1、,专升本高等数学课程的应试策略,应试总体策略,一、应试前，对考题类型心中有数；,二、应试前，对考试涉及的知识点心中有数；,三、应试前，对每类题型的求解方法心中有数；,四、应试前，对常用的数学知识公式、性质、法则心中有数,心中有数，坦然应试！,往年考题题型及各题型所占分值,2002年以来，往年试卷的分值及考试时间一直保持不变（试卷总分150分，考试时间为150分钟。），历年题型见下表：,考试知识点及每个知识点在考卷中的比例,历年来，专升本考试的数学内容是固定的，总体上有四部分，它们分别是：一元函数的微积分；多元函数的微积分（包括空间解析几何知识）；常微分方程；无穷级数。具体内容及所占比例如下表：
2、,每类题型的求解方法指导,一、单项选择题的求解方法,方法一：直接求解法。即从题设条件出发，经过合理的演算、推 理得出结论，然后，观察选项中哪一个符合要求。,举例：例1 当 时，无穷小 是比 的（ ） 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小,指导：比较两个无穷小阶数的高低，方法是：求二者商的极限。,注：请注意解题方法！这种题是每年必考题。,例 2 设向量 则向量 与 的夹角为 （ ）、 、 、 、,指导：求两向量的夹角时，可利用它们的数量积公式进行计算。,例 级数 的敛散性为（ ） 绝对收敛 条件收敛 发散 敛散性不能确定,指导：这类题求解时，应首先看是否绝对收敛？,很明显，其绝对值级数
3、为： ， 的 级数，收敛,方法二：逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验，从中找出符合题设的选项。,举例：例 1 下列函数中，是函数 的原函数的是 （ ） 、 、 、,指导：作这个题就需要逐一验证，首先，你应明白何谓“原函数”？，然后逐一检验。,如果， 的一个原函数。,，其余都不满足，故应选。,注：原函数的概念也很重要，要牢记。,例 在区间 上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（ ）,、 、 、 、,指导：该题的求解，应在掌握罗尔定理条件的基础上，对四个选项逐一验证。,罗尔定理的条件是： 上函数连续； 内函数可导,该题的四个选项中，、满足定理条件，而不满足。,方法三：排除法。
4、即首先排除明显错误的选项，逐步缩小选择范围，再进行比较和验证，最终选择一个正确答案。,举例 例 1 已知 ，则 等于（ ）。,指导 该题可用“方法一”-直接求解法寻求答案。只需作变换，令，即可得到 的关系式，进而得 。也可用 恒等变形的办法求得 。,该题也可用排除法求解。由已知，当 时，会得，而将 代入4个选项中，分别得 、4、4、0，因此，选项A、D可排除。再令 ，会得，而将 代入B选项，得数9，因此B可排 除，最后，选C.,A、 B、C、 D、,例 2 等于（ ）；,A B C D,指导： 因该题是求微分的，结果中应含微分记号 ，故A、B选项可排除；再根据可变上限的积分求导性质，最终应选C
5、.,方法四：赋值验证法。即将条件中的变量或关系式，赋给一些合乎要求的数值或关系式，会得一结论；再观察选项中哪一个选项与命题结论相符。,举例：例 1 满足方程 的函数 是（ ）,A 、 B、 C、 D、,指导：在方程中，令 ，可得 ，满足此条件的函数有和 ，又方程两边求导得 ，满足该条件的只有 ，故D正确。,例 已知 ，且 ，则函数 在 处（ ）,A 、导数存在，且 ； B、导数一定不存在； C、取得极大值 ； D、取得极小值 。,指导：取满足条件的函数 ，由该函数的性质知，A、B、C全错，故选D,例 设 ，则 等于（ ）；,A 、 B 、 C、 D、,指导：由已知条件，将 代入，可得 ，而在四
6、个选项 中，满足 条件的只有B.,方法五：图像法。即借助函数的图像直观地判断函数的性质、状态,举例： 例1 设 在区间 上可导，且 ，则函数 在 内（ ）；,A 、至少有两个零点 ； B、有且仅有一个零点； C、没有零点； D、零点的个数不确定,指导：由于 ，知函数严格递增，又，于是，函数图像如图，直观可看到B选项正确。,例 2 函数 在点 处（ ）；,A 、无定义； B、不连续； C、连续不可导； D、连续又可导。,指导：函数的图像如图，C选项正确。,方法六：变量替换法。即通过变量替换，把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式，进而解答问题的方法。,举例：例1 曲线 在 处（ ）；,A、有极大值 B
