数也为 9.所以甲、乙两人在 A2处相遇的方法数为 9981；甲、乙两人在 A2处相遇的概率为 .81C36C36 81400(3)甲、乙两人沿最短路径行
9、走，只可能在 A1、A2、A3、A4处 相遇，他 们在 Ai(i1,2,3,4) 处相遇的走法有(C )4 种方法，所以(C )4(C )4(C )4(C )4164，故甲、乙两人相遇的概率i 13 03 13 23 3为 .164400 41100某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样 )从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；(3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率解：(1)由于甲、乙两组各
10、有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人(2)记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 P(A) .C14C16C210 815(3)Ai表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人，i0,1,2.Bj表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人， j0,1,2.B 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人Ai与 Bj独立，i，j0,1,2，且 BA 0B2A 1B1A 2B0.故 P(B)P( A0B2AB 1A 2B0)P(A 0) P(B2)P(A 1) P(B1)P(A
11、2) P(B0) .C24C210 C24C210 C14C16C210 C16C14C210 C26C210 C26C210 3175现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A2 、A3 通晓日语，B1 、B2、B3 通晓俄语，C1、C2 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组(1)求 A1 被选中的概率；(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率解：从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其所有可能的结果组成的基本事件空间 (A1， B1，C1)，(A1，B1 ，C2) ，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1 ，B3 ，C1)(A
12、1，B3，C2)，(A2 ，B1，C1) ，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2 ，B2 ，C2) ，(A2，B3，C1)，(A2 ，B3，C2) ，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3 ，B2 ，C1) ，(A3，B2，C2)，(A3 ，B3，C1) ，(A3，B3，C2)由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的(1)用 M 表示“ A1 恰被选中”这一事件，则 M( A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件 M 由 6
13、 个基本事件组成，因而 P(M) .618 13(2)用 N 表示“B 1、C 1 不全被选中 ”这一事件，则其对立事件 表示“B 1、C 1 全被选中”N这一事件，由 (A 1，B 1， C1)，(A 2，B 1，C 1)，( A3，B 1，C 1)，事件 有 3 个基本事件组N N成，所以 P( ) .N318 16(3)由对立事件的概率公式 P(N)1P( )1 .N16 56考点三 古典概型与统计的综合问题(2010湖南高考)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校 相关人数 抽取人数A 18 xB
14、 36 2C 54 y(1)求 x，y；(2)若从高校 B，C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这 2 人都来自高校 C 的概率自主解答 (1)由题意可得， ，所以 x1， y3.x18 236 y54(2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1，b2，从高校 C 抽取的 3 人为 c1，c2，c3，则从高校 B，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有(b 1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共 10 种设选中的 2 人都来自高校 C 的事件 为 X，则 X 包含
15、的基本事件有(c 1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3 种因此 P(X) .310故选中的 2 人都来自高校 C 的概率 为 .310某高级中学共有学生 2000 人，各年级男、女生人数如下表：年级性别 高一 高二 高三女生 373 x y男生 377 370 z已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19.(1)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在高三年级抽取多少人？(2)已知 y245，z245，求高三年级女生比男生多的概率解：(1) 0.19，x380，x2000高三年级人数为 yz2000(373377380370) 500， 现用分层抽
16、样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数 为 50012.482000(2)设“高三年级女生比男生多”为事件 A，高三年级女生、男生数记为(y，z)由(1)知yz500 ，且 y，zN*，则基本事件空间包含的基本事件有(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249) ，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共 11 个，事件 A 包含的基本事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共
17、5 个，P(A) .故高三年级女生比男生多的概率为 .511 511高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查古典概型概率公式的应用尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点，2010 年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向考题印证 (2010福建高考)(12 分) 设平面向量 am(m,1)，b n(2，n)，其中m，n 1,2,3,4(1)请列出有序数组(m ，n)的所有可能结果；(2)记“使得 am(a mb n)成立的(m，n)”为事件 A，求事件 A 发生的概率规范解答 (1)有序数组(m， n)的所有可能结果为：(1
18、,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个(6 分)(2)由 am(amb n)得 m22m1n0，即 n(m1) 2.(8 分)由于 m，n1,2,3,4，故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共 2 个又基本事件的总数为 16，故所求的概率为 P(A) .(12 分)216 181求古典概型概率的步骤(1)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m.(2)利用公式 P(A) 求出事件 A 的概
19、率mn2有放回抽样和无放回抽样的概率在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有 n 个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法(1)有放回每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去(2)无放回每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法称为无放回的抽样显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次1(2011黄冈模拟)设集合 Pb,1 ，Qc,1,2，P Q，若 b，c2,3,4,5,6,7,8,9，则 bc 的概率是
20、( )A. B. C. D.18 14 12 34解析：依题意得当 b2 时，c 可从 3,4,5,6,7,8,9 中选取，此时 bc；当 b 从 3,4,5,6,7,8,9 中选取时，有 bc.因此，b c 的概率为 .77 7 122(2011银川模拟)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n，则函数y mx3nx 1 在1，)上为增函数的概率是 ( )23A. B.12 56C. D.34 23解析：由题可知，函数 y mx3nx1 在1 ，)上单调递 增，所以 y2mx 2n0 在231，) 上恒成立，所以 2mn，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4) ，(1,5
21、)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6 种情况，所以满足条件的共有 30 种情况， 则函数 y mx3nx1 在1，)上单调递增23的概率为 .3036 563(2010安徽高考)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ( )A. B.318 418C. D.518 618解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直 线共有 18(对)，而相互垂直的有 5 对，故根662据古典概型概率公式得 P .5184(2010辽宁高考)三张卡片
22、上分别写上字母 E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词 BEE 的概率为_解析：基本事件总数为 6，所含基本事件个数 为 2，所以所求的概率是 P .26 135一笼里有 3 只白兔和 2 只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是_解析：法一：设 3 只白免分别为 b1，b2，b3,2 只灰兔分别为 h1，h2.则所有可能的情况是(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3
23、)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20 种情况，其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有 12 种， 所求概率为 .1220 35法二：从笼子中跑出两只兔子的情况有 A 20 种情况25设事件 A：出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔 则 P(A) .C13C12 C12C13A25 1220 356(2010山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m
24、，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 nm2 的概率解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和3,2 和 4,3 和 4，共 6 个从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个因此所求事件的概率 P .26 13(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一个球， 记下编号为 n，其一切可能的结果(m， n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个又满足条件 nm2 的事件为(1,3)， (1,4)，(2,4)，共 3 个，所以满足条件 nm2 的事件的概率为 P1 .316故满足条件 nm2 的事件的概率为 1P 11 .316 1316
