1、十大数学世纪难题千僖难题”之一： P (多项式算法)问题对 NP (非多项式算法)问题“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设“千僖难题”之五： 杨米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口“千僖难题”之六： 纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对 NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道
2、这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘 附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个 人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421 可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为 3607 乘上 3803，那么你就可以用 一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利
3、用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解， 被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文考克（StephenCook）于 1971 年陈述的。“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块 粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对 象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，
4、必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断 言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适 当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年 以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单
5、位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困 难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然 数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(18261866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函 数 z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程 z(s)=0 的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的 1,500,000,000 个解验证过。证 明它对于每一个有意
6、义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。“千僖难题”之五： 杨米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几 何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲 粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的 不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有
7、得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。“千僖难题”之六： 纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理 解纳维叶斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是 19 世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展， 使我们能解开隐藏在纳维叶斯托克斯方程中的奥秘。“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dye
8、r)猜想数学家总是被诸如 x2+y2=z2 那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这 就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的 方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点 s=1 附近的性态。 特别是，这个有趣的猜想认为，如果 z(1)等于 0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于 0,那么只存在有限多个这样的点。8 费尔马大
9、定理费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类 3 个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在 1994 年被安德 鲁怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。1637 年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a+b=c 是不可能的（这里 n 大于2；a，b，c，n 都是非零整数)。此猜想后来就称为费 尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出
10、后，经欧拉等数代天才努力，200 年间只解决了n3,4,5,7 四种情形。1847 年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多 n（例如 100 以内）证明了费尔马大定理，是一次 大飞跃。历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10 万马 克（相当于现在 160 万美元多），期限 19082007 年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了 400 万以内的 N，但这对最终证 明无济于事。1983 年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的 n，最多只有有限多个 a，b，c 振动
