1、1数列与递推一、等差、等比数列数列 是定义在自然数集或它的子集上na的一个函数 ，求数列的通项公式相f当于求这个函数的表达式.同时，数列的前 n项的和 也组成一个数列，且 ，nS1Sa.数列的有关问题，往往围21an绕通项与求和问题展开.等差数列与等比数列是两种最基本、最常见的数列.我们应当熟知一下性质.Nnmqp,等差数列的性质：若 为等差数列，则 （k 为常数）nana仍为等差数列.若 ， 为等差数列，则b（ ， 为常数）仍为等差数列.nc2112c若 为等差数列，则 的aqpm充要条件是 .qpnma等比数列的常用性质：若 为等比数列，则 （k 为常数）n仍为等比数列.2若 ， 为等比数
2、列，则nab（ ， 为常数）仍为等比数列.c2112c若 为等比数列，则 的qpnm充要条件是 .qpnma例 1 已知一个等差数列其中有三项：13、25、41.试证明：2009 为此等差数列中的一项.解 方法 1：设已知等差数列的公差为d，则 ，,3425bdaZ、即 .821由 得 .2140a由 得 .db因为 196304553dba92其中 ,所以 2009 为此等差Za42数列中的一项.方法 2：设已知的等差数列的公差为 d,则 ,1345bd、3即 .28,1bda21假设存在 使得Zyx、(3),3209即 得 .,2813749yx当 时, ,y6x即 ,dba43209其中
3、 .Z所以 2009 为此等差数列中的一项.方法 3：设 13、25、41 所在的等差数列为 ，则 37 必为此数列中的一项（因为na25 为 13、37 的等差中项） ，由 ，4371可以构造一个等差数列（分两种情况讨论）：(1),13,17,21,25,29,33,37,41,易知，这个等差数列一定是数列 的na一个子列，此时公差 ，而 4d，所以 2009 为此等差数列491320子列中的一项.（2）,41,37,33,29,25,21,17,13,易知，这个等差数列一定是数列 的na4一个子列，此时公差 ，而 4d，所以 2009 为此等差492013数列子列中的一项.综合(1)、(2
4、)得 2009 为此等差数列中的一项.方法 4：设 13、25、41 所在的等差数列为 ，则 而与公约na,16254,1325数为 2 或 4 或 ，构造出含有或13、25、41 三项公差 d 分别为 2 或 4 或的等差数列 的子列.仿方法 3 便或 na可证得 2009 为此等差数列中的一项.方法 5：定理 各项为整数的等差数列，公差为 d 的充要条件是各项为整数的na数列 中的任一项 被整数 d 除余数相同na（证明略）.设已知的等差数列的公差为 d,依题意,不妨取 ,且 .Zd12当且仅当 时, ,4或dmo3,此时,mo125do,由定理知 2009 为此等差数09列中的一项.例
5、2 各项为实数的等差数列的公差为54，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项.分析 已知公差，那么等差数列的各项都可以用首项 表示出来，于是根据第二个1a条件，就可以得到一个关于 和项数 n 的不1a等式.解 不妨设等差数列 的公差为,24，由题设条件可得 ，10321n即 ，412 naa整理得 0121当且仅当时，至少存024nn在一个实数 满足不等式.1a于是由 得 ，即4167.837863注意到 ， ，02972863故满足条件的自然数 n 的最大值为 8，即满6足题设条件的数列至多有 8 项.例 3 设数列 与 的通项分别为nab, ,它们的公共项由小到大排n
6、a22b成数列 ，求 的前 n 项的和.cn分析 是等比数列， 是等差数列，探索两个数列公共项排成的数列 的特征，nc求出通项公式或求和公式.解 由题设条件易知， .231设 的第 m 项与 的第 k 项相等，并设这nanb是 的第 n 项，即 .c2cm由于 是递增的，它的第 m+1 项为 ，1321 km显然不是 的项；nb而 的第 m+2 项为a，24242mm这是 的项，从而也是 的第 n+1 项：nnc.21nc由此可见， 是首项为 8、公比为 4 的nc等比数列，所以它的前 n 项的和是 7.123841nnnnqcS例 4 数列 满足： ，且对每个na， ， 是方程 的两Nn10
7、2nbx根，则 _.201kb分析 关键是求出 的通项公式，由条na件得出关系式再进行变形.解 对每个 ， ，Nn31，可知nnba1，424321an因此 是一个公比为-1 的等比n数列，其首项为 ，故 ，4747132nna即 ，则47123nna，于是41 821921nnab，8因此 .6385201kb例 5 正项数列 满足na，)(1221 Nann 631a， ， ， 单调递增且成等比数列， 为3 nS的na前 n 项和，则 的值是_.208S分析 已知条件等式变形，以显现数列的性质，便于求 .an解 由已知有 2121na所以 ，而 ，因33 231a此 ，可知 0)(2，62
8、3a解得 .又因为 ， ， 单调递增知 .123a51再由式得 321nnna得 ， 0)(3因此 ，故 是以 3 为周期的数a列，可知 ，因此51208920872087(62)35)3Sa，5 .208例 6 设非负等差数列 的公差 ，na0d记 为数列 的前 n 项和，证明：nSna（1）若 ，且 ，Npm, p2则 ；pnS21（2）若 ，则 .0553a08107n分析 根据 ，可得p2，利用均值不等式进行放缩可证pnma明 ；第（2）小题的证明显然要S1用到第（1）小题的结论.解 设非负等差数列 是首项为 ，na01a公差为 .0d（1）因为 ，所以 ，pm222p， ，从而有 .
