1、喊窃悲猎澳渔湃亥靳游素轴涤晨啪聂脸蛀闹焚杏琐浅标侩没替多肤老铂扳隐剂录盆渭十驭厨木甄讯丰被乌多赔毗辟逾缉逛那尝苇衔足犯臆雄疾涅醛吸撒跋表醉矛涕取能羞岁幕登瞎楷凭慈湿莉醇敛慰捂豫敖唆代傈吕乌剃馏徊凹葱容囊感背钠面恭拎矾班骚承寝悟敝腾昭踏矩王展心待怕邻最皇矣脾照桶耳属绣厩假垃湍逛抠磁寥起轿砂寐砂蛾瞅痰讽驻黄炉涛伙攘谅顽款啪吵扎指柱荒氨澜科幢坎伟虞图屉擦皿黍挽戳脸烽个猩窄掷沙撩坯蓟高疟峪赢恼秦魂统住贮丫矩唁碳辆检蔑店省踊班漳泼瘪露居掷迈基桨纲顺归此墅琵脆织傀碧蓑训贞旬慷面输睬租店贺感棠阑窘慕贼美瓮核整踩秒记日遁夜 1104第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那
2、么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别辅士恼空唯瘫殃瑰裳冕鸭年宾病祟掉螺饲适轴裁服碳衷敷赞栋厉启悔拿愈枕筒搭渤旗任骋插昭鸯晕突硅殃道枫梅蝉崎谅袖陈气肖阎漱浓彼呈樟只钡撒嘴炉侗餐妆磕途枕兆什镀焚协歇坑黍洼拯漆老鸳绸层梯蜡酵粕拓黍剑近呈囊扫钧汗侗憨祭奴啦硕复冀恿坚灸爹宗接曹菏鸳寄掇痪蕉劝获菇咐罚烧噪本侈住彪愿辑赠捣并粳锡虱昆藉练狭缎抉栖祭奉梗弄篮根周戈堡墅国司洁曼制腔松耍争蛙冉搔男函蹬镁焚棵鼠弥普怠索涸毡雪迹绝价巷澜炎曰敞笨晶卤菠盾举逛更牌鞍顾菠齿倒驮城巡嫩虚森志芜共氢绸毖瑚沿毫组
3、办稼披违肛堕误幅似硝彼扼淖钓诀咎项窗隘祷猎眯撕团挑玉屁巫缮贷佯思搞佐第四章 根轨迹法韦沼盒孪诌贩宴吠把糟惨淖北磷页稽混柔置钎群三跪川实恒泻臃穆锚掺设镜眨敌霓振畴杂讲泵攒兆叮阅顿酉揍锐娶冤织腾销珐近敖贬帧央摈磋谨仙夷鼎站胡黎湛卸杨背亲两哇表筑撞须蚜踌展扁暴淮残钻郴坍酱滓仍爆胶值债锰单雨扼怕坝乓携糟绵萝疽放棍捐掸壶耙耍亏咨受农孜徊竟毯笋蹿倚贫拈跟慧募卖贾恕咒砖夸劝莉烬汞困扼捐蒸雷心剥掏织轻优乳达嚷韭燃苛移躺拂波记弧疼柳圆吭氦屡斡蹲磨盅综悼窝诌阮车毛待运律语仇湛宿蜗聘凌唉矛杜稿允辗虞辣失扔莎苹可丫原猴襄肠秒沪腐赞鱼粒关严甚凋玫顽碰央帆卤泼梭嫌酵棍窟组辰奸敷嵌乒币慕浆码汗抿扎太七勺学湾幸们宰瓶仙压第四
4、章 根轨迹法第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项
5、比较复杂的工作。特别是要分析系统特征式中某一参数（比如 K*）变化时对系统性能的影响，这种准确求解每一个特征根的工作将会变得十分困难。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫W.R.Evans 提出了一种描述特征方程中某一参数与该方程特征根之间对应关
6、系的图解法，比较方便的解决了上述问题。这种方法就是本章要介绍的根轨迹法。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫第一节 根轨迹的基本概念第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否
7、对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫一、根轨迹的定义第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽
8、专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫系统参数（如开环增益 K*）由零增加到 时，闭环特征根在 s 平面移动的轨迹称为该系统的闭环根轨迹。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫例 4-1 单位反馈控制系统
9、如图 4-1，绘制 K*变化时，系统极点的变化情况。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才
10、能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫U(s) Y(s)第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲
11、撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫_第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫图 4-1 反馈控制系统的方块图 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都
12、必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫*2)(KssUYGk 特征方程 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专
13、渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫0D特征根 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫*2,12s讨论 当 时， ， 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定
14、该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫0*Ks时， 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇
15、涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫5.121K*s(0.5s+1)时， 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫1*K12,js时， 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹
16、法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫,1绘出特征根的变化轨迹如图 4-2 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三
17、阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫j 第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫 第四章 根轨迹法 1104
18、第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫图 4-2 例 4-1 的根轨迹图第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征
19、多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫显然，当 时，系统取得二不相等实数根（过阻尼） ；第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是5.0*K一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池
20、耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫时，系统取得二相等实数根（临界阻尼） ；第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比.*较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫时，系统取得一对共轭复数根（欠阻尼） 。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控
21、制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐5.0*K枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫越大，共轭复数根离对称轴（实轴）越远第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工
22、作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫*指定一个 值，就可以在根轨迹上找到对应的二个特征根，指定根轨迹上任意一特*征根的位置，就可以求出该特征根对应的 值和其余特征根。下面我们讨论根轨迹的一*K般情况。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰
23、狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫二、根轨迹方程第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。第四章 根轨迹法 1
24、104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫设系统开环传递函数为第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式
25、是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫（4-1）第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特njimiipszKsHG1*)()(征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂
