1、2013 年度本科生毕业论文（设计）用 F-展开法求解广义 KdV-mKdV 方程院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2009 级 学生姓名： 胡 安 平 学 号： 200905050225 导师及职称： 芮老师 (教 授) 2013 年 5 月2013Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateThe F-expansion method for solving the generalized KdV-mKdV equationsDepartment: College of Mathemat
2、icsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2009Students Name: Hu AnpingStudent No.: 200905050225Tutor: Rui (professor)May, 2013毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说
3、明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 胡安富毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名 职称 单位 备注教授 数学学院 组长教授 数学学院 组员教授 数学学院 组员红河学院本科毕业论文（设计）摘要 本文针对广义 KdV-mKdV 方程的特点,引入了一个辅助方程。在这个辅助方程的基
4、础上,利用 F-展开法获得这个辅助方程的一些函数型的精确解。进一步地,利用这些辅助方程的解获得了广义 KdV-mKdV 方程的各种精确行波解。并借助maple 软件画出了在不同参数条件下的三维图像和二维图像。关键词: 广义 KdV-mKdV 方程 ;F-展开法;孤立波解;周期波解；行波解红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTIn this paper, according to the characteristics of generalized KdV-mKdV equations, an auxiliary equation is introduced. Basied on the
5、auxiliary equation, using the F-expansion method, some exact solutions of auxiliary equatioan are given. Further, using the auxiliary equations solution, different kinds of exact travelling wave solutions of generalized KdV-mKdV equation are obtained. By using maple software, we draw three-dimension
6、al graphics and two-dimensional images under the condition of different parameters.Keywords: Generalized KdV-mKdV equation; F-expansion method; Solitary wave solution; periodic wave solutions; Travelling wave solutions红河学院本科毕业论文（设计）目 录 第一章 引言 .11.1 研究背景和现状 .11.2 广义 KdV-mKdV 方程简介 .11.3 研究内容 .3第二章 研究方
7、法 .42.1 F-展开法 .4第三章 用 F-展开法求解广义 KdV-mKdV 方程 .6第四章 小结 .17参考文献 .18致谢 .19红河学院本科毕业论文（设计）1第一章 引言 1.1 研究背景和现状最近30多年来，非线性数学在物理研究领域颇具特色的成就之一就是创造了求非线性偏微分方程的解，特别是求行波解的各种方法。如: F-展开法，Jacobi椭圆函数展开 ，双曲正切函数展开 ,齐次平衡 等。这些方法对于法 法 法某一类方程来说，它们求某一种形式的行波精确解是十分有效的, 其中“F -展开法”，“齐次平衡 ”对于求非线性发展方程的Jacobi椭圆函数解较为常用。法一般情况下, 求解非线
8、性方程(尤其是非线性偏微分方程（PDE）)非常困难,而且也没有统一而普遍的方法，以上所述的一些方法也只能具体应用于求解某个或某些非线性方程较为有效,因此,在数学领域 ,求解非线性方程任重而道远，继续寻找一些有效可行的求解方法仍是摆在数学爱好者面前的一项十分艰巨而又很有意义的工作。1.2 广义 KdV-mKdV 方程简介在现代科学研究中，非线性波动现象，如流体力学、固体物理、集成电路、光纤、化学动力学、等离子体物理、地球化学起重要作用。在非线性波方程中，非常重要的现象是扩散、耗散、色散、对流和反应。在许多科学索引文献中提到的孤立子问题,比如呼吸型孤立子,扭结型孤立子, 尖峰型孤立子，紧孤立子和尖
9、孤波 1是现代非线性数学在物理研究领域中的主要研究内容。目前尽管已经有了多种方法可以解决非线性波方程, 如双线性变换法, 贝克隆变换， 逆散射方法的转变, sine-cosine 方法，齐次平衡方法和 tanh 方法。但是，由于非线性波方程本身的复杂性，导致目前没有统一的方法去寻找这些方程的所有解。这就是摆在我们面前的新课题，解决这些新课题需要我们不断的去寻找新的方法和新的技巧。另外，精确解的物理特性非常重要,这一重要性体现在它们能够为我们在非线性波方程的物理研究领域提供多方面的洞察力和灵感。标准的 KdV 方程第一章 引言2（1-1）0,txua与 K(n,n)方程 （1-2）()0,1nt
10、xxuaun目前已被广泛而全面得到研究 2-3。通过平衡 KdV 方程中的高阶色散效应项与非线性项 ，研究人员获得了方程（1-1）的孤立子(soliton)解，简称孤xux子解。然而，在 K(n,n)方程（ 1-2）中, 非线性色散项 与非线性项 之()nxu()nxu间的相互作用产生的孤波具有紧致的特性,通常人们把具有这一特性的解叫做紧孤子（Compactons）解。一般地，非线性波孤立子的特征被定义为 4：（1）.局部的波形是稳定,它们相互碰撞时保持他们的特性。反过来又意味着孤子是具有这样的性质（弹性碰撞）的粒子。（2）.局部的波形,传播时不改变其性质(如形状、速度等)。因为紧孤子被证明弹
11、性碰撞消失在一个有限的核心区域。所以人们观察到紧孤子结构有两个重要的特点 5：（1）.紧孤子的宽度是独立的振幅。（2）.紧孤子的特点是不像孤立波那样有长长的尾巴（即长长的渐进于某条直线曲线）。国内外大量的研究工作已表明紧孤子（Compactons）有实际的科学应用,如惯性聚变，裂变的液体滴(核子物理学),预先形成的水动力模型 6-7等等。现代许多数学和物理学研究领域,名词后面带后缀-on，一般被用来表示粒子性质 8，例如孤子（soliton）有粒子、光子（photon ）、声子（phonon）和尖孤子（peakon）的性质。也因为这个原因 ,紧致的孤立波 ,简称紧孤子（Compacton ）。需更加深入透彻地了解紧孤子（Compacton）性能和物理结构9。
