初等数学-几何1.doc

1、初等数学研究几何(一)I目 录几何部分（一）专题一 初等几何研究 3一、欧几里德几何原本 3二 、 罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 模 型 3三、黎曼几何 6四、希尔伯特的几何基础 7五、笛卡尔方法论 9六 、 中 学 中 的 解 析 几 何 .9专题二 三角形的五心 12一 、 三 角 形 的 重 心 及 重 心 定 理 12二、三角形外心及外心定理 14三、三角形垂心及垂心定理 16四、三角形内心及内心定理 18五、三角形旁心及旁心定理 20专题三 等腰三角形 23专题四 直角三角形 31一、三角形的基本性质（按使用的频率排列） 31二、习题 34专题五 圆 38专题六 九点圆和拿破仑三角

2、形 50一、九点圆的历史背景 50二、九点圆定理 50三、拿破仑三角形的历史背景 51四、拿破仑三角形的定义 51五、拿破仑三角形的推广 53专题七 正多边形 57一、正多边形的定义及性质 57二、正多边形的面积公式 59三、正多边形的内角和 59四、正多边形内一点到各顶点之和极值的问题 59五、正多边形与外接圆 60专题八 几何定值 63一、线段长度为定值 63二、线段的长度和、倒数和为定值. 64三、线段长度的积为定值 65四、线段长度的比为定值 66五、角的度数为定值 66六、面积为定值 67专题九 几何最值定值及不等式 69专题十 解析法解平面几何问题 73专题十一 三角法解平面几何问

3、题 81专题十二 平面几何问题的复数或向量解法 84一常用的公式和结论 84二基本思想 84初等数学研究几何(一)II三实例 85四小结 89专题十三 几何中的计数问题（组合几何） 90一、数线段 90二、数三角形、四边形等几何图形 91三、数角 93四、几何作图与填充染色等问题 93专题一 初等几何研究1专题一 初等几何研究初等几何研究的对象：图形的大小,形状，及位置关系一、欧几里德几何原本欧几里德在公元前 300 年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的，温良敦厚的教育家， 。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提

4、出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著-几何原本第 五 公 设 ： 几 何 原 本 第 一 卷 列 有 23 个 定 义 ， 5 条 公 理 ， 5 条 公 设 。 （ 其 中 最 后一 条 公 设 就 是 著 名 的 平 行 公 设 ， 或 者 叫 做 第 五 公 设 。 它 引 发 了 几 何 史 上 最 著 名 的 长 达 两千 多 年 的 关 于 “平 行 线 理 论 ”的 讨 论 ， 并 最 终 诞 生 了 非 欧 几 何 。 ） 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相

5、交。第五公设又称平行公设，可以导出如下结论：通 过 一 个 不 在 直 线 上 的点 ， 有 且 仅 有 一 条 不 与 该 直 线 相 交 的 直 线 。由 于 证 明 第 五 公 设 的 问 题 始 终 得 不 到 解 决 ， 人 们 逐 渐 怀 疑 证 明 的 路 子 走 的 对 不 对 ？第 五 公 设 到 底 能 不 能 证 明 ？ 到 了 十 九 世 纪 二 十 年 代 ， 俄 国 喀 山 大 学 教 授 罗 巴 切 夫 斯 基 在 证 明 第 五 公 设 的 过 程 中 ，他 走 了 另 一 条 路 子 。 他 提 出 了 一 个 和 欧 式 平 行 公 理 相 矛 盾 的 命

6、题 ,用 它 来 代 替 第 五 公 设 ，然 后 与 欧 式 几 何 的 前 四 个 公 设 结 合 成 一 个 公 理 系 统 ， 展 开 一 系 列 的 推 理 。 他 认 为 如 果 这个 系 统 为 基 础 的 推 理 中 出 现 矛 盾 ， 就 等 于 证 明 了 第 五 公 设 。 我 们 知 道 ， 这 其 实 就 是 数 学中 的 反 证 法 。 但 是 ， 在 他 极 为 细 致 深 入 的 推 理 过 程 中 ， 得 出 了 一 个 又 一 个 在 直 觉 上 匪 夷 所 思 ， 但在 逻 辑 上 毫 无 矛 盾 的 命 题 。 最 后 ， 罗 巴 切 夫 斯 基 得 出

