1、1二、整除问题（一）整除性质如果整数 a 除以整数 b（不为 0） ，除得的商正好是整数，那么就称整数 a 能被整数 b整除，或者称整数 b 能整除整数 a，并称整数 a 是整数 b 的倍数，整数 b 是整数 a 的约数。1数字整除的特性在数学运算试题中，通常需要考生分析某一数值能否被常见数值整除，因此，我们只有熟悉能被常见数值整除的数字的基本特征，才能快速应用到试题的解答中。表 2 能被常见数值整除的数字的基本特征分类 常见数值 数字特征 举例2 末位数字是 0、2、4、6、8 的整数 12、46 均能被 2 整除5 末位数字是 0、5 的整数 60、95 均能被 5 整除4（或25） 末两
2、位数是 4（或 25）的倍数124 的末两位数为 24，能被 4 整除，故124 能被 4 整除分析末一位数或者末几位数8（或125） 末三位数是 8（或 125）的倍数7625 的末三位数为 625，能被 125 整除，故 7625 能被 125 整除分析各位数字之和 3（或 9） 各位数字之和是 3（或 9）的倍数7916091 的各位数值之和为 7+9+1+6+ 0+9+1=33，33 是 3 的倍数，不是 9 的倍数，故 7916091 能被 3 整除，不能被 9 整除分析两部分数字的差值 11奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是 11 的倍数17970205 奇数位数字之
3、和为1+9+0+0=10，偶数位为 7+7+2+5=21，而21-10=11，11 能被 11 整除，所以17970205 能被 11 整除分析两部分数字组成的数的差值7（11 或13）一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）是 7（11 或 13）的倍数1059282 分为 1059 和 282 两个数，由于1059-282=777，777 能被 7 和 11 整除，不能被 13 整除，故 1059282 能被 7 和 11 整除，不能被 13 整除在这些整除特点中，3（或 9）的整除特点是行测考试中最常考的，7（11 或 13）和8（或 125）的整除特点较难掌握，考查
4、的可能性较小，但并不意味着不出现，其中对 7 的整除特性的考查就出现在 2010 年的试题中。此外，以上给出了能被 11 整除的数字的两种特征，这两个特征都可以用来判断一个数是否能被 11 整除。2整除的扩展特征性质 1：如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被数 c 整除；性质 2：如果数 a 能被数 b 整除，数 b 又能被数 c 整除，那么数 a 也能被数 c 整除；性质 3：如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么数 a 也能被数 b 或数 c 整除；性质 4：如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么数 a 一定能
5、被数 b 与数 c 的乘积整除；2性质 5：如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除（ m0） ；性质 6：如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除；【经典例题】例 1：（2010北京应届）有大、中、小三种文件夹，大文件夹里装的文件数是小文件夹的 5 倍，比中文件夹多 100 件，小文件夹里装的文件数是中文件夹的三分之一，三种文件夹共装了多少件文件？A300 B420 C450 D550【答案】C【解析一】根据题意可知，大文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的 5 倍，中文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的 3 倍，故大、中、小
6、三个文件夹里的文件数必能被5+3+1=9 整除，分析选项，显然只有 C 项符合。【解析二】根据题意，设小文件夹里的文件数为 x 件，则大文件夹里的文件数为 5x 件，中文件夹里的文件数为 3x 件，则有 5x-3x=100，解得 x=50，故三种文件夹共装了50（5+3+1 ） =450 件文件。例 2：（2009国考）甲乙共有图书 260 本，其中甲有专业书 13%，乙有专业书 12.5%，那么甲的非专业书有多少本?A75 B87 C174 D67【答案】B【解析】根据题意，由于“甲有专业书 13%”，故甲拥有的图书的数量必为 100 或者200（13 为质数，且总数目为 260） ，则此时
