等差数列等比数列常见结论.doc

1、等差数列等比数列常见结论一、等差数列常见结论1， 判断给定的数列 是等差数列的方法na（1） 定义法： 是常数 数列 是等差数列；1d*()nNna（2） 通项公式法： 数列 是等差数列；,nkb是 常 数（3） 前 n 项和法：数列 的前 n 项和数列 是等差数列；22(, 0)ABBS是 常 数 ,An（4） 等差中项法： 数列 是等差数列；*1(nnaa2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式：；*(),)nmadN*,)madN3， 若 A 是 a 与 b 的等差中项 2Ab4， 若数列 ， 都是等差数列且项数相同，则n都是等差数列；,nnkpaq5， 等差数列 中，若项数成等差数列

2、，则对应的项也成等差数列；6， 等差数列 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；na7， 若数列 是等差数列，且项数 满足 ， *,(,)mpnqNmnpq则 ，反之也成立；当 时， ，即mnpq2mnpa的等差中项；p是 和8， 若数列 是等差数列的充要条件是前 n 项和公式 ，是 n 的二na ()nSf次函数或一次函数且不含常数项，即；22(, 0)nABBS是 常 数 ,A9， 若数列 的前 n 项和 ，则数列n (,)nCs是 常 数 ,0从第二项起是等差数列；a10， 若数列 是等差数列，前 n 项和为 ，则 也是等差数列，其首项n nSn和 的首项相同，公差是 公差的

3、；a1211， 若数列 ， 都是等差数列，其前 n 项和分别为 ，则 ；nab ,nST21naSb12， 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 ；若四个,xd数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 ；3313， 等差数列 的前 n 项和为 ，且 分别为数列 的nanS24,mmSna前 m 项,2m 项,3m 项,4m 项,的和，则 成等232,mS差数列（等差数列的片段和性质） ；14， 等差数列 中，若项数 n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为n，则 ；若项数 n 为偶数， ；S奇 偶， 1Sn奇偶 21naS奇偶15， 在等差数列 中，若公差 ，则等差数列 为递增数列；若

4、公差na0dn，则等差数列 为递减数列；若公差 ，则等差数列 为常0dn 0dna数列；16， 有关等差数列 的前 n 项和为 的最值问题：nS（1） 何时存在最大值和最小值 若 ，则前 n 项和为 存在最大值10,ad 若 ，则前 n 项和为 存在最小值n（2） 如何求最值 方法一：（任何数列都通用）通过 解出 n 可求前 n 项和为10na的最大值；通过 解出 n 可求前 n 项和为 的最小值； nS10nanS 方法二：利用等差数列前 n 项和 的表达式为关于 n 的二次函数且常S数项为 0（若为一次函数，数列为常数列，则前 n 项和 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以

5、下三种可能：若对称轴 n 正好取得正整数，则此时 n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则 n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则 n 就取靠近对称轴的那个正整数； 利用等差数列的相关性质求解16，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于 这五个量，1,naSd知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”二、 等比数列常见结论1，对等比数列定义的理解（1） 是从第二项开始，每一项与前一项的比（2） 每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为 0（3） 等比数列中任何一项都不为 0（

6、4） 符号语言的描述：若数列 中满足 （不为 0 的常数） ，则数na1nq列 为等比数列；na2，当且仅当两个数 a 和 b 同号是才存在等比中项，且等比中项为 Gab3，若 成等比数列，则,Gb2G4，判断给定的数列 是等比数列的方法n（1）定义法： （不为 0 的常数） 数列 为等比数列；1qa na（2）中项法： 数列 为等比数列；21nnana（3） 前 n 项和法：数列 的前 n 项和 （A 是常数，=-qnS） 数列 为等比数列；0,Aq5， 等比数列通项公式的推广：若 为等比数列，则n *(,)nmaN6，若数列 是等比数列，且项数 满足 ，na *,(,)mpNpq则 ，反之