7、 两 个 重 要 的 结 论 ： 第 一 ， 第 五 公 设 不 能 被 证 明 。 第 二 ， 在 新 的 公 理 体 系 中 展 开 的 一 连 串 推 理 ， 得 到 了 一 系 列 在 逻 辑 上 无 矛 盾 的 新 的定 理 ， 并 形 成 了 新 的 理 论 。 这 个 理 论 像 欧 式 几 何 一 样 是 完 善 的 、 严 密 的 几 何 学 这 种 几何 学 被 称 为 罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 ， 简 称 “罗 氏 几 何 “。 这 是 第 一 个 被 提 出 的 非 欧 几 何 学 。二 、 罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 模 型1.在 平 面 几 何 中 ， 三

8、 角 形 的 内 角 之 和 等 于 180证 法 一 ： 过 A 点 做 BC 的 平 行 线 ， 记 为 AD AD BC CAB+ BAD+ACB=180 DAB= ABC ACB+ ABC+ CAB=180证 法 二 ： 根 据 所 学 的 内 角 和 公 式 （ n-2） 180证 法 三 ： ACD 是 ABC 的 外 角 ACD= BAC+ BDCABAB D初等数学研究几何(一)2 ACD+ ACB=180 A+ B+ ACB=180证 法 四 ： FAB= ABC+ ACB ACD= BAC+ ABC EBC= BAC+ ACB FAB+ ACD+ EBC=2 ABC+2 A

9、CB+2 BAC 外 角 和 为 360 ABC+ BAC+ ACB=180证 法 五 ： 将三个一样大小的三角形在三个对应角的位置上,分别标上三个字母A,B,C.然后将第一个三角形的 A 角,第二个三角形的 B 角,第三个三角形的 C 角,拼在一起,这时它们的下边(或上边)就正好形成一条直线.即三个角形成了一个平角.就是说三个角的度数和是一百八十度.而这三个角是三角形的三个内角.2.在球面上，球面三角形的内角和不为 180证明：我们看一个例子如图，设点 A 表示地球的北极，L A为赤道，点 B，C 是赤道 LA 上的两点且点 B 所在的经线是 0，点 C 所在的经线是 90。 因为地球上的经

10、线和赤道都是大圆，且经线所在 的平面与赤道所在的平面垂直，所以球面角BAC= 。2又由极与赤道的概念可知球面角ABC= ，ACB= 。因此球面ABC 的三个内角之和为2ABC+BAC+ACB= 23这说明在球面上存在一个三角形使得其三个内角不为 180，是不是球面上任意一个三角形的内角和都大于 180呢？观察球面ABC，它的三个内角确定后，它的三边长也从而确定下来，且唯一。从而球面三角形也唯一确定，而面积是唯一的。因此，我们考虑球面三角形的内角和与其面积之间的关系。显然，球面ABC 的面积等于 上半球的面积，也是 球面积，如果球的半径为 r，则其面4181积为球面ABC 的面积= 4 r282

11、3r）（ CAB C DEF专题一 初等几何研究3=(ABC+BAC+ACB- )r2如 图 ， 容 易 知 道 ， ABD= , ADB= , BAD=232因 此 ， 球 面 ABD 的 三 个 内 角 之 和 是 ABD+ ADB+ BAD= 35球 面 ABD 的 面 积= 4 r2= r2=612r）（ =(ABD+BAD+ADB- )r2一般的，在半径为 r 的球面上，是否有任意的球面ABC 的面积=（A+B+C- ） ?(A,B,C 分2r别为ABC 的弧度数)事实上，这个结论是正确的，即在半径为 r 的球面上，任意球面ABC 的面积=（A+B+C- ） ，特别的，在单位球面上，

12、2r球面ABC 的面积= A+B+C- 。根据上述结论可以得出球面三角形的内角和大于 180下面给出上述结论的证明分析：如图（1） ，直接求球面ABC 的面积不容易，但是求月形（球面二角形）的面积很容易。月形 的面积等于球面面积ABC的 倍，其中球面角ABC= ，点 A， 互2为对径点，而且月形 可以看作是有球面ABABC 和球面 拼接在一起。因此，我们考虑把求球面ABC 的面积转化为求某些月形的面积。证明： 如图（2）,因为月形的两个对顶点互为对径点，设 A，B，C，三点的对径点分别是 ,我ABC们分别观察以 A，B，C 为顶点的三个月形：以 A 为顶点的月形 ：它可以看作由球面ABC 和球

13、面 拼接而成的。以 B 为顶点的月形 ：它可以看作由球面BCA 和球面 拼接而成的A以 C 为顶点的月形：它可以看作由球面CAB 和球面 拼接而成CAAB的我们知道，月形 的面积等于整个球面积得 倍，即B2月形 的面积= r2=2Ar2AC4（1）（2）初等数学研究几何(一)4因此，球面ABC 的面积+球面 的面积=月形 的面积=2Ar 2； ABCABC球面ABC 的面积+球面 的面积=月形 的面积=2Br 2； 球面ABC 的面积+球面 的面积=月形 的面积=2Cr 2； 又因为球面ABC 的面积+球面 的面积+球面 的面积+ABBA球面 的面积=半球面面积 CAB球面 的面积=球面 C+