7、乙拥有的图书的数量只能为 160 或者 60。由于“乙有专业书 12.5%（ ） ”，这就意味着乙拥有的图书的数量必能被 8 整除，故乙只能拥18有 160 本图书。此时甲的非专业书为（260-160 ） （1-13% ）=87 本。例 3：（2009浙江）甲、乙两个工程队，甲队的人数是乙队的 70%。根据工程需要，现从乙队抽出 40 人到甲队，此时乙队比甲队多 136 人，则甲队原有人数是：A504 人 B620 人 C630 人 D720 人【答案】A【解析一】由于“甲队的人数是乙队的 70%”，故甲队原有人数必能被 7 整除，排除B、D 项；且乙队原有人数必能被 10 整除，故乙队人数的
8、尾数必为 0。根据“现从乙队抽出 40 人到甲队”可知，此时甲队人数的尾数与原有人数的尾数相同，由于“此时乙队比甲队多 136 人”可知，甲队人数的尾数为 0-6 的尾数，即为 4，分析选项，显然只有 A 项符合。【解析二】根据题意，设甲队原有 x 人，乙队有 y 人，则有 ，解70%4136xy得 x=504。【名师点睛】在解答试题时，可结合其他运算技巧，如尾数法、归纳法等等，从而提高解题速度。例 4：（2010上半年联考）n 为 100 以内的自然数，那么能令 2n-1 被 7 整除的 n 有多少个？A32 B33 C34 D35【答案】C3【解析】由于 n 为 100 以内的自然数，当
9、n=0 时，2 n-1=0，能被 7 整除；当 n=1 时，2n-1=1，被 7 除余 1；当 n=2 时，2 n-1=3，被 7 除余 3；当 n=3 时，2 n-1=7，能被 7 整除；当 n=4 时，2 n-1=15，被 7 除余 1，当 n=5 时，2 n-1=31，被 7 除余 3以此类推，当 n 取3 的倍数时（除去 0） ，能被 7 整除，由于 1013=332，则这样的 n 值有 33+1=34 个。【名师点睛】在解答整除问题时，通常会用到以下几点：（1）如果 A 是 B 的 n 倍，则（A+B）能被（n+1）整除， （A-B）能被（n-1 ）整除；如果 A 比 B 多 n 倍
10、，则（A +B）能被（n+2）整除；（2）如果 A、B 均为整数，a 与 b 互质，且有 A=B ，则 A 一定能被 a 整除，B 一ab定能被 b 整除；例 5：（2010北京下半年）将大米 300 袋、面粉 210 袋、食用盐 163 袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是 1:3:2，则该村有多少户村民？A7 B9 C13 D23【答案】D【解析一】由于余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是 1:3:2 且都为整袋，因此余下的大米、面粉和食用盐的总袋数为 6 的倍数，因此三项物资的总数除以村民户数所得余数是 6 的倍数，代入选项验证，
11、只有 D 符合条件。【解析二】根据题意，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是 1:3:2，故余下的大米和食用盐的袋数和面粉的袋数相同，则有大米和食用盐的袋数减去面粉的袋数，即300+163- 210=253 必能被村民的户数整除，分析选项，显然只有 D 项符合。【名师点睛】假设整数 A 除以整数 C 的余数为 a，整数 B 除以整数 C 的余数为 b，则（A-a） -（B-b ）必能被整数 C 整除；如果 a=b，则（A-B）必能被整数 C 整除。（二）奇数与偶数根据能否被 2 整除，可将整数分为奇数和偶数两大类，其中能被 2 整除的数叫做偶数，用 2k（k 为整数）表示；不能被 2 整除的数
12、叫做奇数，用 2k+1 表示。因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。在行测考试数学运算部分，常用到的奇数与偶数的性质有以下几个：（1）当两个数字相加减，且数字的奇偶性相同时，得到的和值或者差值为偶数，反之，则为奇数； 如：奇数奇数=偶数；奇数偶数=奇数；偶数偶数=偶数。（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数；（3）在整数的加减运算中，偶数的个数不改变结果的奇偶性，奇数的个数将会影响结果的奇偶性；如：奇数+偶数+ 偶数+偶数-奇数=偶数；奇数+ 偶数+偶数+ 偶数- 奇数+奇数=奇数。即：当奇数的个数为奇数个时，加减运算后得到的结果为奇数，当奇数的个数为偶数个时，加减运算