7、、有极小值 C 、有拐点 D、无拐点,指导：令 ，命题转化为判断在 处的性态； 的曲线形 状大家比较熟悉，如图，正确答案为C.,例2 设级数 在点 处收敛，则级数在 处（ ）；,A、绝对收敛； B、条件收敛； C 、发散； D、敛散性不定,指导：令 ，该命题可化为，级数 在 处收敛问 处的敛散性；由绝对收敛定理知，A选项正确。,二、填空题的求解方法,填空题往往考察某一知识点中的基本概念、基本性质、基本运算；因此，做这样的题需按照以下方法进行：,方法一：紧扣知识点，顺藤摸瓜。即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么知识，然后再据这一知识的概念、性质、运算，推得结论进而得出答案。,举例 例1 极限
8、 ；,指导：很明显，该题是一道极限计算题，如何求极限呢？总体方法是，先判断极限类型，然后按照这种类型的极限求法求极限。该极限可看到是 极限，于是，可用罗比塔法则、可用等价无穷小的替换，也可用重要极限等方法求极限。极限值是,例 2 设 ，则,指导：该题是考察导数概念的题，要把导数定义中的极限与所给极限比较，进而求得极限。通过比较和恒等变形，可得极限为-3。,例3,指导：该题含有求导符号，因此是求导运算题，又被求导的函数是积分上限函数，于是，求导时要利用积分上限函数的性质。,被求导的函数是 与 复合而成的函数，故其导数为：,方法二：注重技巧，少走弯路。即有些题型的求解是有技巧的，方法正确，易于求出
9、结果，方法不恰当，解题就困难。,几个重要结论：, 等等,举例 例1 _ ;,指导: 该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果。,请你一定要记住这些公式！,例2 积分,指导：该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间，因此，使我们想到考虑被积函数的奇偶性；容易知道，被积函数是奇函数，故积分为0。,例3 积分,指导：该题入手方法同例2，具体如下：,例4 设直线 在平面 内，则常数 =；,指导：直线在平面内，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直从而，它们的数量积为零。,三、判断题的求解方法,判断题常常考试容易模糊的概念、容易出错的运算、容易迷糊的性质。这类题的求解需注意以下几点：,、理清概念。如：
10、 对于一元函数， 对于多元函数，,、牢记运算性质。如：如果如果级数,对于一元函数 ，, 严格运算，注重细节。,举例 例1 判断下列命题是否正确？,、如果函数 在点 处无定义，则 不存在；、如果函数 在点 处不可导，则曲线在 处无切线；,、如果函数 在点 处的两个偏导数皆存在；那么函数 在点 处全微分存在； 、如果 ，则 。、如果 ，则级数 收敛；、如果函数 在 处取得极值，则 ；、如果点 是曲线 的拐点，则 ；、 ；、设 ，则 ； 设 ， ；,提示：这类问题很多，请细心思考！,四 、计算题的求解方法,这几年，专升本试卷中计算题的类型是较固定的，每年都是8个题，且它们分别是：、求一元函数的极限；
11、 、求一元函数的导数；、求一元函数的不定积分；、求一元函数的定积分；、多元复合函数的求偏导；、二重积分的计算；、将函数展开成幂级数（或求幂级数的收敛区间）；、常微分方程的求解。,、一元极限的求解方法：,求极限时，应首先判断极限类型，然后才能选择合适的方法；这几年的求极限题皆为不定式极限，总体的方法是用罗比塔法则求极限；当然，在求极限过程中，也要考虑其它求极限的技巧，以便更快地求出极限来。,举例 例1 求,指导：首先看能否代入求极限，通过判断发现不能，该极限是 型不定式极限，可考虑用罗比塔法则求极限。,（也可用等价无穷小替换求解）,、一元函数的求导方法,求一元函数的导数时，应首先看该函数的结构，
