1、第五章 代数系统的一般性质,5.1 二元运算及其性质,一、有关概念,1. 二元运算的定义 设S为集合，函数f: SSS称为S上的一个二元运算。 例 f: NNN, f()=x+y 注意：(验证一个运算是否是二元运算的条件）1.参加运算的对象2.封闭性3.结果唯一性,例1,1)自然数集合N上的乘法，除法 2)整数集合Z上的加法，减法，乘法，除法 3)非零实数集R 上的加法，减法，乘法，除法 4)Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n2), Mn(R)上的加法和乘法运算,5) S为任意集合，其幂集P(S)上的, 运算 6) S为集合，S 是S上的所有函数的集合，S 上的合成运算,S,S,2.二元运
2、算的表示,。， ，,算符,F()=z,x y=z,3. n元运算的定义,设S为集合，n为正整数，则函数称为S上的一个n元运算，简称n元运算.,f: SSSS,n 个,例2,1)求一个数的相反数 (R) 2)求一个数的倒数 (x0) 3)集合的绝对补运算 (p(s) 4)在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影,f()=b,(a1,a2,an)=b,(a)=b,一元运算,二元运算,三元运算,(a1,a2)=b,(a1,a2,a3)=b,前缀表示法,a1 a2=b,4. n元运算的表示,例3 设S=1,2,给出P(S)上的运算和的运算表，其中S为全集,ai ai 1 2 1,2
3、, 1 2 1,2,1,2,2,1, 1 2 1,2,1,2,1,2,1,1,2,2,2,1,2,1,1,2,2,1,例4 设S=1,2,3,4,定义S上的二元运算如下:x y=(xy)mod5, x,yS,1 2 3 4,1 2 3 4,。,1,2,3,4,2,4,1,3,3,1,4,2,4,3,2,1,二、二元运算的性质,设 为S上的二元运算,如果对任意的x,yS都有x y=y x 则称运算 在S上是可交换的. ( 在S上的适合交换律）,1. 交换律,例5,1）实数集上的加法、减法、乘法 2）幂集P(S)上的、相对补,设 为S上的二元运算,如果对任意的x,y,zS都有(x y) z=x (
4、y z) 则称运算 在S上是可结合的. ( 在S上的适合结合律）,2. 结合律,二、二元运算的性质,例6,1）实数集上的加法、减法、乘法 2）幂集P(S)上的、相对补 3）M(R)上的矩阵加法和乘法,幂：,幂运算的公式：（结合律）,设 为S上的二元运算,如果对任意的xS都有x x=x 则称运算 在S上适合幂等律. (S上的全体元素都是幂等元）,3. 幂等律,二、二元运算的性质,例6,1）实数集上的加法、减法、乘法 2）幂集P(S)上的、相对补 3）M(R)上的矩阵加法和乘法,二、二元运算的性质,设 和为S上的二元运算,如果对任意的x,y,zS都有x(y z)=(xy) (xz)(y z)x=(
5、yx) (zx) 则称运算对 在S上是可分配的. (对 适合分配律）,4. 分配律,二、二元运算的性质,设 和为S上的两个可交换的二元运算,如果对任意的x,yS都有x(x y)=x x (xy)=x 则称运算 和在S上满足吸收律.,5. 吸收律,特殊的元素：1. 幺元,设 为S上的二元运算,如果存在元素el(或er) S使得对任何xS都有el x=x(或x er=x) 则称el(或er)是S中关于运算 的一个左幺元(或右幺元) 幺元(e),例6,1）实数集上的加法、减法、乘法 2）幂集P(S)上的、相对补 3）M(R)上的矩阵加法和乘法,定理：,设 为S上的二元运算, el,er分别为运算 的
6、左幺元和右幺元，则有el=er= e 且e为S上关于运算 的唯一的幺元.,特殊的元素：2. 零元,设 为S上的二元运算,如果存在元素l(或r) S使得对任何xS都有 l x= l (或x r= r ) 则称l(或r)是S中关于运算 的一个左零元(或右零元) 零元(),例6,1）实数集上的加法、减法、乘法 2）幂集P(S)上的、相对补 3）M(R)上的矩阵加法和乘法,定理：,设 为S上的二元运算, l,r分别为运算 的左零元和右零元，则有l=r= 且为S上关于运算 的唯一的零元.,特殊的元素：3. 逆元,设 为S上的二元运算, eS为运算 幺元. 对xS,如果存在yl(或yr) S使得 yl x