11、了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。历史的新转机发生在 1986 年夏，贝克莱瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰志村五朗猜想 ” 之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房 7 年，曲折卓绝，汇集了 20 世纪数论所有的突破性成果。终于在1993 年 6 月 23 日剑桥大学牛顿研 究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。这个证明体系是千 万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。 1994 年
12、 9 月 19 日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线 和费尔马大定理”1995 年5 月发表在美国数学年刊第 142 卷，实际占满了全卷，共五章，130 页。1997 年 6 月 27 日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒 10 万马克悬赏大奖。离截止期10 年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3），美国国家科学家院奖（1996.6），费尔兹特别奖 （1998.8）。9 四色猜想 1852 年，刚从伦敦大学毕业的哥斯尼在给他的兄弟弗雷赘克的一封信中提出了这样的猜想：在一幅正规地图中。凡是有共同边界结的国家
13、，都可以最多只用 四种颜色着色,就能把这些国家区别开来。弗雷赘克读了这封信后，就企图用数学品质方法来加证明。但是，他花了许多时间，仍是毫无头绪，他只好去请教他的教师摩尔根。但摩尔根也无法证明这个问 题。同时也无法推翻，就把它交给了英国著名的数学家哈密顿。从此，这个问题在一些人中间传来似去，直到 1865 年哈密顿逝世为止，这个问题还没有得到解 决。于是这个问题便以“四色猜想“的名字留在了近代数学史上。1878 年，著名的英国数学家凯来把“四色猜想“通报给伦敦的数学学会会员，征求解答。数学界顿时活跃起来，很多人挥戈上阵，企图试一试自己的能力。1879 年，肯普首先宣布证明了四色定理，接着在 18
14、80 年，泰特也宣布证明四色定理的问题已经解决，从此就很少有人过问它了。然而还有一个数学家赫伍德，并没有放弃对四色问题的研究，他从表少年时代一直到成为白发苍苍的老者，花费了毕生的精力致力于四色研究，前后整整 60 年。终于在 1890 年，也就是肯普宣布证明了四色定理的 11 年之后，赫伍德发表文章，指出了肯普证明中的错误，不过，赫伍德却成功地运用肯普的方法证明了 五色定理，即一张地图一公平能用和种颜色正确地染色。五色定理被证明了。但四色定理却又回到未被证明的四色猜想的地位了，这不仅由于赫伍德推翻了肯普的证明，而且离开泰特发表论文 66 年后的 1946年， 加拿大数学家托特又举出反例，否定了
15、泰特的证明。肯普的证明，虽然在 11 年后被推翻了，但是，人们认为他的证明思路有很多可取的地方。因此，数学家，有不少人一直在沿着他的思路，推进着四色问题的证 明工作，并且有了新的进展。然而，这些成就所提供的检验办法太复杂了，人们难以实现。就拿 1970 年有些人的方案来说，用当时的计算机来算也需要连续不断 地工作 10 万小时（即 11 年以上），才能得出结论，这显然是不可能的。1970 年以后，人们千方百计地改进了证明四色猜想的方案，而且计算机的其使用方法，也不了飞快地进步。1976 年 6 月，美国数学家阿佩尔与哈肯，在美国伊利诺侵入大学的 3 台不同的电子计算机上，用了 1200 小时，
16、终于完成了“四色猜想“的证明，从面 使“四色猜想“成为了四色定理。“四色定理“本身没有什么突出的理论价值和衫价值。因此美国数学家的贡献，主要是用电子计算机解决了延续 124 年之久的纯理论问题。人与机器的合作完 全有可能解决那些悬而未决的问题，我们期待着那一日的到来。10 哥德巴赫猜想: 哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想(前者称“强“或“二重哥德巴赫猜想,后者称“弱“或“三重哥德巴赫猜想)：1.每个不小于 6 的偶数都可以表示为两 个奇素数之和；2.每个不小于 9 的奇数都可以表示为三 个奇素数之和。哥德巴赫相关哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.181764.11.20）是德国数
17、学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧 洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725 年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725 年1740 年担任彼得堡科学院会议秘书；1742 年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。【来源】 1729 年1764 年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在 1742 年 6 月 7 日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：“我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如 77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如 461，46
18、1=449+7+5，也是三个素数之和，461 还可以写成 257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于 7 的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。“欧拉回信说：“这个命题看来是正确的“.但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于 6 的偶数都是两个素数之和，但是这个命 题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于 5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中 2(N-1)4.若欧拉的命题成
19、立，则偶数 2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数 2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于 5 的奇数，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。1742 年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6 的偶数都是两个素数（只能被 1 和它本身整除的数）之和。如 633，1257 等等。公元 1742 年6 月 7 日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在 6 月 30 日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但 他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明
20、，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, 等等。有人对 33108 以内且大过 6 之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可