12、判断是复合函数，还是四则运算产生的函数，还是幂指函数，还是隐函数，然后 按相应的求导法则求导数。,举例： 例1 设,指导：该函数是幂指函数，可用对数求导法求导数，也可用复合求导法则求导数。,、求一元函数积分的方法,无论一元不定积分还是定积分，求积分时，首先要看被积函数的结构，看它属于哪个积分方法的可积类型，然后，按相应的方法积分。如：被积函数中含有根式时，要利用变换换元脱去根式进行积分；被积函数是对数或反三角函数时，用分部积分法积分等。,举例： 例1 求下列积分： ,指导 对第一个积分容易看到，被积函数无微分关系，只能用分部积分法积分，且注意到： ，故积分如下：,对于第二个积分，被积函数特点是
13、含有根式，于是，可用换元 积分法积分。具体如下：,方法二：凑微分法 。具体如下,例2 求积分 ,指导 这两个积分皆为定积分，从积分的特征看到，第一个积分是偶函数在对称区间上的积分，且被积函数可化简，然后用凑微分法积分；第二个积分，从特征看，需用分部积分法积分具体如下：,解 , 多元复合函数偏导数的求法,指导：这几年，多元复合函数的偏导计算题，往往是含字母的抽象函数的求导，关键要弄明白变量间的关系，然后按变量间的关系连线图求导。,举例 例 设 其中 皆具有二阶连续的偏导数，求,指导 首先应明确，求导次序是：先对 求偏导，然后对 求偏导；具体求导时，函数是两项的和，需分别求导向加；而每一项又是复合
14、函数，需用复合求导法则求导。,解, 二重积分的计算,计算二重积分是一类很重要的运算，每年必考。计算的总体方法是：先画出积分区域；根据积分区域特征、被积函数特征，选择坐标系；在该坐标系内，把积分区域用不等式表示；把二重积分化为二次积分计算。,举例 例求积分 ，其中 是圆 在第一象限中的部分。,解 积分区域如图所示,区域 可表示为：,于是，,（在 内， ）, 幂级数的展开或运算,指导： 把函数展开为幂级数时，常常用间接的方法；这其中需要记几个常用函数的幂级数展开式，如：，利用它们的展开式，利用级数的运算，可间接地把一些函数展开成幂级数。,举例 例 将函数 展开成 的幂级数，并求其收敛区间。,指导
15、首先，需把该分式函数分解为简单分式，然后，再展开成幂 级数。,解,（让函数中出现 ）,在将 展开成幂级数时，其收敛区间为： ；在将 展开成幂级数时，其收敛区间为： ，故，已知函数展开的级数的收敛区间是, 微分方程的求解,指导 微分方程求解的方法是：先判断方程的类型，然后，根据方程的特点，选择合适的求解方法。,举例 例 求微分方程 满足条件 及的解。,指导：该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，首先，求其齐次方程的通解，然后，构造非齐次方程的特解，进而，得到非齐次方程的通解。最后，将初始条件代入，求出满足条件的特解。,解：方程的特征方程为： ，于是，特征根为,于是，有齐次方程的通解,又，自由项
16、是特征方程的单根；故，可设方程 的特解为 ，代入原方程得：,原方程的通解为,将初始条件代入，得满足条件的解：,五、应用题的求解指导,指导： 这几年来，专升本考试的应用题皆为两类。一类是多元偏导数的应用（求实际中的极值或条件极值）；一类是一元定积分的应用（求平面图形的面积或旋转体的体积）。这些我们在平时辅导时已多次讲解具体题的求解。,举例 例1 某工厂生产两种商品的日产量分别为 和 （单位：件）总成本函数（单位：元）,如果商品的限额为 ，试求最小成本。,指导：该题明显是要求函数 ，在条件：下的极值。方法一：可化为无条件极值；方法二利用拉格朗日乘数法。,解 令对上式求各个偏导数，并令其为零，有：,
17、解之，得： ，因为这是唯一的驻点，于是，它就是取得最小值的点。,最小成本为：,例 如图，把抛物线在横坐标 及,之间部分与 及 两直线,所围成平面图形绕 轴旋转一周 求旋转体体积； 当 取何值时，上面所求体积等于三角形OPC绕 轴旋转而成的旋转体体积。,六、证明题的求解指导,指导： 专升本考试证明题从历年看，有两类，一类是证明方程根的存在性；一类是证明不等式的成立。,证明方程根的存在性的方法是：,证明方程有唯一（或几个）根的方法是：利用零点定理说明根 的存在性；利用函数的单调性、极值等说明函数根的个数问题, 证明方程至少有一个（或几个）根的方法：证明至少有一个根，可利用零点定理；或者，将方程化为： 的形式，然后利用罗尔定理证明。证明至少有几个根，需证明已知区间可分成几个小区间，每个小区间内至少有一个根。,证明不等式成立的方法：, 利用函数的单调性证明不等式； 利用最值情况证明不等式 利用曲线的凸凹性证明不等式； 利用微分中值定理证明。,
