1、1习题 4-11.验证函数 f(x)=lnsinx 在 上满足罗尔定理的条件，并求出相应的 ，使 f ()=0.5,6 解: 显然 在 上连续,在 内可导,且 ,)lnsif565()ln26ff满足罗尓定理的条件.令 ,则co()t0sinxf2x即存在 ,使 成立.5()6()f2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的 ? 2(1)1,;(2),;, 021sin03,e xf fx解: (1) 在 上连续,在 内可导,且2()1xf1(1),()1,eff即 在 上满足罗尓定理的三个条件.() fx,令 得 ,20ex即存在 ,使 .(1)()f(2)
2、 12xfx显然 在 内连续,又()f0,1(2)11lim()li()0,() (1)(0)(1,即xxff fff所以 在 处连续,而且()fx0022()li()li()(),m12xxff f即 在 处右连续,在 处左连续,所以 在()fx0()f0,上连续.又 211()()limli,xxff在 处不可导,从而 在 内不可导.(1)() fffx()fx0,2又 021又由 知 ()xfx()0fx综上所述,函数 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的 .f (3) 由 知 在 不右连续,0()limsn(0)1xf()fx0在 上不连续, f显然 在
3、 上可导,又 ,即 ,且()fx()1,()0ff()f,取 ,有 .cos(0) 2cos02综上所述,函数 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件 (1),(3),有满足定理结论的 ,fx = .23. 不用求出函数 的导数，说明方程 有几个实根，并()1(2)3fxx()0fx指出它们所在的区间.解: 显然 在 上连续 ,在 内可导,且 ,由罗尓定理知,在()f,(1)2f内至少存在一点 ,使 ,即 在 内至少有一个实根.1,211()0f()fx,同理 在 内也至少有一个实根 .又 是二次方程,最多有两个()0fx232()0fx实根,故 有两个实根,分别在区间 和 内.,34. 验证拉
4、格朗日中值定理对函数 在区间0，1上的正确性.3()fx解: 显然 在 0，1上连续,在 内可导,满足拉格朗日中值定理的3()2fx条件.若令 则 ,取 ,即存在2()()310ff x33,使得 成立.3(01)(1)0ff从而拉格朗日中值定理对函数 在0，1上成立.3()2fx5. 已知函数 f (x)在a,b上连续，在(a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0,试证：在(a,b)内至少存在一点 ，使得f ()+f () = 0，(a,b).证: 令 ,则()()exFf)exxF由 在 上连续,可导, 在 上连续,在 内可导,知 在 上连x(f()Fx,ab续,在 内可导,而且 ,a
5、b)0()()0即abf由罗尓定理至少存在一点 使 .(,bF即 而)effe故 (0即在 内至少存在一点 ,使得 .,ab()f6.若方程 有一个正根 x0,证明方程1010nnxax 211()nna必有一个小于 的正根.0x证: 令 ,显然 在 连续,在 内可导,且11()nnfaxax()f0x0x,依题意知 .即有 .由罗尓定理,至少存在一点 ,使()f00()f()得 成立,即 120 1()nnnaa成立,这就说明 是方程 的一个小于 的正根. 1 0xx 0x7. 设 f(a) = f(c) = f(b),且 acb, f (x)在a,b上存在，证明在 (a,b)内至少存在一点
6、 ，使f () = 0.证: 显然 分别在 和 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在 ,fx, 1()ac,使得 .2()cb12()0f4又由题意知 在 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点 ,()fx12 12(,)(ab使得 .0即在 内至少存在一点 ,使 .(,)ab()0f习题 4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1) ; (2) ; sin3lmta5x 0e1lim()x(3) ； (4) ,(a0)； linxa 20lixxa(5) ； (6) ; 0cotx snlx(7) ; (8) ;1ln()imartx 0e1lim()xx(9) ; (10) 10li(si)x
7、x 2liarctnx(11) ; (12) ;cs3e2x 210exx(13) ; (14) .3lim(1)xx 10lim()xx解: 220001sin3cos(1)llilicos35ta5e5()1(2)limlilim)2(3)lilili e xxxxxxxxxmmnnxaxaxa.mnn2002 220()ll()()4)lili 1()lnln() (lim xxxx x xx aaaa52000221()lnln1 aaa2200000000l sisinco(5)imilmlcotcs 12sn1l si(6)liliilmtancscsotnllta xxxxxxx