13、后得到的结果为偶数。（4）在整数的乘法运算中，若乘数全部为奇数时，得到的结果为奇数，若乘数有一个或多个偶数时，得到的结果就为偶数；如：奇数奇数= 奇数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=偶数；奇数 奇数奇数4奇数偶数=偶数。（5）多次方运算后（指数为正整数） ，不影响数值的奇偶性。【经典例题】例 1：（2008国考）若 x、y、z 是三个连续的负整数，并且 xyz，则下列表达式是正奇数的是：Ayz-x B （x- y） （y -z） Cx -yz Dx（y+z）【答案】B【解析】根据题意，由于 x、y、z 是三个连续的负整数，并且 xyz，因此 x、y、z的奇偶性有两种可能：（1）x、y、z 为奇数、
14、偶数、奇数，那么根据数字的奇偶性质，可排除 C 项；（2）x 、y、z 为偶数、奇数、偶数，那么根据数字的奇偶性质，可排除 A、D两项。从而得到答案选 B。【名师点睛】由于 x、y 、z 是三个连续的负整数，且连续两个整数的差必为 1 或者-1，同时 xyz，故 x-y=y-z=1。例 2：（2007浙江）同时扔出 A、B 两颗骰子（其六个面上的数字都为1，2，3，4，5，6） ，问两颗骰子出现的数字的积为偶数的情形有几种？A27 种 B24 种 C32 种 D54 种【答案】A【解析】根据奇数与偶数的乘法运算性质，要使得两颗骰子出现的数字的积为偶数，可分为两种情况：（1）A 出现的数字为奇数
15、且 B 出现的数字为偶数，A 出现奇数的可能性为 3 种，而 B 出现偶数的可能性亦有 3 种，所以积为偶数的有 33=9 种；（2）A 出现的数字为偶数，有 3 种可能性，则此时 B 出现任意数都满足条件，共有 6 种情况，所以积为偶数的有 36=18 种。从而有积为偶数的情形共有 9+18=27 种。（三）质数与合数如果一个大于 1 的正整数，除了 1 和它本身，不再有别的约数，那么这个正整数就被称为质数，或者素数。如果一个正整数除了 1 和它本身，还有其他的约数，那么这个正整数被称为合数。在行测考试数量关系部分，常用到的数字质合性有以下几点：（1）0 和 1 既不是质数，也不是合数；（2
16、）在自然数的范围内，最小的质数是 2，2 也是唯一的偶质数，最小的合数是 4。在近几年，经常会考查考生对 100 以内的中质数和大质数的敏感程度，因此考生需要记住 100 以内的 25 个质数，并保持足够的敏感度，为了便于考生记忆，我们将这 25 个质数分类列于下表中。表 3 100 以内质数表范围 质数10 以内（小质数） 2，3，5，71050（中质数） 11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，4750100（大质数） 53，59，61，67，71，73，79，83，89，97【经典例题】例 1：（2008河北）自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数
17、字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？A4 B6 C8 D125【答案】A【解析】根据题意，由于N的个位数与十位数均是质数，故组成N 的数字只能是2、3、5、7，由这四个数字组成的两位数为质数的有23、37、53、73，共4个。例 2：（2008云南）有 7 个不同的质数，它们的和是 58，其中最小的质数是多少？A2 B3 C5 D7 【答案】A【解析】根据题意可知，7个不同的质数的和为58，是偶数，依据数字的奇偶性可知，如果7个质数均为奇数，则它们的和应为奇数，这与题意矛盾，故这7个质数中必含有偶数。质数中唯一的偶数为2，且2是最小的质数，因此，这7个质数中最小的质数为2。【名师点睛】
18、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数。（四）公约数与公倍数如果一个自然数 a 能被自然数 b（b0）整除，则称自然数 a 为自然数 b 的倍数，自然数 b 为自然数 a 的约数。几个自然数公有的约数，称为这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。几个自然数公有的倍数，称为这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。在求解几个自然数的最大公约数时，通常采用短除法求解，即先用共同的因数连续去除，直到所得到的商互质为止，然后把所有的因数连乘起来就得到这几个数的最大公约数；求解几个自然数的最小公倍数时，可先将这几个自然数分解质因数，然后将
