1、教学设计 等比数列的前 n 项和第一课时一、教材分析。（ 1 ）教材的地位与作用： 等比数列的前 n 项和选自普通高中课程标准数学教科书 数学（ 5 ）（人教 A 版）第二章第 5 节第一课时 , 是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、 分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、 整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。（2 ）从知识的体系来看：“等比数列的前 n 项和”是“等差数列及其前n 项和”与“等比数列” 内容的延续、 不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。二、
2、学情分析。（ 1 ）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。（ 2 ）教学对象：高二文科重点班的学生，学习兴趣比较浓, 表现欲较强 , 逻辑思维能力也初步形成， 具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、 敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。（3 ）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊
3、情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。三、教学目标。根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：（1 ）知识技能目标理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。（ 2 ）过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力（ 3 ）德育目标培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。四、重点 ,难点分析。教学重点：
4、公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点：公式的推导方法及公式应用中q 与 1 的关系。五、教法与学法分析 .培养学生学会学 、 学会探究是全面 展学生能力的重要前提，是高中新 程改革的主要任 。如何培养学生学会学 、学会探究呢？建构主 ：“知 不是被 吸收的，而是由 知主体主 建构的。” 个 点从教学的角度来理解就是：知 不是通 教 授得到的， 而是学生在一定的情境中，运用已有的学 ，并通 与他人 （在教 指 和学 伙伴的帮助下） 作，主 建构而 得的，建构主 教学模式 以学生 中心， 学生 知的主体， 教 只 学生的意 建构起帮助和促 作用。因此，本 采用了启 式和探究式相 合的教学方
5、法， 老 的主 性和学生的主体性有机 合，使学生能 愉快地自 学 ，通 学生自己 察、分析、探索等步 ，自己 解决 的方法，比 后得到一般性 ，形成完整的数学模型，再运用所得理 和方法去解决 。一句 ： 堂以生命力， 学生以活力。六、 堂 （一） 情境，提出 。（ 定：3 分 ）阅读 P55 故事：在古印度，有个名叫西 的人， 明了国 象棋，当 的印度国王大 ， 他 ：我可以 足你的任何要求。西 ： 我棋 的64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令管粮 的大臣 算， 果出来后，国王大吃一惊。 什么呢？ 个情境目的是
6、在引入 的同 激 学生的 趣， 学 的 极性故事内容 扣本 的主 与重点 问题 1 ：西 要的是多少粒小麦？引 学生写出麦粒 数：S 64 =1+2 1 +2 2 +2 3 + +2 62+ 2 63（ 1 ）（二） 生互 ，探究 4 分 问题 2 ：怎 求出 个和？有学生会 ：用 算器来求（老 当然肯定 种做法，但学生很快 比 求。）问题 3 ： 个和式有什么特征？（学生会 ，后一 都是前一 的2 倍）问题 4 ：如果我 把每一 都乘以2 ，就 成了它的后一 ，那么我 若在此等式两 同以2 ，得到另一式： 2S 64 =2+2 2 +2 3 +2 4 + + 2 63 + 2 64(2)比
7、（ 1 ） (2 ）两式，你有什么 ？（学生 比 ：(1) 、 (2) 两式有 多相同的 ）问题 5 ：将两式相减，相同的 就消去了，得到什么呢？ 五个 的 意 ： 深入，剖析了 位相减法中减的妙用，使学生容易接受 什么要 位相减， 繁 的 算之苦后，突然 上述解法， 也 学生感受到 种方法的神奇 。 ，老 向同学 介 位相减法。问题 6 ：同学 反思一下我 位相减法求此 的 程， 什么（ 1 ）式两 要同乘以 2 呢？ 个 的 意 : 学生 位相减法有一个深刻的 ，也 探究等比数列求和公式的推 做好 （三） 比 想，解决 。 定：8 分 问题7 ： a n 为 等比数列，如何求它的前n 和？