7、也成立；当 时， ，即 的等比mpqq2mnppna是 和中项；7，等比数列 中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；n8，等比数列 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；a9，若数列 ， 都是等比数列且项数相同，则nb都是等比数列；2(0),nnakA，10， 若等比数列 的公比 为参数，则在求前 n 项和 时应分 两qnS1q和 种情况讨论，即 ；当 时11()()nnnSaq1(1),0,naSAqA11， 若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为 ；,xq12， （等比数列的片段和性质）公比不为 的等比数列 前 n 项和为 ，则1anS成等比数列；232,nnnSS13

8、， 用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于 这五个量，知1,nSq任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二” ；三、等差与等比数列1，若正项数列 为等比数列，则数列 为等差数列；nalogan2，若数列 为等差数列，则数列 为等比数列；nb3，任意两数 都存在等差中项为 ，但不一定都存在等比中项，当且仅当,b2同号时才存在等比中项为 ；,aa4，任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；四、例题分析1， （10 年全国理科 4）如果等差数列 na中， 34512a，那么27.a（ ） A，14 B，21 C，28 D，35【命题意图】本试题主

9、要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】 17345441274()12, 282aaaa【答案】C2， （09 年宁夏海南理科 16）等差数列 前 n 项和为 。已知 + - =0，nS1m2ma=38,则 m=_21mS【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】由 + - =01ma2m得到 。122210, 13810mmaSa又【答案】103， （11 年广东理 11）等差数列 前 9 项的和等于前 4 项的和若 ，na1a，则 _ 40kak【解析】方法 1：由 得 ，求得 ，则94S364d6d，解得41()()06ka10k方法 2：由 得 ，即 ， ，即945

10、789aa75a70，即 【答案】10w104701k4， （11 年湖南卷理 12）设 是等差数列 的前 项和，且nS*()naNn，则14,a5_【命题意图】考查等差数列的通项公式的应用及等差数列求和【解析】由 可得 ，所以 。14,7a1,21nda5(19)25S【答案】25w.w.k.s.5.u.c.o.m 5，(2010 年全国理 4)已知各项均为正数的等比数列 na，123a=5， 789a=10，则 456a=（ ）A， 52 B，7 C， 6 D， 4【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等

11、比数列的性质知 312312()5aaA，378978()aaA10,所以 850,所以1336456452()(a【答案】A6，(2008 宁夏，海南理科 17) 已知数列 是一个等差数列，且 ，na21a。5a（1） 求 的通项 ；（2）求 前 n 项和 的最大值。nn S【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和等差数列前 n 项和 最值的求法，nS着重考查方程思想和二次函数最值问题；【解析】 （）设 的公差为 ，由已知条件， ，解出 ，nad145ad13a2d所以 1()25na（） 4nSdn2()所以 时， 取到最大值 2n7，已 知 数列 是等差数列，且首项 ， ，求前 n 项和

12、 何时取a10a912SnS最小值【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前 n 项和 最值的求法n【解析】方法一：因为 ，所以912S1119820,02adadad即1()0()n nnad前 n 项和 取最小值*2,Nn当 且 即 或 时 ， nS方法二：因为 ，所以 ，即912S10121100,aad且前 n 项和 取最小值10n或 n方法三：因为 ，所以 的对称轴为 ，开口向上，且 ，912S2n前 n 项和 取最小值*2,0N当 且 即 或 时 ， S8，已 知 等差数列 前 n 项和为 30，前 n 项和为 100，则前 3n 项和为_a【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前

13、n 项和 的公式及整体代换思想nS【解析】方法一：（特殊值法）设 ,则1，则前 3n 项和1212230,07=40Saad公 差74方法二：利用等差数列前 n 项和 和整体代换思想求解1()2nSa设前 n 项和为 ，前 2n 项和为 ，所以30nS201 1()=(3)2 710adnadn 两 式 相 减 得所以 311(3)()2102nnSad方法三：利用等差数列的片段和性质因为 为等差数列，所以 成等差数列，所以n 232,nnnSS332(10)10n方法四：利用等差数列前 n 项和 求解，体22(, 0)nABB是 常 数 ,A现整体代换思想因为 ，2 2307041nABnn

