1、空间向量在立体几何中的应用,临沂一中高二数学组,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,返回目录,1.平面的法向量直线l，取直线l的 ，则 叫做平面的法向量.2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面的法向 量v=(a2,b2,c2),则l . ,方向向量a,向量a,uv=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,返回目录,3.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面的法向量v=(a2,b2,c2),则l .若平面的法向量u=(a1,b1,c1)，平面的法向量v=(a2,b2,c2)，则 . 4.空间的角(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2，l1 与l2所成的角
2、为，则cos= .,uv,(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2),a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,uv=0,uv,a1a2+b1b2+c1c2=0,|cos|,(2)已知直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,l与的夹角为，则sin= .(3)已知二面角l的两个面和的法向量分别为v,u,则与该二面角 .5.空间的距离(1)一个点到它在一个平面内 的距离，叫做点到这个平面的距离.(2)已知直线l平行平面，则l上任一点到的距离都 ，且叫做l到的距离.,返回目录,|cos|,相等或互补,正射影,相等,(3)和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，
3、叫做两个平面的 .两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的 叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.(4)若平面的一个 为m，P是外一 点，A是内任一点，则点P到的距离d= .,返回目录,垂直,公垂线段,长度,法向量,返回目录,如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA=AD，E,F分别为线段AB,PD的中点.求证： (1) AF平面PEC; (2) AF平面PCD.,一 用向量证明平行、垂直问题,返回目录,【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1, 则P(0
4、,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), D(0,1,0),F(0, , ). (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), EC=( ,1,0),AF= EP+ EC, 又AF平面PEC,AF平面PEC.,【分析】可用空间向量的坐标运算来证明.,返回目录,【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内.,(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), AFPD=(0, , )(0,1,-1)=0, AFCD=(0, , )(-a,0,0)=0, AFPD,AFCD，又PDCD=D, AF平面PCD.,对应演练,如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中
5、,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点.证明： (1) C1M平面ADE； (2)平面ADE平面A1D1F.,返回目录,（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则DA=(1,0,0),DE=(1,1, ), C1M=(1,-1,- ). 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则mDA=0 a=0mDE=0 a+b+ c=0. 令c=2，得m=(0,-1,2). mC1M=(0,-1,2)(1,-1,- ) =0+1-1=0,C1Mm. 又C1M平面ADE,C1M平面ADE.,返回目录,(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(
6、0, ,-1), 设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则nD1A1=0 x=0nD1F=0 y-z=0. 令y=2，则n=(0,2,1). mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0, mn. 平面ADE平面A1D1F.,返回目录,返回目录,如图所示，已知点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上，PDA=60. (1)求DP与CC所成角的大小； (2)求DP与平面AA DD所成角的大小,【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.,二 用向量求线线角与线面角,返回目录,【解析】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则DA=(1,0,0),
7、CC=(0,0,1).连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设DH=（m，m，1）（m0）,由已知=60,由DADH=|DA|DH|cos,可得2m= .解得m= ，所以DH= （ ， ，1）.,返回目录,（1）因为cos= 所以=45,即DP与CC所成的角为45. （2）平面AADD的一个法向量DC=(0,1,0).因为cos= 所以=60, 可得DP与平面AADD所成的角为30.,【评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系.（2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.,
8、返回目录,返回目录,对应演练,如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF平面PAB; (2)设AB= BC，求AC与平面AEF所成角的大小.,（1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设PD=1,AB=a，则C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（ ,0,0）,B(a,1,0),F（ , , ）. EF=（0, , ）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1). EFAB=0,EFPA=0. EFABEFPA,返回目录,EF平面PAB.
9、,返回目录,(2)AB= BC,a= . 从而AC=( ,-1,0)，AE=（ ,-1,0）,EF=（0, , ）. 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则nAE=0 x-y=0nEF=0 y+ z=0. 令x= ,则y=1,z=-1, 平面AEF的一个法向量为n=(2,1,-1). 设AC与平面AEF所成角为,则 sin=|cos|= . AC与平面AEF所成角为arcsin .,返回目录,如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1= AB，点E,M分别图为A1B,C1C的中点，过A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. (1)求证:EM平面A1B1C1D1; (2)
10、求二面角BA1NB1的正切值.,【分析】建立空间直角坐标系求之比较简单.,三 用向量求二面角,返回目录,【解析】 (1)证明:建立图所示空间直角坐标系,设AB=2a,AA1=a(a0)，则A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a). E为A1B的中点，M为CC1的中点, E（2a,a, ）,M（0,2a, ）. EM=(-2a,a,0). EM平面A1B1C1D1.,(2)设平面A1BM的法向量为n=(x,y,z). A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0, ）, 由nA1B,nBM，2ay-az=0, x= ,-2ax+ =0. y= . 令
11、z=a,则n=（ , ,a）. 而平面A1B1C1D1的法向量为n=(0,0,1)，设二面角为，则 cos= 又二面角为锐二面角, cos= 从而tan= . 即二面角BA1NB1的正切值为 .,得,返回目录,返回目录,【评析】第(2)问如果直接作二面角的平面角很复杂，采用法向量起到了化繁为简的作用.这种求二面角的方法应引起我们重视.需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围.,返回目录,对应演练,三棱锥被平行于底面ABC的平面 所截得的几何体如图所示，截面 为A1B1C1，BAC=90,A1A 平面ABC，A1A= ，AB= ， AC=
12、2，A1C1=1， （1）证明：平面A1AD 平面BCC1B1；（2）求二面角ACC1B的大小.,（1）如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）， B（ ，0，0），C（0，2，0），A1（0，0， ）， C1（0，1， ）， BD：DC=1：2，BD= BC, D点坐标为（ ， ，0）. AD=（ ， ，0）， BC=（- ，2，0），AA1=(0,0, ), BCAA1=0，BCAD=0，BCAA1，BCAD， 又A1AAD=A,BC平面A1AD， 又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.,返回目录,（2）BA平面ACC1A1，取m=AB=（ ，0，0）为平面ACC1A1
13、的一个法向量，设平面BCC1B1的一个法向量为n=（l，m，n），则BCn=0，CC1n=0，- l+2m=0， l= m-m+ n=0， n= m， 取m=1，则n=（ , 1, ），cos=即二面ACC1B为arccos .,返回目录,返回目录,四 用向量求距离,在三棱锥SABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示. 求点B到平面CMN的距离.,【分析】由平面SAC平面ABC,SA=SC,BA=BC,可知本题可以取AC中点O为坐标原点,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.