19、所有的质因数相乘（相同的质因数只需乘一次即可） ，得到的数值即为这几个数的最小公倍数。在求解最大公约数或者最小公倍数时，考生需要注意以下几点：（1）两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积，这就是说，求两个数的最小公倍数时，可以先求出两个数的最大公约数，再用这两个数的最大公约数去除这两个数的积，所得的商就是这两个数的最小公倍数；（2）两个数的最小公倍数和最大公约数的和或差也是最大公约数的整数倍；（3）互为质数的几个数的最大公约数是 1。【经典例题】例 1：（2008国考）甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5 天去一次，乙每隔 11 天去一次，丙每隔 17 天去一次，丁每隔
20、 29 天去一次。如果 5 月 18 日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？A10 月 18 日 B10 月 14 日 C11 月 18 日 D11 月 14 日【思路点拨】“每隔n天去一次”意味着“每n+1天去一次”，要使得四人相遇，题目转化为求解5+1=6，11+1=12，17+1=18，29+1=30 的最小公倍数的问题。【答案】D【解析】由于6、12、18、30的最小公倍数为180，即180天后四个人会在图书馆再次相遇。180天大概为六个月左右，可排除A 、B两项；由于5月、7月、8月、10月有31天，故四人相遇的日期必在11月18日之前（实际上在11月14日
21、），排除C项。从而可得答案选D。例 2：已知自然数 A、B 满足以下两个条件：（1）A、B 不互质；（2）A、B 的最大公约数与最小公倍数之和为 35。那么 A+B 的最小值是多少？A20 B25 C30 D35【答案】B6【解析】由于A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数，且A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，故35必然是两数最大公约数的倍数。由于35=157，且A、B不互质，则A、B的最大公约数可能是5或7。如果A、B 的最大公约数是5，则最小公倍数是35-5=30，由于两数不互质，故有A=10、B=15或A=5、B=30；如果A、B的最大公约数是7，则最小公倍数是35-7=2
22、8，此时有A=7、B=28。所以A+B 的最小值为10+15=25。三、余数问题（一）余数的概念与性质对任意整数 a、b，b0，存在唯一的整数 q、r，使 a=bq+r，其中 0rb，此时称为带余除法定理，其中称 r 为被除数 a 对除数 b 的余数。在近几年的行测考试中，对余数的考查通常有以下几点：（1）被除数不一定小于除数，但余数一定小于除数；（2）在解题时会融合其他数字性质，如整除特性等，从而提高解题的速度。【经典例题】例 1：（2007北京）一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是 8。问：被除数、除数、商以及余数之和是多少？A98 B107 C114 D125【答案】D【解析】
23、根据题意可知，被除数为两位数，除数为一位数，余数为 8，由于余数一定小于除数，故除数只能为 9；商值为两位数，若为 11，则被除数为 119+8100，不符合题意，故商值只能为 10，此时被除数为 109+8=98，符合题意。从而有被除数、除数、商以及余数之和为 98+9+10+8=125。例 2：（2010浙江）某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少 61 人，男会员的人数比女会员的 3 倍多 2 人，问该俱乐部共有会员多少人？A475 B478 C480 D482【答案】D【解析一】由于“女会员的人数比男会员的一半少 61 人” ，即该俱乐部的会员人数加上 61 是 3 的倍数，即能被 3
24、 整除；由于 61 除以 3 余 1，故俱乐部的人数除以 3 余 2，分析选项，只有 D 项符合。【解析二】根据题意，设俱乐部中女会员有 x 人，男会员有 y 人，则有 ，1632xy解得 x=120，故该俱乐部共有会员 120+1203+2 人，根据首尾数法可知，该值的尾数为0+03+2 的尾数，即为 2。【名师点睛】一个数能被 3 整除，则这个数的各个数字之和能被 3 整除；一个数除以3 的余数等于这个数各个数字之和除以 3 的余数。（二）同余的概念与性质假设 m 是一个给定的大于 1 的正整数，如果两个整数 a、b 用 m 除所得的余数相同，则称 a、b 对模 m 同余。如 510 和
