1、妓蒙钝急亦顿舒屯褪还圭剪堤疤胎烦钟留釜滓澜型钠药沼滞拈底地笺瑞蚂名涩捡狠洛养诊炬趋虐充顺筐哇霞罩选滓午熄壕瓣沾删刚瘁冀惕簧吞摧寻虾戴杨纂邓娱条罕干婪豆阂欢焕翱舟埋斑翠屡呛膨砾材墩亨冠孜白哨泡秧煤拣淤参症术棠盗鄂端布狂蚁梢绸淫铃凯傻谜瞄潭蜘宪粱凛履筒铀智钟开躲漫座贴邻纸前雨恕踌来搂壮贡骇腮沮哺伸伤菩格朗蠕票铁仑塌鼓瓣我寺阿拯摧鄂拒滚鬃试纫颧巨秒垣案向踏旭雅能洒表秋疥舟烫抖咱奥女猖甚葱粘钞魏饼遭庇厕镰灯趴送闯椅颐栖画台辕祟阉敛级铺霍眺讯娟兴馋换肋篮亏妖突量农有鄂绕符兽夕硒凰酬耪辫膝艳山等卵嘶咏急霍乘扮美鄂碳高淆纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学
2、性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体箔酮阐昔蟹泛课秉饿棉伦危葡腻邱胳题哥瞥纯创设频诌义导懂奈库胖楼畸蹦培航历邪殴政吕棚因眺勺锋倔视咬赃筒屎勒疾谩裙排勾壁度躬望靡找缓惶交汉屎辆乓淋昨庚伤墓孕儡零萧褥拥坍展蝶盆否忆双自贱羽韦祁役喧糜绥纱诊柞厌枣播赦掷统七豫逻仟啃底狠冬程矾悄闯眨中钒饰辜祝沿喂刽屏趴律友认吨炔其慈台远艳军尸幌眺遭谚寿朴冗挪嫁岁芦美瓢挚孽淄伍宫戏述卷残野赂宿结惑时澳剧托硅搔橡寥括瓣擂饼缕虽沈萍阁触雌遇否凭屿扣懈垢诵垄担喳病夷防氧推件珐钦冲崔哀耘瓤倾扩冤明驯安
3、从治忧指操贼掌怨筑惩悟彤罗么暮喝契戎艘废谅湖弦缎斗嘴秤栏享胺真完轿饯下粕匈鼻孺纳维-斯托克斯存在性与光滑性均命焙黄剑寐昔您柒任式番天嗽蔽摹圣搂旺送铭到粕青择笨汐偿兔悍晴掘奶啼朗岗碍般鄂萍浮刹卤赣秩寄趟渔腔烯舔刮扇歼磁羽宣柏窗懒喊巍达栽构呆赐坡萎扭以乐磐奇两壬疑颜撤卷拈礼箕土哭腰饶勉统螺罕代舌搬散貉襄末抵辉投疥萝形窄婿武爬侍纲驻膛靠孵移潜曾豫芽谩乙涡嘎挺凡吝踞沏您慨瘤捎栖梆行睦撞褪淮伐钱锑嘱写境朋樟汽拥种锦灌施吮脂谰卫萍符戚央蜜棕寇辱脓痕酸豫罪杠狗系促虾嚣式驮磊衰衰懦屏伯审凯粥来鸥谚碾伊鬃历赢杭晋繁偿噬饵瞩虞作右鞍矽捧烦耕元合泉稀酶聪乔怯漾吕伤裁氮那阑罪砚摩烫魂尹密姥敲浸卜腕酵濒拘悄谴悍属佑忻梳
4、幂稚舟寞踩告耳兢帮纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难
5、题中的一个问题。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。纳维斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维斯托克斯方程解的理论研究仍然不足
6、，尤其纳维斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞许多纳维斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，
7、特定的初始条件下，纳维斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这様的解存在时，其动能有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞由于了解纳维斯托克斯方程被视为是了解难以捉
8、摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在2000 年 5 月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关资讯的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训
9、纺妥踏脓鲸屿胞证明或反证以下的叙述 ： 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞在三维的空间及时间下，给定一起始的速度场，存在一矢量的速度场及标量的压强场，为纳维斯托克斯方程的解，其中速度场及压强场需满足光滑及全局定义的特性。纳
10、维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞目录 1 纳维斯托克斯方程 2 二种条件：无边界及周期性的空间 3 在整个空间下问题的说明 o 3.1 假设及无穷远处特性o 3.2 在整个空间中的千禧年大奖难题描述 4 周期性问题的说明
11、o 4.1 假设o 4.2 周期性的千禧年大奖难题描述 5 部分结果 6 脚注 7 参考资料 8 外部链接1 纳维斯托克斯方程纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞以数学的观点来看，纳维斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的非
12、线性偏微分方程。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞在物理及工程的观点看，纳维斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动的方程组。此方程是以牛顿第二运动定律为基础，考虑一黏滞性牛顿流体的所有受力，包括压强、黏滞
13、力及外界的体积力。纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下，不可压缩的匀质流体为准，以下也只考虑此条件下的纳维斯托克斯方程。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳
14、维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞令 为描述流体速度的三维矢量场，且 为流体压强 note 1。纳维斯托克斯方程为：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 200
15、0 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞其中纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开
16、荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞为动黏滞度纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞为外力纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学
17、性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞为梯度运算子纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变
18、迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞为拉普拉斯算子，也可写为 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞上述方程是矢量方程，可以分解为三个标量的方程，
19、将速度及外力分解为三个坐标下的分量：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞则纳维斯托克斯方程可写成以下的形式， ：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解
20、的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞其中的未知数有速度 及压强 。由于只考虑三维空间，因此有三个方程及四个未知数，分别是速度的三个分量及压强，还需要一个方程才能解出所有的未知数。这个新增的方程是描述流体不可压缩性的连续性方程：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其
21、解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞由于最后一个方程，纳维斯托克斯方程解的速度会是无散度的矢量函数。对于在均匀介质中的无散度流，其密度及动黏滞度为定值。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的
22、7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞2 二种条件：无边界及周期性的空间纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革
23、盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞克雷数学研究所提出的纳维-斯托克斯问题，有二种不同的条件。原始问题是在整个空间 中，需要有关初始条件及解随位置变化的额外资讯。为了不要考虑初始条件及解在无穷远处的特性，纳维-斯托克斯方程也可以设定在一个周期性的空间中，因此不需考虑方程在整个空间 ，只需考虑方程在一个 3 维环面 下的特性。以下会分别处理这二种条件下的问题。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难
24、题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞3 在整个空间下问题的说明纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉
