1、立体几何基础题题库有详细答案立体几何基础题题库四（有详细答案）301. 正三棱柱 ABCA1B1C1的侧面三条对角线 AB1、BC 1、CA 1中，AB 1BC 1.求证：AB1CA 1.解析：方法 1 如图，延长 B1C1到 D，使 C1DB 1C1.连 CD、A 1D.因 AB1BC 1，故 AB1CD；又 B1C1A 1C1C 1D，故B 1A1D90，于是 DA1平面 AA1B1B.故 AB1平面 A1CD，因此AB1A 1C.方法 2 如图，取 A1B1、AB 的中点 D1、P.连 CP、C 1D1、A 1P、D 1B，易证 C1D1平面 AA1B1B.由三垂线定理可得 AB1BD
2、1，从而 AB1A 1D.再由三垂线定理的逆定理即得 AB1A 1C.说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱 ABCABC中，ABBC，BC2，求：线段 AB在侧面上的射影长.CB解析： 如图，取 BC 的中点 D.ADBC，侧面 底面 ABC，AD侧面BCBC是斜线 AB在侧面的射影.又ABBC， BC.DB D设 BBx，在 Rt 中，BEBD ， .BD 21x立体几何基础题题库有详细答案E
3、是 BBC 的重心.BE BC3124xx ，解得：x .312x4线段 AB在侧面的射影长为 .2303. 平面 外一点 A 在平面 内的射影是 A，BC 在平面内，ABA，ABC ，求证:coscoscos.BCA 解析： 过 A作 BC 于 C，连 AC.AA平面 ，BC 垂直 AC 在平面 内的射线 .CABCAC，cos .ABC又cos ,cos ，ABCcos coscos.304. ABC 在平面 内的射影是 ABC，它们的面积分别是 S、S，若 ABC 所在平面与平面 所成二面角的大小为 (090，则 SScos.证法一 如图(1)，当 BC 在平面 内，过 A作 ADBC，
4、垂足为 D.立体几何基础题题库有详细答案AA平面 ，AD 在平面 内的射影 AD 垂直 BC.ADBC.ADA.又 S ADBC，S ADBC，cos ,SScos.2121AD证法二 如图(2)，当 B、C 两点均不在平面 内或只有一点(如 C)在平面 内，可运用(1)的结论证明 SScos.305. 求证：端点分别在两条异面直线 a 和 b 上的动线段 AB 的中点共面.证明 如图，设异面直线 a、b 的公垂线段是 PQ，PQ 的中点是 M，过 M 作平面 ，使 PQ平面 ，且和 AB 交于 R，连结 AQ，交平面 于 N.连结 MN、NR.PQ平面，MN ，PQMN.在平面 APQ 内，
5、PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可证 NRb,RARB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306. 如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA 1，M 是 CC1的中点，求证：AB 1A 1M.6立体几何基础题题库有详细答案解析：不难看出 B1C1平面 AA1C1C，AC 1是 AB1在平面 AA1C1C 上的射影.欲证 A1MAB 1，只要能证 A1MAC 1就可以了.证：连 AC1，在直角 ABC 中，BC1，BAC30， ACA 1C1 .3设AC 1A1，MA 1C1 tan ,1362tg .1CAM3
6、2cot(+) 0,tan21+90 即 AC1A 1M.B 1C1C 1A1，CC 1B 1C1，B 1C1平面 AA1CC1，AC1是 AB1在平面 AA1C1C 上的射影.AC 1A 1M，由三垂线定理得 A1MAB 1.评注：本题在证 AC1A 1M 时，主要是利用三角函数，证 +90，与常见的其他题目不太相同.307. 矩形 ABCD，AB2，AD3，沿 BD 把 BCD 折起，使 C 点在平面 ABD 上的射影恰好落在 AD 上.(1)求证：CDAB；(2)求 CD 与平面 ABD 所成角的余弦值.立体几何基础题题库有详细答案(1)证明 如图所示，CM面 ABD，ADAB，CDAB
7、(2)解：CM面 ABDCDM 为 CD 与平面 ABD 所成的角，cosCDM CDM作 CNBD 于 N，连接 MN，则 MNBD.在折叠前的矩形 ABCD 图上可得DMCDCDCAABAD23.CD 与平面 ABD 所成角的余弦值为 32308. 空间四边形 PABC 中，PA、PB、PC 两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为 AB 的中点.(1)求 BC 与平面 PAB 所成的角；(2)求证：AB平面 PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 PAAB，APB90在 RtAPB 中，ABP45，设 PAa，则 PBa,AB a,PBPC，在 RtPBC
