1、52.5.1 等比数列的前 n 项和（第一课时）雷国强一、教材分析1.在教材中的地位与作用在数列一章中，等比数列的前 n 项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是等差数列的前 n 项和与等比数列 的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，
2、有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前 n 项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。2教材编排与课时安排提出问题问题解决等比数列前 n 项和公式推导强化公式运用（例题与练习） 。教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间
3、2 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。二、教学目标分析依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：【知识与技能】 理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前 n 项和；二是已知前 n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（错位相减法）的运用。【过程与方法】 感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思
4、想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。【情感、态度与价值观】 通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。三、重、难点分析【教学重点】 等比数列前 项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后n继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。【教学难点】 等比数列前 项和公式推导方法的理解。从知识特点看
5、，等比数列n前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。四、学情与教法分析1学情分析（内容尚缺）2教法分析根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，以建构主义理论为指导，采用引导启发教学法和探究- 建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。3
6、教学构想等比数列前 n 项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。 教学中可以给出等比数列前 n 项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面，不能忽略 q=1 的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n 项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解。还要适当补充可以转化为等差数列、等比数列求和的混合数列求和问题。五、教具准备教科书（人教 A 版必修 5） 多媒体课件和操作系统 六、教学过程教 学
7、过 程教学环节教 学 内 容 教 师 活 动 学生活动（预设）设计意图问题情境国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏它的发明者，问他想要什么.发明着说：请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子，第二个格子上放 2 粒，第三个格子上放 4粒即每一个格子中放的麦粒都是前一个格子麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子. 国王觉得这个要求不高，便欣然答应.请问：国王需要给他多少麦子呢？打开多媒体课件，展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题漫步故事，感受数学问题的情景化，趣味吸引的同时有自己的猜测，并在教师的引导、启发后展开自己的思维分析以故事引题,激发学生学习兴趣和热情，调动学习积极性，领
8、悟数学应用价值。教师诱导提取公比 q12121nn qaaS ）（ ）（ nqq1)(当 q1 时,S n= =a1（ 1 qn）1 q a1 anq1 q当 q=1 时, S n=na1。引导学生对上述计算中的观察和nnqaSq1)1(思考，对接下来学生探讨并构建 23111= nn aq做铺垫，使学生更深刻的理解错位相减法构建教学学生探讨一般地，=nnaaS321 1121 aqn则 q于是，当 时， = nS当 时， 1分组讨论，得出结果问题求解错位相减法 S64=1+2+22+23+2632S64= 2+22+23+24+264相减得 S 64=12 64 S 64=2641经测算，需
9、要麦粒 1.841019粒，约 7000亿吨，这么多小麦沿地球表面可铺 3 厘米厚，能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459 倍，古印度国王显然无法满足西萨的要求。在师生相互交流中思维逐步展开，动笔演算，体会数学的应用价值，同时感受了错位相减法的优势。感受和惊叹结果的“大”！ 进一步激励学习的主动性。通过引言实例的探究解决，使学生感受数学的应用价值，同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。总结反思1一个公式：等比数列前 n 项和当 q1 时,S n= =a1（ 1 qn）1 q a1
10、anq1 q当 q=1 时, S n=na12两个方法：错位相减法、方程求解提问，在师生相互交流的同时打开课件， 帮助学生整合所学知识。回忆总结所学知识，加深印象。整理、归纳所学知识，完善学生认知结构和知识体系，明3三个思想：分类讨论、方程、化归思想 确本节学习内容。作业布置 教材 58 页“练习”中第 1（2） 、2 题。 巩固知识七、板书设计仪屏幕八、教学设计说明问题情境故事化。采用故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。问题情境与公式推导
11、探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强
12、对数学思想方法的感悟。板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学等比数列前 n 项和投 S64=1+2+22+23+263=？影 12121nn qaqaS）（ ）（ n1)(当 q1 时,S n= =a1（ 1 qn）1 q a1 anq1 q当 q=1 时, S n=na1。 生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。
