1、1第 5 届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答（1971 年于保加利亚的索菲亚）【题 1】质量为 m1和 m2的物体挂在绳子的两端，绳子跨过双斜面顶部的滑轮，如图5.1。斜面质量为 m，与水平面的夹角为 1和 2。整个系统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么？摩擦可以忽略。解：我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向） 。用 a0表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体 m 下降）两个物体在惯性系中的加速度 a1和 a2可由矢量 a 和 a0相加得到（如解 图 5.1图 5.1） 。用 F 表示绳子中的张力。对沿斜面方向的分量应用牛顿第二
2、定律。使物体 m1加速下降的力是m1gsin 1F在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为a0acos 1所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为： 解图 5.1m1（a 0acos 1）m 1gsin 1F同样，对于 m2有m2（a 0acos 2）Fm 2gsin 2两式相加：（m 1cos 1m 2cos 2）a（m 1m 2）a 0（m 1sin 1m 2sin 2）g （1）我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。斜面在惯性系中的速度为 v（向右） 。物体相对斜面的速度为 v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量（向左）分别为：v 0 cos 1v 和 v 0 cos 2v利用动量守恒原理：
3、m 1（v 0 cos 1v）m 2（v 0 cos 2v）m v对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有：m 1（a 0 cos 1a）m 2（a 0 cos 2a）m a所以 （2）0211cossa上式给出了有关加速度的信息。很明显，只有当两物体都静止，即两个物体平衡时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。由方程（1）和（2） ，可得到加速度为：gmma 2212121 )coss()( ini2212121 )c()( iioscs如果 m1sin 1m 2sin 2 即 12sinmm21m21 001,3,52则两个加速度均为零。【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆
4、利装置。在水银柱上方有氢气，在圆筒内有空气。第一步，水银柱高度 h170cm，空气压强pk11.314atm133.4kPa100cmHg，温度为 00C273K。第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为 h240cm，这时空气压强为 pk20.79atm80kPa60cmHg。第三步，保持体积不变，提高温度到 T3，此时水银柱的高度为 h350cm。最后，第四步，温度为 T4，水银柱的高度为 h445cm，空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。解：我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用 L 表示。为了简单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体
5、积。压强全部用 cmHg 为单位给出（见解图 5.2 第一步至第四步） 。L70cm40c50cm45c次 数 1 2 3 4氢气压强 p h1 p h2 ph3 p h4氢气体积 V h1 V h2 V h3 V h4空气压强 100cmHg 60cmHg p k3 p k4空气体积 V k1 V k2 V k3 V k4两者温度 273K 273K T 3 T 4解图 5.2从第一步到第二步，对氢气应用玻意耳定律：（L70） （10070）（L40）（6040）由此式求得玻璃管的长度 L130cm，因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为：V h160cm ，V h290cm，V h380c
6、m，V h485cm从第二步到第三步，氢气的状态方程为： 380)5(27390)46(Tph对空气应用盖吕萨克定律： 03Tpk从第三步到第四步，我们只有向上提升活塞，以便使空气压强保持不变。氢气的状态3方程为： 4385)(80)5(TpTpkk 解以上方程组，得：p k3p k480cmHg， T 3364K， T 4451K，所以氢气的压强为：p h330cmHg p h435cmHg算出空气的体积比为：V k1:V k2:V k46:10:12.4（注：cmHg 为实用单位，应转换成国际单位 Pa）【题 3】四个等值电阻 R、四个 C1F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起
7、来，如图 5.3 所示。各电池的电压为 U14V，U 28V，U 312V，U 416V，它们的内电阻均可忽略。 （a）求每个电容器的电压和电量， （b）若 H 点与 B 点短路，求电容器 C2上的电量。解：（a）将这个网络展开成平面图（如解图5.3.1） 。由于电流不能通过电容器，所以只在图 图 5.3 解图 5.3.1中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中，电压为 12V，电阻为 4R。因此电流为： RUI41于是就知道了电阻和电源两端的电压。设 A 点的电势为零，就能很容易地算出各点的电势。A 0 VB (U 4U 1)/4 3 VC (U 4U 1)/2 6