8、xxx 2222111ln()(7)imlilimlicotarxxxx2000221(1)(8)li)lili43lilieee xxxxxxx0 00 2cos11ln(1si) cos1inln(si)imliml 11n00 22l(arct)arctlii 112ln(arct)(9)limsin)i2(1)liarct)i e=ee x xxxxxxx xxxx 221lim2lim()arctn(1)arctn eeexx x 0200 33lln322cslnimcs2sins0002()333limlim 1()2coscos()liliee exxxxxxxx eexx 2
9、22 2111 100002()()lilililiexxx xx 6200 23232322233231ln()ln(1)1imimlim0 1(1)lim1)lim()li 1(14)li() eexx xx xxxx xx 012lim2(1)2 ex 2.设 =5,求常数 m,n 的值.1lixn解: 而1li()0,x21li5x且21li() xn21()lixn即 且 0mli()5xm即 且 n2于是得 .3,43.验证极限 存在，但不能由洛必达法则得出.silix解: ,极限存在,但若用洛必达法则,有n1mli(sin)xxlmcoxx因 不存在,所以不能用洛必达法则得出.l
10、icosx4.设 f(x)二阶可导，求 .20()()lihffxh解: 这是 型未定式,利用洛必达法则有20 00 0()()()()limlim212()(1()(1li li ()()22).h hh hfxfxfxfhhffxfxffxf75.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0) = 0,试证g(x) = ),0(xf可导，且导函数连续.证: 当 时,0x2)()(fxff当 时,由 2000()() ()limlilim()1()12xxxfgffffff即 1()gf所以 2(),0()1,xxf由 的连续性知 在 处连续,又(),fx()gx02000()()limlili
11、m21()()2xxxffffxfgffg故 在 处连续,所以 在 内处处连续.()gxx,综上所述, 可导,且导函数连续.(),0fx习题 4-31.求函数 f(x) = 的 n 阶马克劳林公式.e解: () (1),)2( xxkxeffe8()()01, (,23)!)! kkff k又 (0)f32 1()(0)!(1)! nxnxefx x2.当 时，求函数 f(x) = 的 n 阶泰勒公式.01解: 23()234 1() 1() 112 2!,(),()1,)!1,(0,)! ()() ()1(1 nnnn nnnfxffxfxf xfxxx 0 3.按 的乘幂展开多项式 (4)
12、x432()54.fxx解: 函数 ,根据泰勒公式按 的幂的展开式是4325fx()2(4)34()()!4)! fffxx而 432424(4)()556,1137,0!,312!xxfxff 所以, .234()56()37(4)1()()fxxx4.利用泰勒公式求下列极限:9(1) ; (2) .30sinlimx21limln()xx解: (1) 利用泰勒公式,有 34sin()!xo所以 343004()si!liml1()6xxxo(2) 利用泰勒公式,有,21ln()()x所以 2 22221limliml()()1lili.()x xx x oxxoo习题 4-41. 求下面函
13、数的单调区间与极值：(1) ； (2) ；32()6187fxx()lnfx(3) ； (4) .) 4)解: (1) 2(6(1)3,fxxx令 得驻点)012,在 上, ,在 上,3()0fx()0fx在 上单调增加,在 上单调减少.()fx1,3当 时, 有极大值,极大值为 ,1()f当 时, 有极小值 ,极小值为 .3x()fx610(2) ,令 得驻点1()xfx()0f1x在 上, ;在 上,0()f1()f在 上单调递减;在 上单调递增.()fx1当 时, 有极小值,极小值为 .1()f(3) 但当 时, 不存在,32(),0fxfx2x()f在 上, ;在 上, ,()f()0
14、f在 上单调递增;在 上单调递减.()fx22当 时, 有极大值,极大值为 .()1f(4) ,则 240()xf402xf且当 时, 不存在,又令 得0()f()fx在 上, ,在 上20()0fx在 上单调递增;在 上单调递减;()fx),2当 时, 有极大值,极大值为 ;0()f当 时, 有极小值,极小值为 .2x()f 42. 试证方程 sinx = x 只有一个根.证: 显然 是方程 得一个根(亦可将 运用零点定理). 令0sinx()sinfx,则 ,而 的点不是单调区间的分界点,故()sinfx()co10f)f在 内单调下降,所以 在 内只有一个零点,即方程 只(fxsix有