8、中，2PBC60,PBa.BC2a,PC a.3立体几何基础题题库有详细答案APPC 在 RtAPC 中，AC 2a2PCA2)3(a(1)PCPA,PCPB,PC平面 PAB，BC 在平面 PBC 上的射影是 BP.CBP 是 CB 与平面 PAB 所成的角PBC60，BC 与平面 PBA 的角为 60.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M 为 AB 的中点，则 ABPM，ABCM.AB平面 PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.309. 在空间四边形 ABCP 中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB 与平面 ABC 所成角分别为30和 4
9、5。(1)直线 PC 与 AB 能否垂直?证明你的结论；(2)若点 P 到平面 ABC 的距离为h，求点 P 到直线 AB 的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB 与 PC 不能垂直，证明如下：假设 PCAB，作 PH平面 ABC 于 H，则 HC 是 PC 在平面 ABC 的射影，HCAB，PA、PB 在平面 ABC 的射影分别为 HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四边形 ACBH 为矩形.HCAB，ACBH 为正方形.HBHAPH平面 ACBH.PHBPHA.立体几何
10、基础题题库有详细答案PBHPAH，且 PB，PA 与平面 ABC 所成角分别为PBH，PAH.由已知PBH45，PAH30，与PBHPAH 矛盾.PC 不垂直于 AB.(2)由已知有 PHh,PBH45BHPHh.PAH30，HA h.3矩形 ACBH 中，AB 2h.2HAB2)(h作 HEAB 于 E，HE h.h23PH平面 ACBH，HEAB，由三垂线定理有 PEAB，PE 是点 P 到 AB 的距离.在 RtPHE 中，PE h.2HE2)3(h7即点 P 到 AB 距离为 h.27评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因” ，作推理分析，导出矛盾的
11、就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.310. 平面 内有一个半圆，直径为 AB，过 A 作 SA平面 ，在半圆上任取一点 M，连SM、SB，且 N、H 分别是 A 在 SM、SB 上的射影.(1)求证：NHSB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.立体几何基础题题库有详细答案解 (1)连 AM，BM.AB 为已知圆的直径，如图所示.AMBM，SA平面 ，MB ，SAMB.AMSAA，BM
12、平面 SAM.AN 平面 SAM，BMAN.ANSM 于 N，BMSMM，AN平面 SMB.AHSB 于 H，且 NH 是 AH 在平面 SMB 的射影NHSB.(2)由(1)知，SA平面 AMB，BM平面 SAM.AN平面 SMB.SBAH 且 SBHN.SB平面 ANH.图中共有 4 个线面垂直关系(3)SA平面 AMB，SAB、SAM 均为直角三角形.BM平面 SAM，BMA，BMS 均为直角三角形.AN平面 SMB.ANS、ANM、ANH 均为直角三角形.SB平面 AHN. SHA、BHA、SHN 均为直角三角形立体几何基础题题库有详细答案综上所述，图中共有 10 个直角三角形.(4)
13、由 SA平面 AMB 知：SAAM，SAAB，SABM；由 BM平面 SAM 知：BMAM，BMSM，BMAN；由 AN平面 SMB 知：ANSM，ANSB，ANNH；SB平面 AHN 知：SBAH，SBHN；综上所述，图中有 11 对互相垂直的直线.311. 如图，在棱长为 a 的正方体 AC1中，M 是 CC1的中点，点 E 在 AD 上，且AE AD，F 在 AB 上，且 AF AB，求点 B 到平面 MEF 的距离.313解法一：设 AC 与 BD 交于 O 点，EF 与 AC 交于 R 点，由于 EFBD 所以将 B 点到面 MEF 的距离转化为 O 点到面 MEF 的距离，面 MR
14、C面 MEF，而 MR 是交线，所以作 OHMR，即 OH面 MEF，OH 即为所求.OHMRORMC，OH .5918a解法二：考察三棱锥 BMEF，由 VB-MEFV M-BEF可得 h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，求 A1C1和平面 AB1C 间的距离.解法 1 如图所示，A 1C1平面 AB1C，又平面 BB1DD1平面 AB1C.立体几何基础题题库有详细答案故若过 O1作 O1EOB 1于 E，则 OE1平面 AB1C，O 1E 为所求的距
15、离由 O1EOB1O 1B1OO1，可得：O 1E 3a解法 2：转化为求 C1到平面 AB1C 的距离，也就是求三棱锥 C1AB1C 的高 h.由 V V ，可得 h a.ABC113解法 3 因平面 AB1C平面 C1DA1，它们间的距离即为所求，连 BD1，分别交 B1O、DO 1与F、G(图中未画出)。易证 BD1垂直于上述两个平面，故 FG 长即为所求，易求得FG .3a点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：CD，EA，EB，求证：CDAB.314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.已知：ab，aA 1,bB 1， 1、 2分别是 a、b 与 所成的角.如图，求证：