8、VG (U 4U 1)/2U 1 10 VH (U 4U 1)/2U 1(U 4U 1)/4 13 VE (U 4U 1)/2U 1(U 4U 1)/2 16 VD (U 4U 1)/2U 1(U 4U 1)/4U 3 1 VF (U 4U 1)/4U 3U 2 11 V从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下：C 1 （1110）V1V， 110 -6C。C2 （1611）V5V， 510 -6C。C3 （61）V5V， 510 -6C。C4 （10）V1V， 110 -6C。我们可以算出各电容器的储能量 CU 2/2。电容器 C1和C4各有 0.510-6 J，电容器 C2和 C3各有
9、 12.510-6 J。（b）H 点与 B 点连接，我们得到两个分电路。如解图ABDEFGHC223U14RR+_+RC43U2+_U3+_R121ABDEFGHRU1+_4+_ABEGH245.3.2。在下方的分电路中，电流为 ，E 点相对 A 点的电势是 U416 V，H 点与 B 点的RU24电势是 U428 V。F 点的电势为 16 V24于是，电容器 C2两极板的电势均为 16 V，结果 C2上无电量。 解图 5.3.2【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面 3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜
10、面最近处以速度 v 沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。水的折射率为 。如图 5.4（a） ，5.4（b）34n解：鱼在 1 秒钟内游过的距离为 v。 图 5.4（a）我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦用角度本身 图 5.4（b）去近似。在 T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图 5.4（a）所示。从 T1点以角度 rA T1O 发出的光线，在 A 点水中的入射角为 r，在空气中的折射角为 n r。把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在 K1，显然K 1A T1n rr（n1）r从三角形 K1 T1 A，
11、有： )(1rn利用通常的近似：K 1AK 1OR， K 1AT1K 1OR于是 1n所以这个虚像与球心的距离为 n21水的折射率 ，从而 K1O2R。若折射率大于 2，则像是实像。有像距与物距之商34n得到放大率为 T21对水来说，放大率为 2。以与速度 v 相应的线段为物，它位于在 E 处的平面镜前的距离为 2R 处，它在镜后 2R远的 T2处形成一个与物同样大小的虚像。T 2离球心的距离为 5R。在一般情形下，我们假设T2OkR。T 2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定vABK1TO2 BCDEFOK2r 5T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图 5.4（
12、b）所示。我们需要求出以 r 角度从 T2发出的光线在 C 点的入射角 ，其中 rCT 2F。在三角形 T2OC 中， k rRCO玻璃中的折射角为： DOnkr需要算出DOB。 因为：COFrk rrr（k1）而且COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加，或与COF 和DOB 之和相加，两种情况都等于 1800，因此 krrB2)1(即 2knO从三角形 DOK2，有 12)12(knknrDK此外 ，2kRO因此像距为： RnK2)1(2若 k5，n ，得34302放大率为 kOT)1(2若 k5，n ，则放大率为3432综合以上结果，如鱼以速度 v 向上运动，则鱼的虚像以速度v 向上运
13、动，而鱼的实像以速度 v 向下运动。两个像的相对速度为v v v，2328是原有速度的 倍。38我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在做此实验时，他将看到什么现象呢？两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的，实际上观察到两个反向的速度，其中一个是另一个的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离 8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者” ，是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管
14、有6距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近 。他当然必须具有关于鱼的实际速度（v）的38一些信息。两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为： nkn)1(2用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻 Rb和电动势U0。画出作为外电阻 R 函数的有用功率，总功率以及效率 的曲线。解答：端电压为 电流为bU0 RUIb0总功率为 P0U 0I 有用功率为：PU I 效率为 0P利用以上公式，得到要求的六个函数，如解图 5.4（a）（f）所示。I（ a） R（ b）PU 0IR bI2 P 20)(UbI（ c） R（ d） P0P0U 0I P0 Ub2I（ e） R（ f） 1 URb0 b测出适当选择的两个值，由以上公式便可求出 Rb和 U0。这些数据应该是独立于外负载，所以这样的测量并不可靠，大负载时尤其如此。1,3,57
