1、1,第4章 Burnside引理与Polya定理,4.1 群的概念 14.2 置换群 14.3 循环、奇循环与偶循环 14.4 Burnside引理 24.5 Polya 定理 34.6 举例 34.7 母函数形式的Polya定理 *4.8 图的计数 *4.9 Polya定理的若干推广 *,2,第四章 贝恩塞特引理与波利亚定理,一个田字格，用两种颜色染色，共有多少种方案？旋转能够重叠的算一种方案。,3,第四章 贝恩塞特引理与波利亚定理,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11,C12,C13,C14,C15,C16,4,4.1 群的概念,(a)封闭性:,4.1.1
2、群的定义:,给定一个集合G=a,b,c,.和集合G上的二元运算“”,并满足下列4个条件,(b)满足结合律:,(c)存在单位元素,(d)存在逆元素,称集合G在运算“”之下是一个群,有时也称G是一个群,运算ab简记为ab。,5,例4.1 对于任意两个整数,当除以n的余数相等时,说他们是相等的,或mod n相等.,(a)封闭性成立,除以n的余数只能是0,1,2,.,n-1,(b)普通加法满足结合律,(c)0是单位元素,(d)对于任意aG,a+(n-a)=0 modn,集合G=0,1,2,.,n-1对mod n在加法下是一个群.,n-a是a的逆。,4.1 群的概念,6,例4.2 设R=00,900,1
3、800,2700,表示几何图形绕轴心顺时针旋转角度的4种状态,设“”是R上的二元运算,ab表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转状态,并规定旋转3600等于原来的状态，也就是没有旋转。证明集合A在运算“”构成一个群。,4.1 群的概念,(a)封闭性成立,(b)结合律成立,(c)0是单位元素,(d)逆原素存在,7,有限群G的元素个数叫做群的阶，记作G,当群的元素个数是有限时,称为有限群,当群的元素个数为无限时,称为无限群.,若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba时,称G为交换群,或Abel群。,有限群和无限群,交换群,4.1 群的概念,8,4.1.2 群的基本性质,定理4.1 群的单位元是唯一
4、的,4.1 群的概念,定理4.2 ab=acb=c,ba=cab=c,定理4.3 G中每一个元素的逆元素是唯一的,定理4.4,9,定理4.5 G是有限群,h=G,设G=a1,a2,.,ah,设a是G的任意元素,则必存在一个最小正整数r(a),使得ar(a)=e 而且a-1=ar(a)-1,证明:h是群G的阶G,aG,aar(a)-1=e,即a-1=ar(a)-1。,构造:a,a2,.,ah,ah+1共h+1项,其中至少有两项相等,设am=an,mn,ar(a)=e,4.1 群的概念,设mn,取所有am=an,mn,m-n的最小值,令m-n=r(a),10,子群定义4.1 设G是群,H是G的子集
5、,若H在G的原来定义的运算下也构成群,则称H为群G的子群。,例4.2 若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C=e,x,x2,xm-1 是G的一个子群,证明：,(1) 封闭性成立。,(2)结合律 (3)单位元(4)逆元素,4.1 群的概念,*,11,4.2 置换群,假定n个元素为1,2,3,.,n,并且若ij, aiaj, i,j=1,2,.,n,若元素1被1到n中某一元素a1所取代,2被其中某一元素a2所取代，.,n被an所取代,置换的定义,有限集合S到自身的一一对应称为S上的一个置换。,12,说明：只要对应一样，就是同一个置换,置换与表示方式或顺序无
6、关,4.2 置换群,13,置换运算的定义,4.2 置换群,14,n个元素形成的置换集合在以上运算下形成一个群。,(1)封闭性,4.2 置换群,15,(2)结合律,4.2 置换群,16,(3)单位元（恒等置换）,(4)逆元素（逆映射）,4.2 置换群,17,例4.4 圆圈上装有A,B,C三颗珠子,正好构成圆内接等边三角形ABC,(a)绕过圆心o垂直于圆平面的轴,沿反时针方向旋转0度,120度,240度;(b)沿过圆心o及A(或B或C)点的轴线翻转180度,经过(a),(b)变换A,B,C三颗珠子两两重合,但顶点交换了位置,经过以上变换形成的所有置换构成群。,用1代表A,2代表B,3代表C,A,C
7、,B,4.2 置换群,18,A,C,B,设A代以1,B代以2,C代以3,可得:,3、单位元存在,4、逆元素存在,1、封闭性成立,2、结合律成立,4.2 置换群,19,n个元素的置换的个数以及n个元素的置换群,有n!个置换,这n!个置换构成一个群,称为n个文字的对称群,记作Sn;,任一n阶有限群都和一个n个文字的置换群同构。,Sn的任一子群称为置换群;,4.2 置换群,20,群同构的定义,设(G1,+),(G2,*)是群，如果存在一个一一对应：G1G2，使得a,bG1有,(a+b)=(a)*(b),则称群G1与G2同构;,4.2 置换群,0,1,2模3相等,例:,21,定理：任何一个群都同构于一