25、288 这两个数，被 37 除所得的余数相同，那么称 510 和288 对于模 37 同余。在行测考试中，常用到的同余的性质有以下几点：7表 4 常用同余性质性质 表 述 举 例自反性 任何整数都和自己同余 131 和 131 对任何整数（除 0）同余对称性 甲、乙两个整数，如果甲和乙同余，那么乙和甲也同余 284 和 356 对 2 同余，则 356 和 284 对 2 同余传递性 甲、乙、丙三个整数，如甲和乙同余，乙和丙同余，那么甲和丙一定同余 31 和 55 对 6 同余，55 和 127 对 6 同余，则31 和 127 对 6 同余可加性 甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲与丙的和与乙与
26、丁的和一定同余 57 和 122 对 5 同余，76 和 131 对 5 同余，则57+76=133 和 122+131=253 对 5 同余可减性 甲和乙同余，丙和丁同余，甲与丙的差和乙与丁的差一定同余 57 和 122 对 5 同余，76 和 131 对 5 同余，则76-57=19 和 131-122=9 对 5 同余可乘性 甲和乙同余，丙和丁同余，甲与丙的积和乙与丁的积一定同余 57 和 122 对 5 同余，76 和 131 对 5 同余，则5776=4332 和 122131=15982 对 5 同余可乘方性 甲和乙同余，那么甲和乙同次乘方的结果仍然同余 14 和 8 对 3 同余
27、，则 143=2744 和 83=512 对3 同余【经典例题】例 1：（2010 年新疆）二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈连续报数。如果报 2 和 200 的是同一个人，那么共有多少个小朋友？A22 B24 C27 D28【答案】A【解析】根据题意，由于报 2 和 200 的是同一个人，这就意味着 2 与 200 对小朋友的个数同余，则 200-2=198 必能被小朋友的个数整除，分析选项，只有 A 项符合。例 2：已知 A 商店有 1 瓶可乐， B 商店有 22 瓶可乐，I 商店里面 99 瓶可乐，要将这些可乐平均分给 6 个商店，则最后还剩下几瓶可乐？A2 B3 C4 D5【
28、思路点拨】根据题意，A 商店到 I 商店共有可乐 11+22+33+88+99 瓶，要平均分给 6 个商店，则问题转化为求 11+22+33+88+99 除以 6 的余数。【答案】D【解析】 （1）由于 6 能被 6 整除，所以 66 能被 6 整除；（2）由于 5 被 6 除余 5，所以55 被 6 除余 5；（3）由于 4 被 6 除余 4，所以 44 除 6 余 4；（4）由于 9、3 被 6 除余 3，所以 99、3 3 被 6 除余 3；（5）由于 8 被 6 除余 2，故 88 被 6 除余 2；（6）由于 7、1 被 6除余 1，所以 77、1 1 被 6 除余 1；（7）值得注
29、意的是，由于 22=4 7.415，故重复的数字为 7.415- =111-105=6。214）（ 21）（六、日期年龄（一）日期问题闰年的判定口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰，三千二百年再不闰。非 100 倍数的年份中，能被 4 整除的年份是闰年；100 倍数的年份中，能被 400 整除的年份是闰年，如 1900、2100、2200、2300、不是闰年，2000 年是一个千禧闰年。值得注意的是能被 400 整除的年份中 3200 年不是闰年。大小月的判定：1、3、5、7、8、10、12 月，每月有 31 天，被称为大月，除 2 月外，其余月份每月有 30 天，被称为小月，值得注意的是闰年
30、的 2 月有 29 天，平年有 28 天。星期数的判定：一周有 7 天，过 7 的整数倍天，星期数不变。过一个平年，星期数推后一天；过一个闰年，星期数推后两天。【经典例题】例 1：（2009浙江）已知 2008 年的元旦是星期二，问 2009 年元旦是星期几？A星期二 B星期三 C星期四 D星期五【答案】C【解析】由于 2008 年到 2009 年是一闰年，因此星期数需要推后两天，故 2009 年元旦是星期四。【名师点睛】每过一年，有七个大月，由于（31-28）7 是 7 的整数倍，所以大月不会改变星期数，还有四个小月， （30-28）4=7+1，所以小月把星期数推后一天。若是平年，2 月有