14、 +得3球面ABC 的面积+球面 的面积+球面 的面积+ABBCA球面 的面积=2(A+B+C) AB2r将，带入得2球面ABC 的面积+2 =2(A+B+C)2r即球面ABC 的面积=（A+B+C- ） 2r因为面积是一个整数，因此，球面三角形的内角和大于 180如图，由于球面三角形的内角所对的边都小于大圆周的一半，所以每个内角都小于 。因此，其内角和小于 3 。实际上，由于球面三角形的周长小于大圆周长，球面三角形的内角和可以更小，可以证到球面三角形的内角和小于 2 。这与平面三角形的内角和等于180有很大的区别。这也是球面几何作为非欧几何模型与欧式几何不同的重要特征之一。三、黎曼几何此后，

15、法国数学家黎曼又提出，过直线外一点不可能作一条直线点外的直线平行，一个直接推论是三角形三内角之和小于一百八十度。以此基础建立起来的几何，人们称为黎曼几何。黎 曼 流 形 上 的 几 何 学 。 德 国 数 学 家 G.F.B.黎 曼 19 世 纪 中 期 提 出 的 几 何 学 理 论 。1854 年 黎 曼 在 格 丁 根 大 学 发 表 的 题 为 论 作 为 几 何 学 基 础 的 假 设 的 就 职 演 说 ， 通 常被 认 为 是 黎 曼 几 何 学 的 源 头 。 在 这 篇 演 说 中 ， 黎 曼 将 曲 面 本 身 看 成 一 个 独 立 的 几 何 实 体 ，而 不 是 把

16、它 仅 仅 看 作 欧 几 里 得 空 间 中 的 一 个 几 何 实 体 。 他 首 先 发 展 了 空 间 的 概 念 ， 提 出了 几 何 学 研 究 的 对 象 应 是 一 种 多 重 广 义 量 ， 空 间 中 的 点 可 用 n 个 实 数 作 为 坐1(,)nx标 来 描 述 。 这 是 现 代 n 维 微 分 流 形 的 原 始 形 式 ， 为 用 抽 象 空 间 描 述 自 然 现 象 奠 定 了 基 础 。这 种 空 间 上 的 几 何 学 应 基 于 无 限 邻 近 两 点 与 之 间 的 距 离 ，12(,)nx 1(,nxd用 微 分 弧 长 度 平 方 所 确 定

17、的 正 定 二 次 型 理 解 度 量 。 亦 即 是 由 函 数 构 成 的 正 定 对 称 矩ijg阵 。 这 便 是 黎 曼 度 量 。 赋 予 黎 曼 度 量 的 微 分 流 形 ， 就 是 黎 曼 流 形 。 黎 曼 认 识 到 度 量 只 是 加 到 流 形 上 的 一 种 结 构 ， 并 且 在 同 一 流 形 上 可 以 有 许 多 不 同 的度 量 。 黎 曼 以 前 的 数 学 家 仅 知 道 三 维 欧 几 里 得 空 间 E3 中 的 曲 面 S 上 存 在 诱 导 度 量专题一 初等几何研究5， 即 第 一 基 本 形 式 ， 而 并 未 认 识 到 S 还 可 以

18、有 独 立 于 三 维 欧 几2 2dsEuFdvG里 得 几 何 赋 予 的 度 量 结 构 。 黎 曼 意 识 到 区 分 诱 导 度 量 和 独 立 的 黎 曼 度 量 的 重 要 性 ， 从 而摆 脱 了 经 典 微 分 几 何 曲 面 论 中 局 限 于 诱 导 度 量 的 束 缚 ， 创 立 了 黎 曼 几 何 学 ， 为 近 代 数 学和 物 理 学 的 发 展 作 出 了 杰 出 贡 献 。 黎 曼 几 何 以 欧 几 里 得 几 何 和 种 种 非 欧 几 何 作 为 其 特 例 。 例 如 ： 定 义 度 量 （ a 是 常 数 ）， 则 当 a 0 时 是 普 通 的 欧