7、=e(或x yr=e) 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元) 逆元,例6,实数集上的加法(0)、减法、乘法(1) 幂集P(S)上的()、(E)、 () 、相对补 M(R)上的矩阵加法(0)和乘法(E),定理：,设 为S上可结合的二元运算, e为该运算的幺元.对于xS,如果存在 左逆元yl和右逆元yr ，则有yl=yr=y 且y是x的唯一的逆元.,二、二元运算的性质,设 为S上的二元运算,如果对任意的x,y,zS满足下列条件 若x y=x z且x不是零元,则y=z 若y x=z x且x不是零元,则y=z 则称运算 满足消去律,6. 消去律,三、小结,二元运算的定义及表示 二元运算的性质 几
8、个特殊的元素,复习,二元运算的定义 二元运算的性质 几个特殊的元素,5.2 代数系统及其 子代数和积代数,代数的本义是用符号代替数字进行运算。虽然这个概念现在已大大拓广了，但代数仍然是和运算紧密联系在一起的。现在代数的含义是对各种运算进行研究，从众多具体的运算中抽出其公共的最基本的性质，然后根据这些性质的不同而构成各种不同的代数系统，使之符合人们使用之需要。,代数系统有两层含义，一层是代数，一层是系统 代数的实质是运算 系统的含义则是由若干相关联的部分组成的一个整体 代数系统是由一个集合与这个集合上的若干个运算所构成的整体,一、代数系统,1. 定义 非空集合S和S上的k个运算 f1,f2,fk
9、组成的系统 (其中fi为ni元运算, i=1,2,k)代数特异元素（代数常数）,当S是有限集合时，称V为有限代数系统。 当S是无限集合时，称V为无限代数系统。 3. 注意事项 集合S不能是空的 运算的集合不能是空的，必须至少有一个S上的运算。 代数系统中各个运算的元数可能是不一样的，即每个运算都有自己的运算元数。,2. 代数系统的分类 ,例1 设Z是整数集合，+和*是整数的加法和乘法。两个整数之和仍为整数，且结果唯一,所以+:Z2Z是Z上的二元运算两个整数之积仍为整数，且结果唯一，所以* :Z2Z是Z上的二元运算 由代数系统的定义知是代数系统整数除法就不是Z上的二元运算,因为两个整数之商不一定
10、是整数,故不构成代数系统。,由上表可以看出X2中的任意一个元素的象仍在X中，且象是唯一的。由定义知 * 是X上的一个二元运算。 上表称为X上二元运算 * 的运算表。 由代数系统的定义知，是代数系统。,例2 设X = a,b,c,d ，定义 X2 到 X 的关系如下表所示,3. 同类型的代数系统 定义 设两个代数结构和，如果fi和gi(1im)具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。 可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是对其运算进行考察。 此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。,二、子代数系统,子代数 V=是代数系统，B是S的子集且B,B对f
11、1,f2,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数 平凡的子代数 真子代数,例3 设V=,令nZ=nzzZn为自然数,证明：nZ是V的子代数.,证明：任取nZ中的两个元素nz1和nz2,z1和z2Z,nz1+nz2,=n(z1+z2),nZ,0=n0,nZ,表1 表2 表3由表2知*是S1上的二元运算，因此是的子代数系统。由表3知*不是S2上的二元运算，因此不是的子代数系统。,例4 已知是代数系统，*运算表见表1。取X的子集 S1=a，b，S2=c，d。由表1取出*对应于S1和S2的子关系如表2和表3。,例5 在代数系统 中，取Z的两个子集如下：E=x|x是偶数，F=y|y是奇数 任意两个偶
12、数之和仍为偶数， 任意两个偶数之积仍为偶数。 因此 是的子代数。 任意两个奇数之和是偶数， 任意两个奇数之积是奇数， 虽有 的子关系是F上的二元运算， 但仍不能构成的子代数,三、积代数,设V=, V=是代数系统, 和为二元运算， V和V的积代数VV是含有一个二元运算的代数系统, 即VV =, 其中S= SS,且对任意的 , SS有 = ,1. 定义,例6 V1=,V2=,VV= , Z M3(R) = ,0,0,1,0,1,0,0,1,1,2. 定义的推广,1）含代数常数的积代数如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,V1的代数常数为a1, V2的代数常数为a2,则就是积代数VV中的代数常数.