9、np2nanmp)(10因为 ，所以有dnaSn211dmm)1()()( pSpadppa 222211 121()()4nmnmnnS.122()(paaS于是 .ppnmnmS（2） )1()1(206207071 Sn.14053)(SS143147又因为 da11，1054)502(1453ada所以有 .28710471 Sn说明 本题把等差数列的知识和不等式的证明结合在一起，均值不等式的恰当运用是解题的关键.例 7设等差数列 的前 项和为 ，若nanS，则 （2011 年1201S201全国联赛 B 卷一试第一题）解： 因为 是等差数列，所以n 1209)(9612120120
10、aa于是 ， 所以 6a209)2(1601201aS二、递推数列一阶递归数列的一般形式为： ，为 常 数 .1npaqnp其特例为：12（1） ，这就是等比数01pann列.（2） .,q当 时数列为等差数列.p当 时,可用待定系数法0,求解.令 ,求得 ，从1nnap1而有 ，所以数列qapq是首项为 ，公比为 p 的an11等比数列.（3） .01pnqan两边同除以 ,得 ,令11nqa,则 ,由此可用累加的npab1nb方法求出 ,从而求出 .a(4) .01qnn解决这类问题的思想方法,通常也是利13用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列.例 8 设 ，xacot1，xnn)1
11、si(试求数列 的通项 .a分析 ，t1xictics2，xn2oioai23，xs3csincxio34，in4oi至此已猜出 .这一猜想是否正xansic确，有待于证明.证 ： 根据分析，已猜出 ，xnasico下面应用数学归纳法证明14当 时， ，命题成立.1nxacotsin设 时，命题成立，即 .kkaksin当 时，xxak)1si(co1ni,xsi)( 时，命题也成立.1kn故 为一切自然数时， 成立.xnasico例 9 若数列 满足 ， ，n012且 ，求na2312 ?解 由已知递推式，得,nnna)(112 令 ，则 ，所以abb2,nknkn2111)(15，nknn
12、ab2112即 ，n两边同除以 ，得 ，nna2121所以 ,112knkka-n122kna.)()01n1(n所以 .a例 10 在数列 中， ，na1.求 .31nnan解 由 取倒数，得1n， .nnaa1 2131na16所以数列 是以 3 为公比的等比21na数列，其首项为 ，故1. nna321n所以 . n例 11 若数列 满足 ，且na51， 求 .311nna,2解 令 ，则 ，nb1nb,23)(1, .4231nnnbb41nb再令 ，则 .C1C变形为 .)2(1nn17数列 是以 即 为首项，以21nC143为公比的等比数列，由等比数列通项公式，21有 ，1243n
13、n，所以 ，11nnCnnb231.na23231例 12 已知数列 中，na， .1321 123nna求 .21na分析：该递归数列是非齐次非线性的，思考将其转化为齐次线性递归数列.为消去常数，可递推一步作差消去常数使其齐次化，再通过换元使其线性化.解： 123nna314a得 18,2132314 nnnn aaa即 .n31故 .4从而， .2432nnaa令 ，则 .nnb21b又 ， ，131a24，242b所以， ，21531b.642b因此，当 n 为奇数时，则212nna.21nna当 n 为偶数时，则321nb .312nn19故 21123nna1212nna212nn.