15、一个根.03. 已知 ，若 f(0) = 0, f (x)在 内存在且单调增加，证明 在(),)fxC0,) ()f0,) 内也单调增加 .解: ,由题意知 在 上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定0()fx0理得, ,使()11,()0()fxf因 在 单调增加,且 ,所以()fx0即 ()fxf()0xff令 ,则()0 Fx2()ffx所以 单调递增,即 在 内单调增加.()x,4. 证明下列不等式：(1) 1+ x , x0； (2) .122ln(1)(0) xx证: (1) 令 ,则 ,1()2fx()2f当 时, 即 单调递增,从而0x,()01fx()f,故 .()
16、f12x(2) 令 ,则 ln(1)fx21()xf当 时,有 ,即 单调递增,从而 ,即00f()fx()0f2ln(1又令 ,则()l)gxx1(xg当 时, ,即 单调递增,从而 ,即 .0( ()0gln(1)x综上所述,当 时有 .x2ln(1)xx5. 试问 a 为何值时，f(x) = asinx + sinx 在 x = 处取得极值? 是极大值还是极小值?并求33出此极值.解: ()cosf12若 为极值点,则 ,所以 .3xcos03 a2a又 ()2sini,()3fxf 故函数在 处取得极大值,极大值为 . f习题 4 - 51. 某个体户以每条 10 元的价格购进一批牛仔
17、裤，设此批牛仔裤的需求函数为,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润?402QP解: 利润 ,2()10604LQP,令 得 P =156()L所以应将销售价定为每条 15 元,才能获得最大利润.2.设 f(x) = cx (c0,01)为一生产函数，其中 c 为效率因子，x 为投入量，产品的价格P 与原料价格 Q 均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大?解: 依题意,总利润()()LPfxcxQ则 1c令 得 ()0Lx1P所以,投入量为 时利润最大.1Qc3. 某产品的成本函数为 ，23()56CQ(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?(2) 求出边际成本，并验证边际成本
18、等于平均成本时平均成本最小.解: (1) 令 得 Q=32()156Q260()C故 生产数量 时,可使平均成本最小.3(2) 2()15MCQ当 时,Q962()313即边际成本等于平均成本时平均成本最小.4. 已知某厂生产 Q 件产品的成本为C250002000Q （元).1402问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2) 若产品以每件 5000 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品 ?解: (1) 平均成本 2501()40Q边际成本 .C当 时,平均成本最小,()由 即Q25011204Q得 (负值不合题意已舍去 ).10所以要使平均成本最小,应生产 1000 件产品.(
19、2) 22 1()50()50204134 LQCQQ令 , 得 (件)()060所以应生产 60000 件产品.5. 某厂全年消耗(需求)某种钢材 5170 吨，每次订购费用为 5700 元，每吨钢材单价为 2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的 13.2%，求：(1) 最优订购批量； (2) 最优批次；(3) 最优进货周期； (4) 最小总费用.解: 由题意 215170,50,2403.%16.8 RCTC则(1)最优订购批量217*431.2536.8qT(2)最优批次(次)5702*4.Rnq14(3)最优进货周期(天)3650.42*1Ttn(4)最小总费用(元)123
20、16.85701364.9ECR6. 用一块半径为 R 的圆形铁皮，剪去一圆心角为 的扇形后，做成一个漏斗形容器，问 为何值时，容器的容积最大?解: 设漏斗的底面半径为 r,高为 h,为了计算方便令 ,则222, 4 Rrr漏斗的容积 322222142(8)4 0 RVhr 令 得 (舍之), ,0V1233 4222387),480,9 RV故当 时漏斗得容积最大.由 得 ,3282623所以,当 时,容积最大.267. 工厂生产出的酒可即刻卖出，售价为 k；也可窖藏一个时期后再以较高的价格卖出.设售价 V 为时间 t 的函数 V = k ，(k0)为常数.若贮存成本为零，年利率为 r，则
21、应何时将酒te售出方获得最大利润(按连续复利计算 ).解: )trttrAtk令 得1(02etrtt 214tr所以,应窖藏 时以后售出可获得最大利润.4r8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的三次方成正比，已知速度为 20km/h，每小时15的燃料费用 40 元，其他费用每小时 200 元，求最经济的行驶速度.解: 设火车每小时所耗燃料费为 Q,则 (k 为比例常数 )3v依题意得 , 解得 ,3402k120k又设火车行驶 后,所耗费用为,()ms32()sEkvkvs令 , 得 (km/h),20()13027.14所以,最经济得行驶速度为 27.14 km/h.习题 4-61.
