1、- 1 -十、数列一、选择题1 （天津理 4）已知 na为等差数列，其公差为-2 ，且 7a是 3与 9的等比中项， nS为na的前 项和， *N，则 10S的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D2 （四川理 8）数列 na的首项为 3， nb为等差数列且 1(*)nnbaN若则3b， 102，则 8A0 B3 C8 D11【答案】B【解析】由已知知 1,2,nnba由叠加法213287 81()()()64024603a a3 （四川理 11）已知定义在 0,上的函数 ()fx满足 ()32)ffx，当 0,2时，2()fxx设 ()f在 2,n上的最大值为 *naN，且 n
2、的前 项和为nS，则limnA3 B52C2 D32【答案】D【解析】由题意1()()3fxfx,在 ,n上，21()1 331,(),2(),()()lim3 2nn nnfnffaSS4 （上海理 18）设 na是各项为正数的无穷数列， iA是边长为 1,ia的矩形面积（1,2i） ，则 A为等比数列的充要条件为A n是等比数列。 B 1321,na 或 242,na 是等比数列。- 2 -C 1321,na 和 242,na 均是等比数列。D 和 均是等比数列，且公比相同。【答案】D5 （全国大纲理 4）设 nS为等差数列 na的前 项和，若 1a，公差 2d，2kS，则 kA8 B7
3、C6 D5【答案】D6 （江西理 5） 已知数列 na的前 n 项和 nS满足： nmnS，且 1a=1那么 10=A1 B9 C10 D55【答案】A7 （福建理 10）已知函数 f（ x）=e+x ，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：ABC 一定是钝角三角形ABC 可能是直角三角形ABC 可能是等腰三角形ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A B C D【答案】B二、填空题8 （湖南理 12）设 nS是等差数列 na()N，的前 n项和，且 14,7a，则 9S= 【答案】259 （重庆理 11）在等差数列 na中， 37，则 2468a_【
4、答案】7410 （北京理 11）在等比数列an中，a1=12，a4=-4，则公比 q=_；12.naa_。2 【答案】111 （安徽理 14）已知 ABC的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 的面积为_.- 3 -【答案】 31512 （湖北理 13） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升。【答案】6713 （广东理 11）等差数列 na前 9 项的和等于前 4 项的和若 14,0ka，则k=_【答案】1014 （江苏 13）设 721
5、，其中 7531,a成公比为 q 的等比数列，642,a成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_【答案】 3三、解答题15 （江苏 20）设部分为正整数组成的集合，数列 1an的 首 项 ，前 n 项和为 nS，已知对任意整数 kM，当整数 )(2, kknSSkn时 都成立（1）设 52,1a求的值；（2）设 43n求 数 列 的通项公式本小题考查数列的通项与前 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分 16 分。解：（1）由题设知，当 112,2()nnSS时 ，即 1()()nnS，从而 12 2,()2.naaan又 故 当 时所以 5的值
6、为 8。（2）由题设知，当 3,4nknkkMSS且 时 ,1112nknknkSS且，两式相减得 111,nknknkaaaa即所以当 63368,n时 成等差数列，且 626,n也成等差数- 4 -列从而当 8n时， 362.nnnaa（*）且 6 2,8,na a 所 以 当 时 ，即 22313.9,nn n于 是 当 时 成等差数列，从而 31na，故由（*）式知 11, .nnnaa即当 9n时，设 .nd当 28,6m时 ，从而由（*）式知 6122mm故 713.ma从而 61132()()maa，于是 1.mad因此， 1nd对任意 2n都成立，又由 2(3,4)nkkSS可
7、知 34()(),96nknkkSSd故 且 ，解得 42173,.ada从 而因此，数列 n为等差数列，由 12.d知所以数列 a的通项公式为 na16 （安徽理 18）在数 1 和 100 之间插入 个实数，使得这 2个数构成递增的等比数列，将这 2n个数的乘积记作 nT，再令 ,lgnaT1 .（）求数列 的通项公式；（）设 1ta,nnbA求数列 nb的前 项和 nS.本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I）设 21,nll 构成等比数列，其中 ,10,21nt则2nttT- 5 -,1
8、21ttTnn 并利用 得),2(023 nini .1,2lg,10)( )(211212 nTatttt nn（II）由题意和（I）中计算结果，知 .),3tabn另一方面，利用,tan)1t()1ta(nkkk得.tant)1ta(k所以231t)1t(nkkn kbS.1tan)()tt23k17 （北京理 20）若数列 12,.()nnA满足 1(,2.1)nakn，数列 nA为 E数列，记 ()S=a（）写出一个满足 10sa，且 ()sSA0 的 E数列 n；（）若 12，n=2000，证明：E 数列 n是递增数列的充要条件是 na=2011；（）对任意给定的整数 n（n2） ，