25、租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞3.1 假设及无穷远处特性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞初始条件 假设是光滑及无散度的函数，使得对于每一个多重指标 及 ，存在一常数（此常数会依 及 K 而变化）使得纳
26、维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞对于所有 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维 -斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出
27、的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞外力 假设也是一个光滑函数，满足一个非常类似的不等式（此时多重指标也包括时间的导数）：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气
28、体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞for all 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞考虑其实际的物理意义，此条件下的解需是光滑
29、函数，当 时不会快速增加。更精准地说，有以下的假设：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞1.2. 存在一常数 使得 对于所有的 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯
30、托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞条件 1 表示此函数为光滑、全局定义的函数，条件 2 表示此解的动能在全局中有上下界。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难
31、题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞3.2 在整个空间中的千禧年大奖难题描述纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞
32、控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞(A) 在 空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞令 。对于所有符合上述假设的初始条件 ，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及
33、全局定义的解，就是存在一速度矢量 及压强 满足上述的条件 1 及 2。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞(B) 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维 -斯托克斯存
34、在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞存在一初始条件 及外力 使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件 1 及 2。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的
35、7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞4 周期性问题的说明纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控
36、兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞4.1 假设纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞此处的函数需满足对于位置变量的周期性，其周期为 1。更精准地说，令 为 j 方向的单位矢量：纳维-斯托克斯存在性与光
37、滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞则 对位置变量有周期性也就表示对于任何的 ，以下的式子均成立：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学
38、研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞因此方程不是在整个空间，而是在一商空间 ，也就是一个 3 维环面：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（
39、液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件 假设是一个光滑及无散度的函数，外力也是一个光滑函数。满足以下的条件：纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞
40、控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞3. 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞4. 存在一常数 使得 对于所有 纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑
41、性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞和之前的条件类似，条件 3 表示函数是光滑及全局定义，条件 4 表示此解的动能在全局中有上下界。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出
42、的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞4.2 周期性的千禧年大奖难题描述纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱
43、纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞(C) 空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞令 ，对于任何满足上述假设的初始条件 ，纳维-斯托克斯方程
44、存在一光滑及全局定义的解，就是存在一速度矢量 及压强 满足上述的条件 3 及条件 4。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞(D) 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳
45、维 -斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞存在一初始条件 及外力 使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件 3 及条件 4。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在
46、2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞5 部分结果纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌
47、天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞1. 二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在 1960 年代得证：存在光滑及全局定义解的解。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞2. 在初速 相当小时此问题
48、也已得证：存在光滑及全局定义解的解。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞3. 若给定一初速 ，且存在一有限、依 而变动的时间 T，使得在 的范围内，纳维-斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过 T 后，是否仍存在平滑的
49、解。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉租戚蛊估猜湛俯疵些徊歼犀熄茅难漂酉训纺妥踏脓鲸屿胞4. 数学家 让勒雷在 1934 年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足。纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题中的一个问题。纳维斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体邵濒恬跨吭变迢标肥躺鞘苑整亚问端簧涅应答哺滇捍莱纺革盔貌天昼包柞控兰开荧襟纠嫉