31、28 天， （28-28）1 为零，所以不会改变星期数，若是闰年，2 月有 29 天， （29-28 ）1，把星期数推后一天。例 2：（2010新疆）某单位实行五天工作制，即星期一到星期五上班，星期六和星期日休息，现已知某月有 31 天，且该单位职工小王在家休息了 9 天（该月没有其他节日） ，则这个月的 6 号可能是下列四天中的哪一天？A星期五 B星期四 C星期三 D星期一【答案】A【解析】根据题意，小王在家休息了 9 天，则本月为 9 个休息日，而每月最少有2=8 个休息日（每月的天数最少为 28 天） ，则其中一个休息日应该在 1 号或者 31 号。28712如果休息日是 1 号，则 1
32、 号应为星期日，此时 6 号为星期五，选 A 项；如果休息日是 31号，则 31 号应为星期六，此时 6 号为星期二，选项中无此答案。（二）年龄问题年龄问题是行测考试的常见题型，它的核心是两个年龄的差值是个不变量，而两个年龄之间的倍数关系却随着时间的改变而改变。在解答年龄问题时，常用的方法有代入法、列表法和列方程法。具体如下：（1）代入法 将选项所给的年龄代入验证，此方法在试题简单时，比较实用；（2）列表法 将试题中涉及的人和不同阶段的年龄对应列表，如下表所示：表 6 不同年龄段的年龄对应表几年前 现在年龄 几年后甲 a x m乙 b y n其中表中对应位置的差相等，即 a-x=b-y，m-a
33、= n-b，m- x=n-y，x-y=a-b=m- n 等，在解题时利用这些等式中的两个或几个就可以求得所需的年龄值；（3）列方程法 根据题意，设出不同人现在的年龄，比如将甲、乙现在的年龄设为 x和 y，根据“经过相同年份，年龄差相等”列方程，求解现在的年龄。【经典例题】例 1：（2008国考）5 年前甲的年龄是乙的三倍，10 年前甲的年龄是丙的一半，若用 y 表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄？A 5 B 10 C D3y5653y103y【答案】A【解析】根据题意，设乙当前年龄为 x，则可列表如下：甲 乙 丙10 年前年龄 （y-10）2 y-105 年前年龄 105x-5 y
34、-5现在年龄 x y根据“5 年前甲的年龄是乙的三倍”可知， 3（x-5） ，化简得 x= +5。2y6例 2：（2010国考）一位长寿老人生于 19 世纪 90 年代，有一年他发现自己年龄的平方刚好等于当年的年份。问这位老人出生于哪一年?A1894 年 B1892 年 C1898 年 D1896 年【答案】B【解析】根据题意，该长寿老人在某一年的年龄平方数刚好等于当年的年份，根据常识该年应在 20 世纪，若老人此时 40 岁，则该年应为 1600 年，不符合题意，若老人此时45 岁，则该年应为 2025 年，老人的出生年份为 2025-45=1980 年，不符合题意；故老人的年龄应为 404
35、5 岁之间。假设老人当年的年龄为 x 岁，则老人出生年份为 x2-x=x（ x-1） ，故老人的出生年份可能为 4140，4241 、4342 、 4443，由于 4342=1806，远低于 19 世纪 90 年代，不符合题13意，显然其出生的年份只能为 4443，根据首尾数法可知，该值的尾数为 2，故这位老人出生于 1892 年。七、排列组合在近几年的行测考试中，加法原理和乘法原理是应用于排列组合问题和概率问题最常用、最基本的两个原理。加法原理：完成一件事有 n 种不同的途径，而每种途径又有 Mi 种方法，那么完成这件事共有 N 种方法，且 N=M1+M2+Mn。乘法原理：完成一件事有 n
36、个步骤，其中每步又有 Mi 种方法，那么完成这件事情共有N 种方法，且 N=M1M2Mn。所谓排列是指，从 n 个不同的元素中取出 m 个（m n）元素排成一列（即排序） ，所有不同的排列个数称为从 n 个不同的元素中取出 m 个（mn）元素的排列数，记作 ，Pmn其中 =n（n-1） （n-2）（n- m+1） 。Pm所谓组合是指，从 n 个不同的元素中取出 m 个（m n）元素拼成一组（即不排序） ，所有不同的组合个数称为从 n 个不同的元素中取出 m 个（ mn）元素的组合数，记作 ，Cmn其中 ，且有 = 。P!1C!mn（ ） （ ）（ ） Cn通过对近几年的行测考试试题的分析可以发
37、现，排列组合问题的解题方法通常有以下几种：表 7 排列组合问题中常用解题方法方法 适用题型 解题技巧优先法 对某些元素有特殊限制的排列组合问题 优先考虑有限制的元素的排列位置间接法 对题干中要求元素不容易求解的试题 从题干要求元素的对立面求解分类法 对于元素多，限制条件多的排列组合问题 按要求分类讨论，分成几种不相容的情况，分别计算，最后总计捆绑法 对于题干中有规定相邻元素的排列组合问题 把规定相邻的元素看成一个整体，与其他元素进行排列插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题 可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可插板法在 n 个元素间的（n-1）个空中插入若干
