1、数学模型 Mathematical Model,（6）,层次分析法建模,人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域的系统分析中，面临的常常是由一个相互关联相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统，层次分析法为这类问题的决策提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。层次分析是美国著名运筹学专家匹兹堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于1980年提出的层次排序法（the Analytic Hierarch Process，AHP法），广泛应用于复杂系统的分析与决策。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个
2、标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以完全用定量方法解决的课题。,层次分析法建模,一、基本原理：层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。,层次分析法建模,二、操作步骤：层次分析法解实际决问题，分为下面五个步骤：建立层次结构模型将问题包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、指标层、方案层、措施层等，用框图形式说明层次的递阶结构与因
3、素的丛属关系。首先要对问题进行分析，弄清问题所包含的因素、因素间的相互关联、隶属关系；最终的问题目标。根据对问题的初步分析，将问题包含的因素按照属性的共性分组，并按属性的递阶关系组合，形成层次结构模型，直到最终形成单一的最高因素；也就是我们决策的目标。即由最高层、若干中间层和最低层排列组成的层次分析结构模型。,层次分析法建模,a.最高层：层次分析要达到的总目标。b.中间层：采取某种措施、政策、方案等来实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又可分为策略层、约束层、准则层等。c.最低层：选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可
4、以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。,层次分析法建模,构造判断矩阵任何系统分析都以一定的信息为基础，层次分析法的信息基础主要是人们对于同一层中各因素关于上一层次中某一准则的相对重要性的判断。这些判断通过引入合适的标度，用数值表示出来，写成判断短阵。判断矩阵表示针对上一层次某因素，本层次与其有关因素的相对重要性的比较。若A层次的上一层次P的因素Pk与A层次中的A1，A2，An有联系，则判断矩阵形式下表。判断矩阵的元素aij用萨蒂的19标度方法给出。,判断矩阵 元素aij用萨蒂的19标度方法给出，见下表,层次分析法建模,层次分析法建模,层次分析法建
5、模,层次单排序根据判断矩阵A求出A1，A2，An对因素Pk的相对排序权重W1，W2，Wn，即W( W1,W2,Wn)T。计算方法：和法取判断矩阵的n个列向量的归一化后的算术平均值即i1,2,n或用行向量归一法：i1,2,n,层次分析法建模,计算方法：特征根法对于判断矩阵A，若max为最大特征根，W是相应的特征向量，即AWmaxW 求出max后，求解W，归一化后可得权重向量。依照上述方法可以对每一层各因素对上一层准则的排序权重向量。,层次分析法建模,判断矩阵的一致性检验计算一致性检验指标CI查找相应的随机一致性指标RI,层次分析法建模,计算一致性比例CRCI/RI当CR0.1时，认为判断矩阵的一
6、致性可以接受，否则应对结构作适当修正。层次总排序和一致性检验按照上述过程，从最高层到最低逐层进行，设上一层A包含m个元素A1，A2，Am，它的层次总排序权值分别为a1，a2，am，下一层次B包含n个元素B1，B2，Bn，它们对Aj的层次单排序权值分别为b1j，b2j，bnj，(当Bk与Aj无联系时bkj0)，则B层总排序权值即为其加权和，见下表,层次分析法建模,层次分析法建模,层次总排序的一致性检验检验是从高层到低进行的设B层中元素对Aj单排序的一致性指标为Cij，随机一致性指标为RIj，则B层总的一致性比例CR为当CR0.1时，认为结果满意。,层次分析法建模,三、实例：问题背景：某工厂有一笔
7、企业留成利润，要由领导 决定如何利用，可供选择的方案有：（1）以奖金的名义发给职工；（2）扩建集体福利设施；（3）引进新技术、新设备等。如何合理利用？,层次分析法建模,1、问题分析：上述三个方案的目的都是为了更好的调动职工的劳动积极性，提高企业技术水平和改善职工物质生活，都是为了促进企业更大发展。故可以建立结构模型,层次分析法建模,合理利用企业利润,层次分析法建模,2、问题求解：构造判断矩阵ZC另解max3.038， 从而可以求得W？,层次分析法建模, CR0.033同理构造判断矩阵C1P, C2P, C3P求解得：W1=(0.75，0.25， 0)W2=( 0， 0.167，0.833)W3
8、=(0.667，0.333，0) 求解方案层对目标层的总排序,层次分析法建模,方案层对目标层的总排序求解过程,检验： CR00.1,层次分析法建模,结论：（1）优先排序为：P3优于P1， P1优于P2 （2）利润分配比例：P3占53.1P1占25.1P2占21.8,层次分析法建模,四、思考与练习：问题背景：某校工会在五一假期中要组织职工旅游。有三个地点P1、P2、P3可供选择，在选择地点时要考虑的因素有费用、景色、居住条件、饮食条件、旅行条件等。该工会规定只能去一个地点，问会员如何选择自己的最理想的旅游地点？,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下
9、分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,
10、构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n , = n是
11、A为一致阵的充要条件。,2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算,精确计算的复杂和不必要,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,和法取列向量的算术平均,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度,2) 计算,3）归一化,简化计算,4）若 ，停止；否则，k:=k+1, 转2,3. 特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问题,一致阵A, 权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致,
12、应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。,非线性 最小二乘,线性化 对数最小二乘,结果与根法相同,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。,成对比较,Ci:Cj (直接比较）,aij 1步强度,aisasj Ci通过Cs 与Cj的比较,aij(2) 2步强度,更能反映Ci对Cj 的强度,多步累积效应,体现多步累积效应,定理1,特征向量体现多步累积效应,4.不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w
13、12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法,例: 评价教师贡献的层次结构,P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。,C1,C2支配元素的数目不等,仍用 计算,不考虑支配元素数目不等的影响,支配元素越多权重越大,用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正,若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T,公正的评价应为： P1
14、:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 计算,支配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个特例：,5. 残缺成对比较阵的处理,miA第i 行中的个数,为残缺元素,6. 更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。,更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。,例,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人。,