13、 2）多个代数系统的积代数,三、积代数,例7 V1=,V2=,VV =,例8 V=,VVV= ,ZZZ * = ,3. 积代数的性质,1)若V1和V2中的二元运算都是可交换的(可结合的或幂等的),则积代数中的相应的二元运算也是可交换的(可结合的或幂等的). 2)若e1,e2分别是V1 和V2 的幺元,则 就是积代数V1 V2 的幺元 3)若x1在V1 中的逆元为x1 , x2 在V2 中的逆元为x2 ,则在积代数V1 V2 中, 就是的逆元.,-1,-1,-1,-1,四、小结,代数系统 子代数系统 积代数,复习,代数系统 子代数系统 积代数,5.3 代数系统的同态与同构,定义1 设 A= 和
14、B= 是两个代数系统， f1,f2,fm 是X上的 m 个运算， g1,g2,g n是Y上的 n 个运算。若1) m = n；2) f i 和相对应的g i的运算的阶相等， i= 1, ,m; 则称A和B是两个同类型的代数系统。 例1 和是同类型的代数系统. 因为这两个代数系统都具有两个运算，且和都是二元运算， 和也都是二元运算。,一、预备知识 1. 同类型的代数系统,定义 设和是两个代数系统， 和 * 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算 若存在一个函数 h：XY，使得 ( x1,x2,x n ) X n 有 h ( (x1,x2,x n )=*(h(x1),h(x2),h(x n) 则称函
15、数 h 对 和 * 保持运算，同时称式为同态公式. h对 和 *保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结果的象等于元素象的运算结果。 当 h 对 和 * 保持运算时，也称 h 满足同态公式。,一、预备知识 2. 同态公式,二、同态映射,1.定义 设V=, V=是代数系统, 和为二元运算（同类型） 若存在映射:SS满足对任意的x,y S有(x y)= (x)* (y)（同态公式） 元素运算结果的象等于元素象的运算结果。,同态,例2 V1=,V2=,zn=0,1,n-1 对任意的x,y Zn有xy=(x+y)mod n :ZZn, (x)=(x)mod n(x+y) =(x+y)mod n
16、= (x)mod n(y)mod n = (x) (y),例3 设R是实数集合,是实数加法,是代数系统，设R+是正实数集合,是实数乘法,是代数系统。 这是两个同类型的代数系统，都只有一个二元运算；取映射 h：R R+ ，h()= e。 , R 有：h ()= e = ee = h()h() 故 h 满足同态公式。所以h是从到的同态映射,对任意的x,y Z，(x+y) =2(x+y) = 2x +2y = (x) + (y) 所以是从到的同态映射,2. 同态象,设 是V=到 V=的同态,则称是V1在下的同态象.,二、同态映射,例2 V1=,V2=,zn=0,1,n-1 对任意的x,y Zn有xy
17、=(x+y)mod n :ZZn, (x)=(x)mod n(x+y) =(x+y)mod n = (x)mod n(y)mod n = (x) (y),同态象:V2=,例3 设R是实数集合,是实数加法,是代数系统，设R+是正实数集合,是实数乘法,是代数系统。 这是两个同类型的代数系统，都只有一个二元运算；取映射 h：R R+ ，h()= e。 , R 有：h ()= e = ee = h()h() 故 h 满足同态公式。所以h是从到的同态映射,同态象:,对任意的x,y Z，(x+y) =2(x+y) = 2x +2y = (x) + (y) 所以是从到的同态映射,同态象:,满同态,单同态,同
18、构,3. 特殊的同态,二、同态映射,例2 V1=,V2=,zn=0,1,n-1 对任意的x,y Zn有xy=(x+y)mod n :ZZn, (x)=(x)mod n(x+y) =(x+y)mod n = (x)mod n(y)mod n = (x) (y),同态象:V2=,例3 设R是实数集合,是实数加法,是代数系统，设R+是正实数集合,是实数乘法,是代数系统。 这是两个同类型的代数系统，都只有一个二元运算；取映射 h：R R+ ，h()= e。 , R 有：h ()= e = ee = h()h() 故 h 满足同态公式。所以h是从到的同态映射,同态象:,对任意的x,y Z，(x+y) =