19、 几 里 得 几 何 ， 当 a 0 时 ， 就 是 椭 圆 几 何 ， 而 当 a 0 时 为双 曲 几 何 。黎 曼 几 何 与 欧 式 几 何 的 区 别 ：欧 式 几 何 是 把 认 识 停 留 在 平 面 上 了 ， 所 研 究 的 范 围 是 绝 对 的 平 的 问 题 ， 认 为 人 生 活在 一 个 绝 对 平 的 世 界 里 。 因 此 在 平 面 里 画 出 的 三 角 形 三 条 边 都 是 直 的 。 两 点 之 间 的 距 离也 是 直 的 。 但 是 假 如 我 们 生 活 的 空 间 是 一 个 双 曲 面 ， （ 不 是 双 曲 线 ） ， 这 个 双 曲 面

20、， 我们 可 以 把 它 想 象 成 一 口 平 滑 的 锅 或 太 阳 罩 ， 我 们 就 在 这 个 双 曲 面 里 画 三 角 形 ， 这 个 三 角形 的 三 边 的 任 何 点 都 绝 对 不 能 离 开 双 曲 面 ， 我 们 将 发 现 这 个 三 角 形 的 三 边 无 论 怎 么 画 都不 会 是 直 线 ， 那 么 这 样 的 三 角 形 就 是 罗 氏 三 角 形 ， 经 过 论 证 发 现 ， 任 何 罗 氏 三 角 形 的 内角 和 都 永 远 小 于 180 度 ， 无 论 怎 么 画 都 不 能 超 出 180 度 ， 但 是 当 把 这 个 双 曲 面 渐 渐

21、展 开时 ， 一 直 舒 展 成 绝 对 平 的 面 ， 这 时 罗 氏 三 角 形 就 变 成 了 欧 式 三 角 形 ， 也 就 是 我 们 在 初 中学 的 平 面 几 何 ， 其 内 角 和 自 然 是 180 度 。 在 平 面 上 ， 两 点 间 的 最 短 距 离 是 线 段 ， 但 是 在 双 曲 面 上 ， 两 点 间 的 最 短 距 离 则 是 曲线 ， 因 为 平 面 上 的 最 短 距 离 在 平 面 上 ， 那 么 曲 面 上 的 最 短 距 离 也 只 能 在 曲 面 上 ， 而 不 能跑 到 曲 面 外 抻 直 ， 故 这 个 最 短 距 离 只 能 是 曲 线

22、。 若 我 们 把 双 曲 面 舒 展 成 平 面 以 后 ， 再 继续 朝 平 面 的 另 一 个 方 向 变 ， 则 变 成 了 椭 圆 面 或 圆 面 ， 这 个 时 候 ， 如 果 我 们 在 这 个 椭 圆 面上 画 三 角 形 ， 将 发 现 ， 无 论 怎 么 画 ， 这 个 三 角 形 的 内 角 和 都 大 于 180 度 ， 两 点 间 的 最短 距 离 依 然 是 曲 线 ， 这 个 几 何 就 是 黎 曼 几 何 。 这 个 几 何 在 物 理 上 非 常 有 用 ， 因 为 光 在 空间 上 就 是 沿 着 曲 线 跑 的 ， 并 非 是 直 线 ， 我 们 生 活

23、在 地 球 上 ， 因 此 我 们 的 空 间 也 是 曲 面 ，而 不 是 平 面 ， 但 为 了 生 活 方 便 ， 都 不 做 严 格 规 定 ， 都 近 似 地 当 成 了 平 面 。四、希尔伯特的几何基础希 尔 伯 特 的 几 何 基 础 （ 1899） 是 公 理 化 思 想 的 代 表 作 ， 书 中 把 欧 几 里 德 学 加 以整 理 ， 成 为 建 立 在 一 组 简 单 公 理 基 础 上 的 纯 粹 演 绎 系 统 ， 并 开 始 探 讨 公 理 之 间 的 相 互关 系 与 研 究 整 个 演 绎 系 统 的 逻 辑 结 构 。小 阅 读 希 尔 伯 特 的 23 个

24、 问 题 下 面 摘 录 的 是 1987 年 出 版 的 数 学 家 小 辞 典 以 及 其 它 一 些 文 献 中 收 集 的 希 尔 伯特 23 个 问 题 及 其 解 决 情 况 ： 1 连 续 统 假 设 1874 年 ， 康 托 猜 测 在 可 列 集 基 数 和 实 数 基 数 之 间 没 有 别 的 基 数 ，这 就 是 著 名 的 连 续 统 假 设 。 1938 年 ， 哥 德 尔 证 明 了 连 续 统 假 设 和 世 界 公 认 的 策 梅 洛 -弗 伦 克 尔 集 合 论 公 理 系 统 的 无 矛 盾 性 。 1963 年 ， 美 国 数 学 家 科 亨 证 明 连