22、讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) y = ； (2) y = ln(1+ )； 2x3 2x(3) y = x ； (4) y = ；e 4(1e(5) y = ； (6) y= .2(3) arctnx解: (1) 2,160.3 令 得 xyyx当 时, ; 当 时, ,且13x013x2()7f所以,曲线 在 内是下凸的,在 内是上凸的,点 是曲线的拐2y()1312(,)37点.(2) ,2222(1)(),11xxx 令 得, ,这两点将定义域 分成三个部分区间,列表考察各部分0y2,()区间上二阶导数得符号.x (,1)(1,)1 (,)y 0 + 0 y 上凸 ln2下
23、凸 ln2上凸所以,曲线 在 及 内是上凸的,在 内是下凸的,点2ln(1)x(,1)()(1)16是曲线的拐点.(1,ln2)(3) 324(1),(1)0xxyeye所以,曲线在定义域 内处处下凸,没有拐点.(4) ,令 得342,()()xyy0y6x当 时, ,当 时, ;又 ,函数的定义域为 ;6x062()7f (,3)(,)所以曲线在 内上凸,在 内下凸,点 是拐点.(3)(6)(6) arctn2 arctnarct arctn221(1)()()x xxxye ee令 得 0y12当 时, ,当 时, ,且 ,xx0y1arctn2()ef所以曲线在 内向下凸,在 内向上凸,
24、点 是拐点.1()21()21arctn2(,)2. 利用函数的凸性证明下列不等式：(1) ， xy;exy2(2) xlnx+ylny(x +y)ln ,x0,y0,xy.2证: (1) 令 ,则 , ,)ef()f()0exf所以函数 的曲线在定义域 内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有: (x(), ()2yfxyf即 即 .2exyy2exyx(2) 令 ,则()lnf1()1ln,()ffx17当 时,恒有 ,所以 的曲线在 内是严格下凸的,由曲线下凸的定义0x()0fx()fx(0)有, 有y即()()22fyfln()ln2yxy即 .lnllxyx3. 当 a，b 为何值时，点(
25、1， 3)为曲线 y=a +b 的拐点.32x解: 因为 是二阶可导的 ,所以在拐点处 ,而32yxb0y2,6x所以 60a又拐点 应是曲线上的点,所以(13) 3ab解方程 得 2ba9,2所以当 时,点 为曲线 的拐点.39,(1,3)32yaxb4. 求下列曲线的渐近线：(1) y = lnx; (2) y = ;21ex(3) y = ； (4) y = .232x解: (1) ,所以 有垂直渐近线 .00limlinxxlnyx0又 ,但 , ,lixy 1lliimixxxylim()xy所以不存在水平或斜渐近线.(2) ,所以有水平渐近线 ,21lim0exx0y又 ,所以没有
26、斜渐近线,2lilixxxy又函数 没有间断点,因而也没有垂直渐近线.21e18(3) ,所以有水平渐近线 ,221limli03xx0y又函数 有两个间断点 ,23()yx3,x且 所以有两条垂直渐近线 和 ,2233li,li,xx3x又 ,所以没有斜渐近线.21my(4) ,所以没有水平渐近线,lilixx又 函数 有间断点 ,且 ,所以有垂直渐近线 .21y12x2lim1x12x又 limlixx21li()li()li22(1)4xxxy所以有斜渐近线 .45.作出下列函数的图形：(1) f(x) = ； (2) 21 ()2arctnfxx(3) .,(0)ex解: (1) (i
27、) 定义域为 .,故曲线关于原点对称.()(fxf(ii) ,故曲线有渐近线 .21limlili0xxxy0y(iii) 221,()(),2223324 2314()()(1)1xxxxxy令 即 得驻点 ,又使 的点为 .0210y,列表讨论如下19x(,3)(3,1)(1,0)0y - - - 0 + 1y - 0 + + + 0y拐点34极小值20x(0,1)1 (,3)(3,)y + 0 - - -y - - - 0 +y极大值2拐点34作图如下:图 4-1(2) (i) 定义域为 .(,)又 ,故为奇函数.()arctnyxxy(ii) 2arctnlim,lili(1)1,xx
28、xx()t(y所以有渐近线 .(iii) 211,xy22()()4,()xx令 得驻点 ,又使 的点为 .0y10y列表如下: x(,)(1,)0(,1)1 (,)20y + 0 - -1 - 0 +y - - - 0 + + +y12极大值0拐点12极小值图 4-2(3) (i) 定义域为 ,且 .()(,)fxC(ii) )212eexf由 得 ,由 得 ,把定义域分为三个区间(0x ()0fx);(iii) 列表如下 .x(,1)1 (1,2)2 (,)f (x) + 0 - - -f(x) - - - 0 +f极大值2e拐点24(,)e(iv) ,故曲线 有渐近线lim()0xf()yfx,0y.li()xf(v) 补充点 并连点绘图,如图所示:(0)图 4-3