19、2(x+y) = 2x +2y = (x) + (y) 所以是从到的同态映射,同态象:,单同态,对任意的x,y Z，(x+y) =a(x+y) = ax +ay = (x) + (y) 所以是从到的同态映射,自同态,零同态 ： a=0,自同构 : a=1,单自同态：a0,三、同构,设V=, V=是代数系统, 和为二元运算（同类型） 若存在双射:SS满足对任意的x,y S有(x y)= (x)* (y)（同态公式）,两个代数系统的同构，必须在两个同类型的代数系统之间讨论 代数系统间的同构要求有一个双射函数存在 因此如果两个代数系统同构，那么这两个代数系统的集合的基数是一样的 故有限代数系统绝不会
20、和无限代数系统同构 同时这个双射函数还要对运算满足同态公式，这样两个代数系统才能同构。,两个代数系统间的同构函数 是双射函数 因此 的逆函数 1 存在 可以证明 1是从S2 到 S1 的双射函数 1对相应的运算满足同态公式 故 1 是从V2 到V1 的同构映射 因此对同构而言，两个代数系统若同构，则是互相同构的,同态的概念和同构的概念不同 同构是无方向性的 即对两个同构的代数系统来说是相互同构 但同态是有方向性的 从V1 到 V2 有同态函数存在，从 V2 到V1就未必有同态函数存在 即同态的概念不可逆 另外当 是满同态函数时，V1的同态象就是 V2 。,例6 设R是实数集合,是实数加法,是代
21、数系统，设R+是正实数集合,是实数乘法,是代数系统。则 和同构。 证： 这是两个同类型的代数系统，都只有一个二元运算；取映射 h：R R+ ，h()= e。由初等数学知 h是双射； , R 有：h ()= e = ee = h()h() 故 h 满足同态公式。所以h是从到的同构映射，即和同构。 同时有h-1：R+ R, h -1()=，由初等数学知 h-1是双射；且， R+ 有：h -1()= ()= = h -1()h -1() 故 h -1 满足同态公式。所以h -1是从到的同构映射,即 和同构。,例7 设 N 是自然数集合, 是自然数加法， 是代数系统。设 E 是偶数集合, 是自然数加法
22、, 是代数系统。则 和 同构。 证： 这两个代数系统是同类型的，都只有一个二元运算； 取映射h：N E，h(i)=2i。由初等数学知h是双射； i，j N 有：h(ij)=2(ij)=2i + 2j = h(i)+h(j) 故 h 满足同态公式。 所以h是从 到 的同构映射,即 和同构。 同时有h-1：E N, h-1(i)= i2。由初等数学可知h-1是双射,且i，j E 有：h-1(ij)=(ij)2= i2j2= h-1(i)h-1(j) 故 h-1 满足同态公式。所以h-1是从到的同构映射,即和同构。,例8 设N为自然数集合，是自然数加法，是代数系统，设X=1,1，是整数乘法，是代数系
23、统。取映射h：N X，h(偶数) = 1，h(奇数) = 1, 由满射的定义知 h 是从 N 到 X 的满射。 任取i，j N 有： 当 i 为偶数，j 为偶数时，ij 为偶数，于是有h( ij ) =1 = h(i) h(j ) =11=1 当 i 为偶数，j 为奇数时，ij 为奇数，于是有 h( ij ) =1 = h(i) h(j ) =1(1) = 1 当 i 为奇数，j 为偶数时，ij 为奇数，于是有h( ij ) =1 = h(i) h(j ) = (1)1= 1 当 i 为奇数，j 为奇数时，ij 为偶数，于是有h(ij) =1 = h(i) h(j)=(1)(1) =1 故 h 对和满足同态公式。所以h 是从 到 的满同态，即 是的满同态象。,例9 设A=a，是代数系统，是P(A)上的并运算，运算表见表1 例10 设B=0,1，是代数系统，是B上的或运算，运算表见表2 表1 表2由例7和例8可以看到，在这两个代数系统中，虽然集合不同，运算不同，但这两个二元运算的运算表却如此相似，如用代替，用 代替0，用 A 代替 1，那么就会得到两张完全一样的运算表；反之也一样。这说明这两个代数系统除符号外，没有实质上的不同。,作业,P 135 5.10 5.12 (2,3),