14、S 两 式 相 减 得 3所以 223()10n =9方法五：利用等差数列中 成等差数列求解nS因为 为等差数列，na所以 2323310, =+=210nnnnSSS成 等 差 数 列 ， 即 即9， （2010 重庆理 1）在等比数列 na中， 2012078a ，则公比 q 的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【命题意图】考查等比数列通项公式或者等比数列通项公式的推广 *(,)nmaqN【解析】由 832071 2q【答案】A10， （2010 福建理 11）在等比数列 na中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 na 【命题意图】本题考查等比

15、数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。【解析】由题意知 11462，解得 1a，所以通项 na-14。 【答案】n-1411， （2009 全国卷理） 设等差数列 n的前 项和为 nS，若 972,则249a= 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。【解析】 na是等差数列,由 972S,得 59,Sa82492945645()()3aa. 【答案】 2412， （2009 辽宁卷理）设等比数列 n的前 n 项和为 nS ，若 63S=3 ，则 69S= （ ）() A, 2 B, 73 C,8 D,3【命题意图】本题考查等比数列的前 n 项和公

16、式的应用【解析】设公比为 q ,则363(1)Sq1q 33 q 32于是 6693247. 【答案】B13， （2010 浙江理 3）设 nS为等比数列 na的前 项和， 2580a，则 52S（ ）A，11 B，5 C， 8 D， 1【命题意图】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，属中档题【解析】通过 2580a，设公比为 q，将该式转化为 0832qa，解得q=-2，带入所求式可知 【 答案】选 D，14，(2011 年天津卷理科 4)已知 na为等差数列，其公差为-2，且 7是 3与9a的等比中项， nS为 的前 n 项和, *N,则 10S的值为（ ）A

17、-110 B-90 C90 D110【命题意图】本题考查了等差、等比数列的性质、通项公式以及等差数列的前n 项和公式【解析】 ， ，解之得 ，2,9327da )16(4)1(12aa 201a .【答案】D.0)(1010s15，(2011 年高考重庆卷理科 11)在等差数列 na中， 37a，则2468aa【命题意图】本题考查等差数列的通项公式【解析】 284637a，故 24682374aa五、反馈练习1， （2010 重庆文 2）在等差数列 n中， 190，则 5的值为（ ）A，5 B，6 C，8 D，102，(2009 安徽卷文）已知 为等差数列， ，则 等于（ ）A， B，1 C，

18、 3 D，7-3， （2009 江西卷文）公差不为零的等差数列 na的前 项和为 nS.若 4a是7a与的等比中项, 832S,则 10等于 （ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4， （2009 安徽卷理）已知 na为等差数列， 1+ 3+ 5=105， 246=99，以 nS表示 n的前 项和，则使得 nS达到最大值的 是（ ） （ A，21 B，20 C，19 D，18 5， （2009 湖南卷文）设 nS是等差数列 n的前 n 项和，已知 23a， 61，则 7S等于( )A13 B35 C49 D 63 6， （2009 福建卷理）等差数列 na的前 n 项和为 n

19、S，且 3 =6， 1a=4， 则公差d 等于（ ）A1 B 53 C.- 2 D 37， （2009 厦门一中模拟文）在等差数列 na中， 84a,则 其前 9 项的和S9等于（ ） A18 B 27 C 36 D 98， （2009 福建卷理）等差数列 n的前 n 项和为 nS，且 3 =6， 1=4， 则公差d 等于（ ）A1 B 53 C.- 2 D 39， （2009 辽宁卷文）已知 na为等差数列，且 7a2 41, 3a0,则公差d（ ）A.2 B. 12 C. 1 D.210， （2009 四川卷文）等差数列 n的公差不为零，首项 11， 2是 1和5a的等比中项，则数列的前