38、个（b 个）板，即可以把 n 个元素分成（b+1）组的方法应用插板法必须满足三个条件：（1）这n 个元素相同；（2）所分成的每一组至少分得一个元素；（3）分成的组彼此相异【经典例题】例 1：（2011国考）甲、乙两个科室各有 4 名职员，且都是男、女各半。现从两个科室中选出 4 人参加培训，要求女职员的比重不得低于一半，且每个科室至少选 1 人。问有多少种不同的选法？A67 B63 C53 D5114【思路点拨】根据题意， “要求女职员的比重不得低于一半” ，且选出的总人数为 4 人，故女职员的人数不得低于 450%=2 人。【答案】D【解析一】直接法。要求女职员的人数不得低于 2 人，故存在
39、三类情况：（1）女职员人数为 4 人，共有 1 种选法；（2）女职员人数为 3 人，共有 =16 种选法；（3）女职4C员人数为 2 人时，若两人不在一个部门，有 =24 种选法，若两人在一个部门，有1242+2 =10 种选法，共有 24+10=34 种选法。因此，满足条件的选法共有 1+16+34=511C种选法。【解析二】间接法。从两个科室 8 名职员中选出 4 名参加培训，共有 =70 种选法。48C若选出的全部是男职员，共有 1 种选法；若选出男职员有 3 人，共有 =16 种选法；若134选出的 2 名男职员和 2 名女职员均在同一个部门，则有 2 种选法。因此，满足条件的选法共有
40、 70-1-16-2=51 种不同的选法。例 2：（2010国考）某单位订阅了 30 份学习材料发放给 3 个部门，每个部门至少发放 9 份材料。问一共有多少种不同的发放方法?A7 B9 C10 D12【答案】C【解析】根据题意，该单位共订阅 30 份学习材料，则每个部门的材料数可能的分布情况有（9，9，12） 、 （9，10，11） 、 （10，10，10） ，共三种。若采用（9，9，12）的发放方法发放，共有 =3 种；若采用（9，10，11）的发放方法发放，共有 =6 种；若采用13 132C（10，10，10）的发放方法发放，共有 1 种。依据加法原理可知，共有 3+6+1=10 种不
41、同的发放方法。例 3：（2008国考）一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去 2 个新节目，有多少种安排方法？A20 B12 C6 D4【思路点拨】由于要保持 3 个节目的相对顺序不变，则需采用“插空法”解答。【答案】A【解析】根据题意，需要分两步来插入这 2 个新节目。第一步，插入第一个新节目，由于 3 个节目形成 4 个空位，则共有 =4 种方法；第二步，插入第二个新节目，由于 414个节目形成 5 个空位，则共有 =5 种方法。根据乘法原理可知，共有 45=20 种方法。5C例 4：（2010湖北）有颜色不同的五盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏、四盏或
42、五盏，并按一定次序挂在灯杆上表示不同的信号，这些颜色不同的灯共可表示多少种不同的信号？A240 B300 C320 D325【答案】D【解析】根据题意，由于不同盏数不同颜色表示不同信号，则可分类讨论。第一类，15使用一盏灯，共可表示 =5 种信号；第二类，使用两盏灯，共可表示 =20 种信号；第15P 25P三类，使用三盏灯，共可表示 =60 种信号；第四类，使用四盏灯，共可表示 =120 种3 45信号；第五类，使用五盏灯，共可表示 =120 种信号。依据加法原理可知，共可表示5P5+20+60+120+ 120=325 种信号。例 5：（2010广东）春节前单位慰问困难职工，将 10 份相
43、同的慰问品分给 6 名职工，每名职工至少要分得 1 份慰问品，分配方法共有：A84 种 B126 种 C210 种 D252 种【思路点拨】根据题干，要将 10 份相同的慰问品分给 6 名职工，实质是将一个整体分成 6 部分，因此，可应用插板法。【答案】B【解析】根据题意，10 份慰问品可形成 9 个空，故只需插入 5 个板就可分成 6 部分，共有 =126 种分配方法。59C【名师点睛】在解答排列组合试题时，首先要明确的是采用乘法原理还是加法原理，然后运用排列组合公式计算。乘法原理就是分几个步骤，而加法原理是分几种途径。在解题时一般既会用到乘法原理又会用到加法原理，因此，考生必须能准确区分乘