9、是否存在首项为 0 的 E 数列 A，使得 S=0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 nA；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）（）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以 )19,2(1kak .所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于 a2000a10001，- 6 -a2000a10001a2a11所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999.又因为 a1=12，a20
10、00=2011,所以 a2000=a1+1999.故 nn Aka即),19,2(011 是递增数列.综上，结论得证。（）令 .1),(1 Akk cc 则因为 212 caa ,121nnc所以 132)()()()( ncncaAS ).()(1)(12 12 nncn因为 ., nkckk 为 偶 数所 以所以 )()()(*21 cc 为偶数,所以要使1,0ASn必 须 使为偶数,即 4 整除 *)(4),1( Nmn或亦 即 .当 ,1,0,* 2414 kkkaaAENmn的 项 满 足数 列时 4k),21(k时，有 ;0)(1nSa;)(,144 nkk Sa有时当 nAENm
11、n数 列时*)(的项满足， ,1,024314kkkaa当 )(,)(32m时或 不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An，使得 .0)(,1nASa18 （福建理 16） - 7 -已知等比数列an的公比 q=3，前 3 项和 S3=1。（I）求数列an的通项公式；（II）若函数 ()sin(2)0,)fxAp在 6x处取得最大值，且最大值为 a3，求函数 f（x）的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分 13 分。解：（I）由313(), ,aqS得解得 1.3a所以12.nn（II）由（I）可知23,.naa所 以因为函数 ()
12、fx的最大值为 3，所以 A=3。因为当 6时 ()f取得最大值，所以sin(21.又0,.6故所以函数 ()fx的解析式为()3sin(2)6fx19 （广东理 20） 设 b0,数列 na满足 a1=b，1(2)nnba（1）求数列 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，1.2nba- 8 -解：（1）由11 120, 0,.2nnnnbaabba知令1,nA，当 122,nnAb时 21211nb 221.nb当 时，12()2,()nnnbbA当2,.nb时 (),22,nnba（2）当 b时， （欲证11(2) 2,()nnnnbba只 需 证）111212()()()nnnn
13、n122211nnnnnbbb 12( )nnn 1)2n nbb，- 9 -1(2).nnba当1,.nn时综上所述1.2nba20 （湖北理 19）已知数列 n的前 项和为 nS，且满足： 1a(0)， 1nnarS(N*，,1)rR（）求数列 na的通项公式；（）若存在 kN*，使得 1kS， k， 2成等差数列，是判断：对于任意的 mN*，且2m， 1， m， 2是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。 （满分 13 分）解：（I）由已知 1,narS可得 21narS，两式相减可得211()na即 1,nr
14、又 21所以 r=0 时，数列 na为：a ，0，0，；当 ,r时，由已知 ,0na所 以 （ *N） ，于是由 21(),nnar可得21()nr，3, 成等比数列，当 时 ，2().nnra综上，数列 na的通项公式为21,()nra（II）对于任意的 *mN，且 12,m成等差数列，证明如下：- 10 -当 r=0 时，由（I）知，,102man对于任意的 *N，且 12,m成等差数列，当 0r， 1时，221,.kkkSaSa若存在 *N，使得 2成等差数列，则 12kk，21,kkSaSa即由（I）知， 23,m 的公比 r，于是对于任意的 *N，且 12,4,mma从 而122,m
15、maaa即 成等差数列，综上，对于任意的 *，且 12,m成等差数列。21 （辽宁理 17） 已知等差数列an满足 a2=0， a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列 12na的前 n 项和解：（I）设等差数列 na的公差为 d，由已知条件可得10,2ad解得1,.ad故数列 n的通项公式为 2.na 5 分（II）设数列 1nnS的 前 项 和 为，即211,naaS 故，12.4nnSaa- 11 -所以，当 1n时， 121112()4)2nnnnnSaa.n所以 1.2nS综上，数列 11.2nnaS的 前 项 和12 分22 （全国大纲理 20） 设数列 na满
16、足 10且 1.nna（）求 的通项公式；（）设11,1.nnn knbbS记 S证 明 ：解：（I）由题设 1,nna即1n是公差为 1 的等差数列。又 1,.na故所以.n（II）由（I）得- 12 -1,1nnabn， 8 分11()1.nkSbkn12 分23 （全国新课标理 17） 已知等比数列 na的各项均为正数，且21362,9aa（I）求数列 的通项公式（II）设 31323logllogn nbaa ，求数列nb的前 n 项和解：（）设数列an的公比为 q，由2369得324所以19q由条件可知 c0，故1由 123a得 123aq，所以 13a故数列an 的通项式为 an=
