1、椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计甘肃省张掖市实验中学 雒淑英一、教材及学情分析本节课是全日制普通高级中学教科书（必修）数学 （人民教育出版社中学数学室编著）第二册（上）第八章第一节椭圆及其标准方程第一课时。用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17 世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标
2、法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第七章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重
3、要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二、教学目标分析按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1知识与技能目标：理解椭圆的定义。掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2过程与方法目标：经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具
4、有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3情感态度价值观目标：充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应
5、用关键：含有两个根式的等式化简四、教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境学生实验意义建构形成理论知识应用回顾反思巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人五、教学过程设计（一）创设情境提出问题用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时
6、截面为椭圆形看来，椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆将细绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望（二）学生实验体验数学1学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆2展示学生成果3动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想4展示椭圆实际应用的幻灯片5导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的
7、品性几乎还一无所知数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？椭圆的标准方程这就是我们这节课的重点内容设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题（三）意义建构感知数学椭圆定义的初步生成学生每 2 人一组，合作探究，教师巡视指导请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离） （四）形成理论建立数学1椭圆定义的完善提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证
8、它足够严密、经得起推敲那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数 ”的限制。继续深化问题：若常数12F= 或常数 ,情况会发生什么变化？12F12F应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边” 、 “两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数= 时，与两个定点 的距离之和等于常数的点的轨迹是线段12 21,；当常数 时，与两个定点 的距离之和等于常数的点的轨迹不存在1212 21,F请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对
9、椭圆本质的认识，并逐 渐养成严谨 的科学作风2椭圆的标准方程(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性(2)建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程x建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？利用椭圆的对称性特征以直线 为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系设焦距为12F12Fy，则 设 为椭圆上任意一点，点 与点 的距离之20c2,0,c,MxyM12F、和为 a动点 满足的几何约束条件: M12Fa坐标化： 22xcyxcy化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项
10、后两次平方法222222222242222 41xcyxcyaaxcyaxcycxaacxxyac-10 -5 5 108642-2-4-6-8F2F1A1 A2B2B1OM分析 的几何含义，令2ac22acb得到焦点在 轴上的椭圆的标准方程为x 210xyab预案二：用等差数列法：设 ）（ ）（tycxa2得 4cx=4at，即 t=2 cx将 t= 代入 式得aacxycx2）（将式两边平方得出结论。以下同预案一预案三：三角换元法：设 ）（ ）（22cosinaycx得2 44i4即 即22cossncsincax代入 式得acxa2siny2）（ 2222axccx以下同预案一设计意图：
11、进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的 简洁美、对称美(3)建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程y要建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在 轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在 轴上的椭圆的标x y准方程只需将图(1)沿直线 翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转yx即可转化成图(2)，需将 轴、 轴的名称换为 轴、 轴或 轴、 轴90 xx（1） （2）焦点在 轴上的椭圆的标准方程为y 210yxab设计意
12、图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在 轴、 轴上的椭圆的标准方程的异同点xy区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较 与 项分母的大小即可若2xy项分母大，则焦点在 轴上；若 项分母大，则焦点在 轴上反之亦然2x 2联系：它们都是二元二次方程，共同形式为 210,AxByAB两种情况中都有 22acb（五）数学应用巩固新知例 1：判断分别满足下列条件的动点 M 的轨迹是否为椭圆（1）到点 和点 的距离之和为 6 的点的轨迹；（是）12,0F2,0（2）到点 和点 的距离之和为 4 的点的轨迹；（不是）（3）到点 和点 的距离之和为 6 的点的轨迹；（是）1,2,
13、（4）到点 和点 的距离之和为 4 的点的轨迹；（不是）0F探究一：已知椭圆的方程为： 10362yx，则a_，b_，c_， 焦点坐标为：_ 、_，焦距等于_。如果曲线上一点 P 到焦点 F1 的距离为 8，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离等于_。设计意图：巩固椭圆定义例 2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点12,01,F、M 到 的距离之和为 4，求该椭圆的标准方程1F、 221343acbacxy解 ：椭 圆 的 标 准 方 程 为设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一120,1F、点 M 到 的距离之和为 4，求该椭圆的
14、标准方程12F、 224133acbacyx解 ：椭 圆 的 标 准 方 程 为设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程变式二：已知椭圆的两个焦点分别是 ，椭圆经过点12,01,F、，求该椭圆的标准方程31,2M2 221235314134aFMacbacxy解 ：椭 圆 的 标 准 方 程 为设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用（六）回顾反思归纳提炼1一个知识点：椭圆的定义及其标准方程2两种数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程3三种数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想设计意图：在总结时采用“一个知识点、两种方法、三种思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。（七）课后作业，巩固提高1必做题：课本 106 页习题 81 1(2)，2，3（1） ， （2）2思考题：(1)在化简椭圆方程的过程中有 成立，该式有什么2cxcyax 几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？设计意图：为引入椭圆焦半径公式作适当铺垫，为学习椭圆的几何性质做铺垫，也体 现数学知识之间的 联 系，培养学生养成深入思考的习惯