44、法原理和加法原理。八、概率问题一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的概率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P（A） 。计算公式可表示为：P符 合 要 求 的 可 能 结 果 数（ 事 件 的 概 率 ） 所 有 可 能 的 结 果 总 数此外，在行测考试中，还会经常遇到条件概率问题。所谓条件概率是指在事件 A 发生（P（A）0）的前提下，事件 B 发生的概率等于事件 A、B 同时发生的概率与事件 A 发生的概率之商，即 P（ B A） = 。P（ ）（ ）在解答此类问题时，通常采用以下解题步骤：第一步，列出所有的可能的结果总数；第二步，列出符
45、合要求的可能结果的数目；第三步，用符合要求的可能结果数除以所有可能的结果数。【经典例题】例 1：（2009国考）当第 29 届奥运会于北京时间 2008 年 8 月 8 日 20 时正式开幕时，全世界和北京同一天的国家占：A 以下 B C 以上 D全部21212【答案】C【解析】根据常识可知，北京处于东八区，用+8 表示，当北京时间为晚八点时，格林威治时间正好处于正午 12 点，理论上，全球均为 8 月 8 号，但是还有特殊的国家存在，如：16汤加，其为+13 区，此时已经处于 8 月 9 日，故全世界和北京处于同一天的国家占 以上。12例 2：（2010贵州）一个办公室有 2 男 3 女共
46、5 个职员，从中随机挑选出 2 个人参加培训，那么至少有一个男职员参加培训的可能性有多大？A60% B70% C75% D80%【答案】B【解析】根据题意，从 5 个职员中随机挑选出 2 个人参加培训有 =10 种情况，如果25C其中至少有 1 人为男职员的情况，共有 - （2 人均为女职员）=7 种情况，故至少有一53个男职员的可能性为 =70%。70例 3：（2009浙江）小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？A B C D1141516【思路点拨】
47、根据题意，由于其中一颗是牛奶味，要求出另一颗也是牛奶味的概率的问题是条件概率问题，可依据 计算，味 的 概 率其 中 至 少 一 颗 糖 是 牛 奶 率两 颗 糖 均 为 牛 奶 味 的 概【答案】C【解析】根据题意，两颗糖均为牛奶味的概率为 ，其中至少一颗糖是牛奶味24C16的概率=1-两颗糖均不是牛奶味的概率=1- ，故另一颗糖也是牛奶味的概率245为 。156专项练习1某单位有工作人员 48 人，其中女性占总人数的 37.5%，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的 40%，问调来几名女性？A1 人 B2 人 C3 人 D4 人25 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少不同种方法
48、？A120 B24 C60 D303小华 4 年后年龄与小丽 4 年前的年龄相等，3 年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的 3 倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁？A10 18 B4 12 C5 13 D6 144四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那到菜。问共有几种不同的尝法？17A6 种 B9 种 C12 种 D15 种5学生在操场上列队做操，只知人数在 90110 之间。如果排成 3 排则不多不少；排成 5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少人?A102 B98 C104 D1086有一个自然数“x” ，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 3，问“x”除以 12 的余数是多少？A1 B5 C9 D117现有 6 个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转 5 个硬币（必须翻转5 个） ，问你最少经过几次翻转可以使这 6 个硬币全部反面朝上？A5 次 B6 次 C7 次 D8 次8教室里有若干学生，走了 10 名女生后，男生人数是女生的 2 倍，又走了 9 名男生后，女生人数是男生的 5 倍，则最初教室里有（ ）人。A15 B20 C25