21、望不可即的“明 珠“。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是 科学史上最传奇的历史（详见百度哥德巴赫猜想传奇）。到了 20 世纪 20 年代，才有人开始向它靠近。1920 年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数 n（不小于 6）的偶数 都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称 9+9。 需要说明的是，这个 9 不是确切的 9，而是指 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中可能出现的任何一个。又称为“殆素数”，意思是很像素数。与哥德巴赫猜想 没有实质的
22、联系。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 十 9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为 止，这样就证明了哥德巴赫猜想。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于 1966 年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是 10 的 500000 次方，即在 1 的后面加上 500000 个“0”，是一个目前无法检验的数。所以，保罗赫夫曼在 阿基米德的报复一书中的 35 页写道：充分大和殆素数是个含糊不清的概念。哥
23、德巴赫猜想证明进度相关在陈景润之前，关于偶数可表示为 s 个质数的乘积 与 t 个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:1920 年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。1924 年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。1932 年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。1937 年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。1938 年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。1940 年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。1948 年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中 c 是一很大的自然数。1956 年，中国的王元证明
24、了“3 + 4”。1957 年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。1962 年，中国的潘承洞和苏联的巴尔 巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。1965 年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。1966 年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。以上数学家在本国都得到奖励，但是没有一人获得国际数学联合会的认可，于是人们开始思考。王元院士在 1986 年 9 月在南开大学的讲话中明确地说明： 1+1与1+2不是一回事。（见“世界数学名题欣赏”希尔博特第十问题188 页。辽宁教育出版社 1987 年版）。1997 年
25、 7 月 17 日，王元 院士在中央电视台东方之子节目中也阐述了：哥德巴赫猜想仅指 1+1。邱成桐院士认为，文学无论多么精彩，也不能够代替科学，2006 年邱院士说，陈景润的 成功是媒体造成的。一般认为，目前没有任何人对哥德巴猜想作过实质性的贡献。所有的证明都存在问题，与哥德巴猜想没有实质联系。人们发现，如果去掉殆素数，（1+2）比（1+1）困难的多。(1+3)比（1+2）困难的多。（1+1）是大于第一个素数“2”的 1 次方加 1 的偶数（即 n2+1)都是一个素数加上一个素数之和。（1+2）是大于第二个素数“3”的 2 次方加 1 的偶数（即 n3x3+1=10）都是一个素数加上二个素数乘
26、积之和。例如 12=33+3。(1+3)是大于第三个素数“5”的 3 次方加 1 的偶数（即 n5x5x5+1=126）都是一个素数加上三个素数乘积之和。例如 128=5x5x5+3=5x5x3+53。小于 128的偶数有 21 个不能够表示为（1+3），例 如，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，36，42，54，72，96，114，120，126。（1+4）是大于第四个素数“7”的 4 次方加 1 的偶数（即 n7x7x7x7+1=2402）都是一个素数加上四个素数乘积之和。例如 2404=2401+3。小于 2404 的偶数有几百个不能够表示（1+4）
27、。这是因为自然数数值越小，含素数个数多的合数越少。例如，100 以内，有 25 个素数，有含 2 个素数因子的奇合数 19 个，含 3 个素数因子的合数有 5个 （27，45，63，75，99），含 4 个素数因子的合数仅 1 个（81）。实际上，哥德巴赫猜想只是这一类问题中难度最底端的问题。许多艰难的问题正等待 人们去克服。先证明“1+3”后证明“1+2”，再后证明“1+1”，这种程序是不可能的。实际上：一。陈景润证明的不是哥德巴赫猜想陈景润与邵品宗合著的【哥德巴赫猜想】第 118 页（辽宁教育出版社）写道：陈景润定理的“1+1”结果，通俗地讲是指：对于任何一个大偶数 N,那么总 可以找到奇
28、素数 P,P“,或者 P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立：“N=P+P“ (A)N=P1+P2*P3 (B)当然并不排除(A)(B)同时成立的情形，例如 62=43+19，62=7+5X11。”众所周知，哥德巴赫猜想是指对于大于 4 的偶数（A)式成立，【1+2】是指对于大于 10 的偶数（B)式成立，两者是不同的两个命题，陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈，并在申报奖项时偷换了概念（命题），陈景润也没有证明【1+2】，因为【1+2】比 【1+1】难得多。这七个题目分别是：1.庞加莱猜想2.黎曼假设3.霍奇猜想4.杨- 米尔理论5.P 与 NP 问题6.波奇和斯温纳顿- 戴雅猜想7.纳
29、威厄- 斯托克斯方程后来有人又加上8 费尔马大定理9 四色猜想10 哥德巴赫猜想称为十大数学难题其中，1.庞加莱猜想刚刚由中国科学家朱熹平和曹怀东完全证明；2.黎曼假设也被很多人攻关，但还没看到破解希望；3.霍奇猜想引起许多著名科学家感兴趣，但“进展不大”；4.杨- 米尔理论太难，几乎没人做；5.P 与 NP 问题没什么进展；6.波奇和斯温纳顿- 戴雅猜想是这六个还没破解的难题中最有希望破解的一个；7.纳威厄- 斯托克斯方程离解决也相差很远。8.1994 年被安德鲁怀尔斯攻克。9.美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。10 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于 1966 年证明的，称为陈氏定理