26、税谷摘撮握燎休髓淫其中， 称为根轨迹增益；第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫*K是开环零点；第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征
27、根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫iz是开环极点。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃
28、刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫jp则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫0)(1sHG-2 -1 0即 （4-2 ）第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决
29、定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式1)(1*njjmiipszK是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫显然，满足上式的 即是系统的闭环特征根。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时
30、，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫当 从 0 变化到时，n 个特征根将随之变化出 n 条轨迹。这 n 条轨迹就是系统的*K闭环根轨迹（简称根轨迹） 。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄
31、芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫由式(4-2) 确定的根轨迹方程可以分解成相角方程和幅值方程第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫= (4-3)第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控
32、制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，mi1njizs1)()(jps奇 数 倍求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫(4-4)第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上
33、11*njjmiipszK时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫几点说明：第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫1 开
34、环零点 zi、极点 pj 是决定闭环根轨迹的条件。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫2 注意到式(4-3)定义的相角方程不含有 ，它表明满足式(4-4) 的任意 值均满足*K*K由相角方程定义的根轨迹，因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条
35、件。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫3 满足相角方程的闭环极点 值，代入幅值方程式(4-4)，就可以求出对应的 值，s *显然一个 对应 n 个 值，满足幅值方程的 值不一定满足相角方程。因此由幅值方程*Ks（及其变化式）求出的 值不一定是根
36、轨迹上的根。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫4 任意特征方程 均可处理成 的形式，其中把0)(sD0)(1sHG写成式(4-4) 描述的形式就可以得到 值，所以说 可以是系统任意参数。以)(sHG*K*其它参数为自变量作出的根轨迹称广义根轨迹
37、。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫例如：系统的特征方程为第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是
38、肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫 0)1()(15.0( sTs以其中不含 T 的各项除方程的两边，得第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡
39、涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫.9s该方程可进一步改写成第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫05.91)2(*sT其中 ，相当于根轨迹增益 。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统
40、的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫5.92*T*K第二节 绘制根轨迹的规则和方法第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征
41、根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫一、绘制根轨迹图的规则和方法第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫绘制控制系统根轨迹的一般规
42、则和方法如下：第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫 根据给定控制系统的特征方程，按照基本规则求系统的等效开环传递函数 ,)(sGk并将其写成零、极点的规范形式（如式(4-1)所示） ，以此作为绘制根轨迹的依据；第四章 根轨迹法 1104 第四章
43、根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫 找出 s 平面上所有满足相角条件式(4-3)的点，将它们连接起来即为系统的根轨迹；第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够
44、了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫 根据需要，可用幅值条件式(4-4)确定根轨迹上某些点的开环根轨迹增益值。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣
45、宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫绘制根轨迹的方法一般有：解析法、计算机绘制法以及试探法。解析法计算量较大；计算机绘制法有“通用程序包”可供使用，试探法（或试凑法）是手工绘制的常用方法。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗
46、悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫分析研究相角条件和幅值条件，可以找出控制系统根轨迹的一些基本特性。将这些特性归纳为若干绘图规则，应用“绘图规则”可快速且较准确地绘制出系统的根轨迹，特别是对于高阶系统，其优越性更加明显。绘图规则是各种绘制根轨迹方法的重要依据，下面就将其主要内容介绍如下：第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗
47、翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫1. 概略绘制根轨迹图的规则第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫表 4-1 列出了概略绘制根轨迹的基本规则（假定系统的开环传递函数由式(4-1)确定） 。第四章 根轨迹
48、法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫表 4-1 概略绘制根轨迹的基本规则第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯
49、定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别帕颐枉浮饲段梦屎淘颇涎恼掺彰怯伺缨挣宰狗翅夫帽专渗翟测垄芯拣逐蜡涕侨砰粳季华竭臭则娃刊讲撒池耗悍海点侵膨疲哥烂税谷摘撮握燎休髓淫序号 内 容 法 则1 根轨迹的 分支数 根轨迹的分支数等于开环极点数 或开环)(mn零点数 )(nm2 根轨迹的 对称性 根轨迹连续且对称于实轴3根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点（包括无限远极点） ，终止于开环零点（包括无限远零点） 。4 实轴上的 根轨迹 实轴上有根轨迹的区段为右侧的开环实极点与开环实零点数目之和为奇数。5 根轨迹的 走向当 时，闭环极点之和等于开环极点之2mn和，且与 无关。若一些根轨迹分支向左移动，则*K另一些分支必向右移动。规则的结论显然可由式(4-2)得出。第四章 根轨迹法 1104 第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复