20、10 项之和是（ ）A. 90 B. 100 C. 145 D. 19011， （2008 天津）若等差数列 na的前 5 项和 52S，且 23a，则 7( )A.12 B.13 C.14 D.1512， （2008 陕西）已知 n是等差数列， 124a， 78，则该数列前10 项和 10S等于（ ）A64 B100 C110 D12013， （2008 广东）记等差数列 na的前 项和为 nS，若 12， 40S，则6（ ）A16 B24 C36 D4814， （2008 浙江）已知 n是等比数列， 425a， ，则1321aa=（ ） A.16（ n1） B.6（n） C. （ n4）

21、D. 32（ n）15， （2008 四川）已知等比数列 na中 21，则其前 3 项的和 3S的取值范围是( ) A ,1 B.,01,C.3, D. 316， （2007 安徽）等差数列 na的前 项和为 xS若 则 42,Sa（ ）A12 B10 C8 D617， （2007 辽宁）设等差数列 n的前 项和为 n，若 39， ，则789a（ ）A63 B45 C36 D2718，(2007 湖南) 在等比数列 na（ N*）中，若 1a， 48，则该数列的前 10 项和为（ ）A 412 B 2 C 102 D 1219， （2009 全国卷理）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 5

22、3a则 95S . 20， （2010 辽宁文 14）设 nS为等差数列 na的前 项和，若 3624S， ，则9a。21， （山东省潍坊市 2008 年高三教学质量检测） 设等差数列 na的前 n 项和为nS，若 61420，则 =_19S22， （11 年北京海淀区二模）已知数列 na满足，设数列 的前 n项和的最大值为 ，*1,20(,)nattNn()ft则 _()f23， （11 年江苏徐州 4 月月考）设等差数列 前 n 项和分别为 ，且,nab,nST对任意的自然数 都有 ，则 的值等于n23nST935784_24，在等比数列 na中， 则 =_26,a1025， （10 年山

23、东青岛模拟）已知等比数列 na中，前 n 项和为 ，136nSx则 _x26，(2007 全国 I) 等比数列 n的前 项和为 nS，已知 1， 2， 3成等差数列，则 na的公比为 27， （2007 江西）已知等差数列 na的前 项和为 n，若 12，则258128，已知等差数列 na中， ，则这个数列前 n 项和 何时取最大15130,SnS值？29， （2009 全国卷文） （本小题满分 10 分）已知等差数列 na中，,0,166473aa求 n前 n 项和 nS30， （2010 浙江文 19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 ，公差为1d 的等差数列 n的前

24、n 项和为 ，满足 56+15=0。 （）若 5S=5，求 6及 ；n 1a（）求 d 的取值范围。31， （2010 北京文 16） （本小题共 13 分）已知 na为等差数列，且 3，60a。（）求 n的通项公式；（）若等比数列 满足 18b，n2123b，求 的前 n 项和公式nbS32，(2011 年高考福建卷理科 16)（本小题满分 13 分）已知等比数列a n的公比 q=3，前 3 项和 S3=1（I ）求数列a n的通项公式；（II）若函数 ()sin(2)0,)fxAp在 6x处取得最大值，且最大值为 ，求函数 的解析式。0030333333afx3 【参考答案】 【1】A 【2】B 【3】C 【4】B 【5】C 【6】C 【7】A 【8】C【9】B 【10】B 【11】B 【12】B 【13】D 【14】C 【15】D 【16】 B 【17】B【18】B【19】9【20】 15 【21】190 【22】 【23】2(1)4)tft是 奇 数是 偶 数 194【24】32【25】 【26】 13【27】7【28】当 时前 n 项和 取最大值29nS【29】 89819n nSnS， 或【30】 （） （）61,a22d或【31】 （） 0()1n（） 1()4(3)nnnbqS【32】 （I） 123.nna（II） ()fx的解析式为 ()si()6fx