8、个置换群,证明的方法是建立起有限群G=a1,a2,.,an的元素ai和某一置换群的某一置换一一对应,并且同构。,4.2 置换群,对于G的某一元素ai,构造对应序列:a1ai,a2ai,.,anai,其中所有元素都不相同,如若不然,ahai=amai,两端同乘以ai的逆可得ah=am,是一个置换,22,令ai和置换,对应,即(ai)=pi,4.2 置换群,首先证明上述对应关系是一一对应：,第二步:证明这些置换构成群,进而需证:若(ai)=pi,(aj)=pj,则(aiaj)=pipj,23,a1对应,a2对应,an对应,因此上述对应关系是一一对应。,首先证明上述对应关系是一一对应：,4.2 置换
9、群,24,单位元存在，结合律成立,需证明封闭性和逆元素。,4.2 置换群,第二步:证明这些置换构成群,25,封闭性成立。,4.2 置换群,26,4.2 置换群,27,进而需证:若(ai)=pi,(aj)=pj,证明:根据假定有,则(aiaj)=pipj,4.2 置换群,*,28,4.3 循环、奇循环与偶循环,定义:,叫做m阶循环置换,例如5个文字1,2,3,4,5的置换,29,循环置换(a1a2.ak)实际上只与元素的相邻状况有关,而与哪个元素为首无关,比如(123)=(231),如若两个循环(a1a2.an)与(b1b2.bm)没有相同的文字,则称为是不相交的,不相交两循环的乘积可交换.,不
10、相交循环置换,4.3 循环、奇循环与偶循环,30,定理 设(i1i2.ik)与=j1j2.jr是两个没有共同数字的循环置换，则与可交换，即=。,证分三种情况讨论,1.被变动的元素,2.被 变动的元素,3.不被二者变动的元素。,i1,2,.,n,如果ii,ii, 所以ii,所以i=i。,i不被变动,即 i=i,所以i=i。,1.针对被变动的元素,2.针对被变动的元素,同样可证,3.对于不被二者变动的元素显然有=。,4.3 循环、奇循环与偶循环,31,定理 设=(i1i2.ir),则r=I且1kr时kI。,置换把i1变i2，把i2变i3,.,ir-1变ir,ir变i1。,证,置换2把i1变i3，把
11、i2变i4,.,ir-1变i1,ir变i2。,置换r-1把i1变ir，把i2变i1,.,ir-1变ir-2,ir变ir-1。,置换r把i1变i1，把i2变i2,.,ir-1变ir-1,ir变ir。,假设使k=I的最小正整数k为的阶。,r-循环置换的阶为r。,4.3 循环、奇循环与偶循环,32,定理4.6 任何一个置换都可以表示成若干循环的乘积。,例如：,4.3 循环、奇循环与偶循环,33,定理4.6 任何一个置换都可以表示成若干循环的乘积。,证明:对已知置换,从1开始搜索, 1a1,a1b2, b2b3,这样找下去，总有一次不再是新的元素了，设第一个不是新元素的是bk+1, bkbk+1,则b
12、k+1一定是1，,如果bk+1=bi, ik+1,bi1，,bi-1bi, bkbk+1 bi-1= bk,矛盾！,4.3 循环、奇循环与偶循环,34,从1开始搜索,如果1a1b2.bk1,则得一循环置换(1a1b2.bk)，如若它包含了123.n的所有文字,则搜索停止,否则从余下的文字中的任意一文字开始,如法进行,再得一循环,如此反复直到所有文字都取完为止,这样便得到一组不相交的循环之积。证毕。,4.3 循环、奇循环与偶循环,35,定义4.2 2阶循环(ij)叫做i和j的对换或换位,定理4.7 任意一个循环都可以表达成若干对换之积,对换或换位,证明只需给出一个分解的方法就可以了,对换的性质,
13、(ij) (ij)= (i) (j)=I,(ij)-1 =(ij),4.3 循环、奇循环与偶循环,36,定义4.3 若一个置换可分解成奇数个换位之积,叫做奇置换;若可分解成偶数个换位之积,叫做偶置换,如果把置换分解成若干个对换的乘积，则对换的个数的奇偶性是不变的。略：,4.3 循环、奇循环与偶循环,37,例子，图4.3是一个有44格的棋盘，除了右下角的一个格子空着外，其余格子布着1-15个棋子，,与空格相邻的棋子可以与空格互换得到另一种布局，这样的一次交换可以看作是一次置换。,4.3 循环、奇循环与偶循环,38,证明图4.3的状态无论如何不可能通过标志为“0”的棋子与其相邻的棋子换位而达到图4
14、.4的状态。,图4.3,图4.4,图4.3到图4.4相当于作如下置换。,4.3 循环、奇循环与偶循环,39,定理4.8 Sn中偶置换的全体构成一个n!/2阶的子群,记作An，称为交代群。,证明：先证An是Sn的子群,是偶置换, An包含单位元；,(1)封闭性:若p1,p2是偶置换,则p3=p2p1也是偶置换,故封闭性成立.,(2)结合律:置换群的结合律成立.,(3)单位元素:置换群的单位元素本身.,4.3 循环、奇循环与偶循环,40,(4)逆元素 (i k)的逆元素为(i k),p=(i1 j1)(i2 j2).(ik jk)的逆元素为,p-1=(ik jk)(ik-1 jk-1).(i1 j
15、1),这就证明了偶置换的全体成群,记为An,只需证：|An|=n!/2,令Bn=SnAn,则Bn为Sn中奇置换的全体,4.3 循环、奇循环与偶循环,41,任取其中一换位(i j),对于An的任一置换p,则(i j)p是奇置换,即(i j)pBn,AnBn,同样任取其中一换位(i j),对于Bn的任一置换p, 则(i j)p是偶置换,即(i j)pAn,BnAn,An=Bn,An+Bn=n!,An=n!/2,4.3 循环、奇循环与偶循环,42,第3章 容斥原理与鸽巢原理,4.1 群的概念 14.2 置换群 14.3 循环、奇循环与偶循环 14.4 Burnside引理 24.5 Polya 定理 34.6 举例 34.7 母函数形式的Polya定理 *4.8 图的计数 *4.9 Polya定理的若干推广 *,*,