17、 n（ ） 31323nlogl.lognbaa(2.)故112()()nbn12 12.()().()31n nn- 13 -所以数列1nb的前 n 项和为2124 （山东理 20） 等比数列 na中， 123,a分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 123,a中的任何两个数不在下表的同一列第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18（）求数列 na的通项公式；（）若数列 b满足： (1)lnna，求数列 nb的前 n 项和 nS解：（I）当 13时，不合题意；当 12a时，当且仅当 236,8时，符合题意；当 0时，不合题意。因此 123,1,a所
18、以公式 q=3，故1.na（II）因为 ()lnnba11123()23l()lnn3,nn所以 21 22(3)(1)ln3)125(1)ln3,nnS 所以当 n 为偶数时，3l12nnS3l;2当 n 为奇数时，312(ln23)()ln31nS- 14 -13ln2.n综上所述， l,12nS为 偶 数3-l-n为 奇 数25 （上海理 22） 已知数列 na和 b的通项公式分别为 36na， 27nb（*nN） ，将集合 *|,|,nnxaxN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,c 。（1）求 234,c；（2）求证：在数列 n中但不在数列 nb中的项恰为 242,na ；（3
19、）求数列 c的通项公式。解： 12349,1,c； 任意 *nN，设 (2)6327n kanb，则 32kn，即2132nab 假设 2627nkb*132knN（矛盾） ， 2nab 在数列 c中但不在数列 n中的项恰为 42,na 。 32 21()3k kb ，165， 26ka， 67b kk 当 时，依次有 112234,cacb，- 15 - *63(4)52,17()nknkcN。26 （四川理 20） 设 d为非零实数，121*()()nnnnnaCdCdN（1）写出 123,并判断 n是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（II）设*()nbaN，求数列 nb的
20、前 n 项和 nS解析：（1） 223()ad013111 ()()nnnnnCdCdad因为 为常数，所以 na是以 d为首项， 1为公比的等比数列。（2）210212212 1()()3()() ()n nnbdSddd 123(1)()()()(nd （2） （1）222(1)1()nnnnSdddd()nS27 （天津理 20） 已知数列 na与 b满足： 123(1)0,2nnnnaba， *N，且12,4（）求 35,的值；- 16 -（）设*21,nncaN，证明： nc是等比数列；（III）设*242,kkSa证明：4*17()6kSNa本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等
21、基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.（I）解：由*3(1),2nnbN可得,n为 奇 数为 偶 数又 120,nnbaa312324435 ;5;.当 =时 ,+=由 ,可 得 a当 时 ,可 得当 时 ,可 得（II）证明：对任意*,nN21210naa,n2123n，得 2.na将代入，可得 1321()nna即*1()ncN又 3,0,na故 c因此1,nnc所 以是等比数列.（III）证明：由（II）可得 21()kka，于是，对任意 *kN且 ，有- 17 -1357231,(),(1).kkaa将以上各式相加，得 21
22、()(),ka即121()kk，此式当 k=1 时也成立.由式得12()3).kk从而 246842()(),k kkSaaa13.k所以，对任意*,2nN，44341112( )nkmmSSSaaa12( )3nm1( )(2)2nm2533(1)()nmn21()(2)n5113( )357(2)nn 1362(2)7.n对于 n=1，不等式显然成立.所以，对任意*,nN- 18 -2112nSSaa 321124()()()nSa2211()()()4(4(n221()()()4nnn.43n28 （浙江理 19）已知公差不为 0 的等差数列 na的首项 1为 a（ R）,设数列的前 n
23、 项和为 nS，且 1a， 2， 4成等比数列（1）求数列 n的通项公式及 nS（2）记 1231.nnAS， 2121.nBaa，当 时，试比较n与 B的大小本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分 14 分。（I）解：设等差数列 na的公差为 d，由214(),a得211()(3)add因为 0，所以 a所以 1(),.2nnS（II）解：因为12()nS，所以1231()n nAa因为 1na，所以- 19 -2112()21().nnn nBaaa当0,n nnCC时，即1,2n所以，当 0,;naAB时当 .时29 （重庆理 21） 设实
24、数数列 na的前 n 项和 nS，满足 )(*1NnSan（I）若 12,S成等比数列，求 2和 3；（II）求证：对 1430kka有（I）解：由题意22122,SSa得，由 S2 是等比中项知 220因 此由 233SaS解得32.1（II）证法一：由题设条件有 1,nnSaS故111, ,nnnSa且从而对 3k有 112112 11 .kkkk kk kaSaSaa - 20 -因2 221113()04kkkaaa且，由得 0ka要证43k，由只要证21,k即证22 2111(),()0.kkkaa即此式明显成立.因此4(3).k最后证 1.ka若不然21,kkka又因220,()0.kk k故 即矛盾.因此 1(3).ka证法二：由题设知 11nnnSaS，故方程20x有 根 和（可能相同）.因此判别式214.n又由2212121.nnnnnaSaSaS得 且因此222240,340()nnn即，解得 20.3na因此4().k由10(3)kkSa，得- 21 -111 22 211()()0.3()4kkkk kkkSSSaaaSS因此 1(3).ka