8、学生开展合作学 , 交流，老 巡 堂， 有典型解法的，叫同学板 在黑板上。公式的推 方法一（ 位相减法 ）：一般地， 等比数列a 1+a 2 +a 3 + + a n ，它的前 n 和是：Sn=a 1 +a 2 +a 3 + + a n由 a n =a 1 q n-1 , 得Sn=a 1 +a 1 q+a 1 q 2 + + a 1q n-2 + a 1 q n-1(1) ，两乘以 q 得qSn=a 1 q+a 1 q2 +a 1 q3 + + a 1 qn-1 + a 1 qn(2)（ 1-q ） Sn = a 1 - a 1 q n当 q1 ， S n =a 1 (1-q n ) /(1-
9、q) 或 S n =a 1 -a n qn ) /(1-q)当 q=1 ， Sn =na 1 意 ： 从特殊到一般 , 从模仿到 新 , 有利于学生的知 迁移和能力提高， 学生在探索 程中，充分感受到成功的情感体 （四）分析比 ，开拓思 。 定： 4 分 公式的推 方法二（定 法）：由等比数列的定 有：a2 /a 1 =a 3 /a 2 = =a n /a n-1 =q根据等比的性 有：(a2 +a 3 +a n )/(a 1 +a 2 + +a n-1 )=q ， (Sn-a 1 )/(Sn-an )=q即 (1 q)Sn a1 an q （ 同上） 基本概念，从等比数列的定 出 ，运用等比
10、定理， 出了公式。公式的推 方法三（从第二 提取公因式法）Sn a1a2 a3an a1q( a1a2a3an 1 ) a1qSn 1 a1q(Snan )(1q)Sna1 an q （ 同上）将不同的的方法 行分析 价。根据学生的 状况，可能有以上几种方法：【 意 ：共享学 成果，开拓了思 ，感受数学的奇异美】（五） 提 ，构建新知. 定： 5 分 问题 8: 由 (1-q) S n = a 1 - a 1 q n得 Sn =a 1 (1-q n ) /(1-q)， 不 ？ 里的q 能不能等于1 ？等比数列中的公比能不能 1 ？ 是什么数列？此 Sn= ？【 意 ：通 反 精 ，一方面使学生
11、加深 知 的 ，完善知 构，增 思 的问题9: 如何 用公式解答 P56例1学生 出:1、 已知一个等比数列的每一 ，求其前n 和。先求出a 1 、 q 、n ,后求Sn2、 已知一个等比数列中的a 1 、 a n ，先求 q , 再求 Sn, 用公式 (2)【 意 ：向学生渗透分 数学思想，加深 公式特征的了解】（六） 深入，掌握新知。 定： 13 分 【 意 ： 通 两道 来剖析公式中的基本量 行正反两方面的 “短、 浅、快” 练 ，通 、辨析和反思， 化公式的 构特征】问题 10P58 练习 1 （ 1 ）（ 2 ）； 优 P 36 例 1 。【 意 ：渗透方程思想.通 公式的正用和逆用
12、 一步提高学生运用知 的能力，掌握公式中“知三求二”的 型】（先由学生独立求解，然后抽三位学生板演，教 巡 、指 ， 学生完成情况， 找学生中的 光点， 予 情表 。) 充 ： 有一位大学生 后到一家私 企 去工作， 用期 后， 老板 位大学生很欣 ， 有意留下他， 就 位大学生提出待遇方面的要求， 位学生提出了两种方案 老板 ，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工 20 元，以后每个月的工 是上月工 的2 倍，此 ，老板不假思索就 了第二种方案，于是他 之 就 了一个 待遇合同。 你分析一下，老板的 是否正确？【 意 ： 学生 一步 到数学来源于生活并 用于生活，生活中
13、有数学】（七） ，加深理解。 定： 2 分 （ 1 ）等比数列的求和公式是什么？ 用 要注意什么？（ 2 ）用什么方法可以推 了等比数列的求和公式？【 意 ：形成知 模 ，从知 的 延伸到思想方法的提 ， 化学生的 知 构】（八） 后作 ，巩固提高。 定： 1 分 必做： 本 P61习题 A 的第1 （1 ）（ 2 ）、4 （ 2） 做： 求和：（ 2+5 ） +（ 4+5 2 ） +（ 6+5 3 ） +（ 8+5 4 ） + + （2n+5n ）【 意 ： 了使所有学生巩固所学知 ，布置了“必做 ”；“ 做 ”又 学有余力者留有自由 展的空 】板 : 2.5等比数列的前n 和当 q=1 ， Snna1当 q1 ， Sn=a 1 (1-q n ) /(1-q) 或 Sn=a 1 -a n q n ) /(1-q)P56 例 1 ， ： 1 、 P58 练习 1(1)(2);2 、 P 36 例 1 （方程思想 ）小 ：按目 行。作 ： 本P61 习题 A 的第 1 （ 1 ）（ 2 ）、4 （ 2 ） 附加：求：（ 2+5 ） +（ 4+5 2 ） +（ 6+5 3 ） +（ 8+5 4 ） + + （2n+5 n ）的和。