14、,返回目录,【解析】取AC的中点O,连接OS,OB. SA=SC，AB=BC， ACSO，ACBO. 平面SAC平面ABC， 平面SAC平面ABC=AC， SO平面ABC， SOBO. 如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz， 则B（0，2 ，0），C（-2，0，0） ，S（0，0，2 ），M（1， ，0），N（0， ， ）.,CM=(3, ,0),MN=(-1,0, ),MB=(-1, ,0). 设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，CM=3x+ y=0 MNn=-x+ z=0， 则x= ，y=- ，n=（ ，- ，1）. 点B到平面CMN的距离d= .,返回目录,取z=1,则,【评
15、析】点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视.,返回目录,对应演练,如图示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90,AP=BP=AB,PCAC. （1）求证：PCAB； （2）求二面角B-AP-C的余弦值. （3）求点C到平面APB的距离.,返回目录,（1）证明:AC=BC,AP=BP, APCBPC.又PCAC,PCBC. ACBC=C， PC平面ABC. AB平面ABC,PCAB.,返回目录,（2）如图，以C为
16、原点建立空间直角坐标系Cxyz. 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设P（0，0，t）， |PB|=|AB|=2 ，t=2，P（0，0，2） 取AP中点E，连接BE，CE. |AC|=|PC|，|AB|=|BP|， CEAP，BEAP. BEC是二面角BAPC的平面角. E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1), cosBEC= . 二面角BAPC的余弦值为 .,返回目录,（3）AC=BC=PC，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长即为点C到平面APB的距离. 如（2）中建立的空间直角坐标系C-xyz. BH=2HE，点H的坐
17、标为（ , , ）. |CH|= . 点C到平面APB的距离为 .,返回目录,五 向量的综合应用,如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,PA=AB=1,AD= ,点F是PB的中点,点E在边BC上移动. (1)点E为BC的中点时,试判断 EF与平面PAC的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点E在BC边的何处, 都有PEAF; (3)当BE为何值时,PA与平面PDE 所成角的大小为45.,返回目录,【分析】 (1)由EF是PBC的中位线可得EFPC,从而可解答第(1)问.(2)可证AF与PE所在的平面垂直来证明第(2)问.也可转化为证明AFPE=0.(3)设出BE的
18、长度,表示出平面PDE的法向量,从而利用求线面角的公式求出BE的长度.,返回目录,【解析】 (1)证明:当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.在PBC中,E,F分别为BC,PB的中点,EFPC.又EF平面PAC,而PC平面PAC,EF平面PAC.,(2)证明:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),B(0,1,0),F（0, ， ）,D( ,0,0). 设BE=x,则E(x,1,0), PEAF=(x,1,-1)（0, , ）=0. PEAF.,返回目录,(3)设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),mPD=0mPE=0, 而AP=(0,0,1),依题意PA与
19、平面PDE所成角为45, sin45=得BE=x= 或BE=x= (舍). 故BE= 时,PA与平面PDE所成角为45.,返回目录,得m=（ ,1- ,1）.,由,【评析】(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型.一般来说,这种题型依据题目特点,充分利用条件不难求解.(2)对于探索性问题,一般先假设存在,设出空间点坐标,转化为代数方程是否有解问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.,返回目录,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点. （1）求直线BE与A1C所成角的余弦值；
20、 （2）在线段AA1上是否存在点F，使CF 平面B1DF？ 若不存在，求出AF ，若不存在，请说明理由.,对应演练,返回目录,（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AC=2a，ABC=90,所以AB=BC= a，所以B（0，0，0），C（0， a，0），A（ a，0，0），A1（ a，0，3a），C1（0， a，3a），B1（0，0，3a）， 所以D（ a, a,3a）,E（0, a， a）， 所以CA1=（ a，- a，3a）， BE=（0， a， a）， 所以|CA1|= a，|BE|= a， CA1BE= a2，所以cos= 即直线BE与A1C所成角的余弦值为 .,返回目录
21、,(2)假设存在点F,使CF平面B1DF,只需CFB1F且CFB1D即可. 设AF=b,则F( a,0,b),CF=( a,- a,b),B1F=( a,0,b-3a),B1D=（ a, a,0）,因为CFB1D=a2-a2=0，所以CFB1D恒成立. 由B1FCF=2a2+b（b-3a）=0，解得b=a或b=2a， 故当|AF|=a或2a时，CF平面B1DF.,返回目录,返回目录,1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角.,3.用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握.其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便.4. 找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找（作）垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