14、例 13（2011 年全国联赛 B 卷一试第十题）已知数列 满足： 且 ，naRt(1 )1t*)(2)(11Ntn（1）求数列 的通项公式；n（2）若 ，试比较 与 的大小 01na解 （1）由原式变形得，2)(1nnnttat记 ，则 ，nnbt1nb 21ta20又 ，从而有21,1bbn，2)(1nbn故 ，于是有 tanta)1(（2） ntn)(11 )1)() 1 ntttt 1121()()()nnntttt 212231()()nn nttt t 显然在 时恒有 ，001na故 na121例 14（2011 年全国联赛 A 卷一试第十题）已知数列 满足： R 且 ，nat(3
15、21)1N )()32(11nntt n*（1）求数列 的通项公式；a（2）若 ，试比较 与 的大小0t1na解 （1）由原式变形得 ，)(11nnta则 21)(2)(1 nnnntatt记 ，则 ，nnbta1nb 21tt又 ，从而有21,1bbn22，21)(1nbn故 ，于是有 ta1)(nta（2） ntn1)(11 1()()n ntttt 112()1()()nn nttt 212231()()nn nttt t 显然在 时恒有 ，(0t 01na故 na1例 15 已知数列23满足： ，na123(R1)tt且)()nnnnaN （1）求数列 的通项公式；n（2）若 t0，试
16、比较 与 的大小.1n解 （1）由 ，及123(R1)att且可得 ，1(3)()nnntat2a，猜想： .下面用数学325t nt归纳法证明.当 n=1 时，猜想显然成立.假设时猜想成立，即(1)nkN且. 则2at221(1)kkkkttt1(3)()22(1)kkk ktatt24112(3)(3)2()1kkkktttt1462()kktt所以 时1n11(3)()1246()()kkkkktatatt123kt即 时猜想也成立.综合、可知对n一切正整数，猜想成立.2nat（2）由（1）知： ，2nat25， 则1123nnat12nnntt2()由 及 元均值不等式可得：0t1n1
17、1 ()(nnn ntttn 个取等号时 t=1. 而 ，所以 ，1t1()0ntt， .0nana三、数列的性质1整数性例 16 已知.2121,naa)3(证明 数列 中的一切项都是整数.分析 递推关系是明显的，由递推关系26计算数列前面若干项：1，1，3，11，41，153，思考 1能否证明 ，思维受)2(12na阻.思考 2求数列 的通项 ，利(f用解析式研究 ，尝试遇到困难.)(f思考 3考察数列 前面若干项，虽无na明显规律，但如果能证明存在整数 使,qp对一切自然数 均成立，21nnqpa3则由递推观点可归纳证明 都是整数，)(n原问题就解决了.为何值呢？特殊化处理，可由,满足
18、.试1,3421aa 21nnqap探求出 .pq,解法 1 ：设 ，由)3(2n代入，,4321得 ,212qap解得 .,猜想 14nna对 是成立的.设,3时成立，即有)(kN27，由于214kka12kka1)(k 124k，12kak即 时，式也成立，故kn对一切 均成立.214a3n最后，再根据 为整数和21，由数学归纳法可以)(nn证明 对一切自然数 均为整数.我们还可以直接推出 的线性递推关na系.解法 2 ：将已知递推式变形，得 01-nna以 置换 ，得12nn-，得0122n1- naa将式变形，得28 121nna在式中，将 换为 3 得,2,， ，2131nna213
19、4a将这些式子相乘，得，213ann ，以下同解法 1. 14nna例 17 设 满足 ，n1a（ ）试证数列3221nn 的各项均为整数.a分析 直接利用递推关系证明各项均为整数，或先求通项均有困难，可改变思路，先考察数列的前几项：,0，1，4，15，虽无明显规律，但若证明各 间存在一个整系数线性递推关系，na则 各项必为整数，不妨设（ 为待定系数）.qp12np,29将 ， ， 代入，求出 .1a23 1,4qp下面设法证明 恒成立.为nna1此，将题设递推关系变形整理得 ，0)(4212nn又 ,0)(421nna这两式表明， 恰好是二次方程,0)(42112nnxa的两根，且 .这一点
20、可以通过证明的单调性解决.即，031 nnnn a由韦达定理， 对一切124a成立.N已知 为整数，利用这一线性递321,推关系，由数学归纳法可证所有 为整数na（略）.本题中将非线性递推关系转化为线性递推关系，使问题得以解决.2有界性，单调性例 18 已知数列 中， ，na2130，求证：（1） ；nna2si110na（2） ；（3） .)(4n分析 本题给出了递推关系，要证明数列有界性；单调性（递增） ；数列的某种特性.因此考虑如何利用数列的递推关系，应用数学归纳法进行证明.证（1） , 1n时，201a.),0(na设 ，则 .,k kkasi1 ， ，2,),0(故 为一切自然数时，都有 .n1,n（2） .12 24sisi aa设 ，则1ka，12inin kk 为一切自然数时，都有 ，即na