25、 续 假 设 和 策 梅洛 -伦 克 尔 集 合 论 公 理 是 彼 此 独 立 的 。 因 此 ， 连 续 统 假 设 不 能 在 策 梅 洛 -弗 伦 克 尔 公理 体 系 内 证 明 其 正 确 性 与 否 。 希 尔 伯 特 第 1 问 题 在 这 个 意 义 上 已 获 解 决 。 初等数学研究几何(一)62 算 术 公 理 的 相 容 性 欧 几 里 得 几 何 的 相 容 性 可 归 结 为 算 术 公 理 的 相 容 性 。 希 尔伯 特 曾 提 出 用 形 式 主 义 计 划 的 证 明 论 方 法 加 以 证 明 。 1931 年 ， 哥 德 尔 发 表 的 不 完 备 性

26、定 理 否 定 了 这 种 看 法 。 1936 年 德 国 数 学 家 根 茨 在 使 用 超 限 归 纳 法 的 条 件 下 证 明 了 算 术 公理 的 相 容 性 。 1988 年 出 版 的 中 国 大 百 科 全 书 数 学 卷 指 出 ， 数 学 相 容 性 问 题 尚 未 解 决 。 3 两 个 等 底 等 高 四 面 体 的 体 积 相 等 问 题 问 题 的 意 思 是 ， 存 在 两 个 等 边 等 高 的 四 面 体 ， 它 们 不 可 分 解 为 有 限 个 小 四 面 体 ， 使这 两 组 四 面 体 彼 此 全 等 。 M.W.德 恩 1900 年 即 对 此 问

27、 题 给 出 了 肯 定 解 答 。 4 两 点 间 以 直 线 为 距 离 最 短 线 问 题 此 问 题 提 得 过 于 一 般 。 满 足 此 性 质 的 几 何 学很 多 ， 因 而 需 增 加 某 些 限 制 条 件 。 1973 年 ， 苏 联 数 学 家 波 格 列 洛 夫 宣 布 ， 在 对 称 距 离 情况 下 ， 问 题 获 得 解 决 。 中 国 大 百 科 全 书 说 ， 在 希 尔 伯 特 之 后 ， 在 构 造 与 探 讨 各 种 特 殊 度 量 几 何 方 面 有许 多 进 展 ， 但 问 题 并 未 解 决 。 5.一 个 连 续 变 换 群 的 李 氏 概 念

28、 ， 定 义 这 个 群 的 函 数 不 假 定 是 可 微 的 这 个 问 题 简 称连 续 群 的 解 析 性 ， 即 ： 是 否 每 一 个 局 部 欧 氏 群 都 有 一 定 是 李 群 ？ 中 间 经 冯 诺 伊 曼（ 1933， 对 紧 群 情 形 ） 、 邦 德 里 雅 金 （ 1939， 对 交 换 群 情 形 ） 、 谢 瓦 荚 （ 1941， 对 可解 群 情 形 ） 的 努 力 ， 1952 年 由 格 利 森 、 蒙 哥 马 利 、 齐 宾 共 同 解 决 ， 得 到 了 完 全 肯 定 的 结果 。 6.物 理 学 的 公 理 化 希 尔 伯 特 建 议 用 数 学

29、的 公 理 化 方 法 推 演 出 全 部 物 理 ， 首 先 是 概 率和 力 学 。 1933 年 ， 苏 联 数 学 家 柯 尔 莫 哥 洛 夫 实 现 了 将 概 率 论 公 理 化 。 后 来 在 量 子 力 学 、量 子 场 论 方 面 取 得 了 很 大 成 功 。 但 是 物 理 学 是 否 能 全 盘 公 理 化 ， 很 多 人 表 示 怀 疑 。 7.某 些 数 的 无 理 性 与 超 越 性 1934 年 ， A.O.盖 尔 方 德 和 T.施 奈 德 各 自 独 立 地 解 决 了问 题 的 后 半 部 分 ， 即 对 于 任 意 代 数 数 0 ， 1， 和 任 意

30、代 数 无 理 数 证 明 了 的 超 越 性 。 8.素 数 问 题 包 括 黎 曼 猜 想 、 哥 德 巴 赫 猜 想 及 孪 生 素 数 问 题 等 。 一 般 情 况 下 的 黎 曼 猜想 仍 待 解 决 。 哥 德 巴 赫 猜 想 的 最 佳 结 果 属 于 陈 景 润 （ 1966） ， 但 离 最 解 决 尚 有 距 离 。 目前 孪 生 素 数 问 题 的 最 佳 结 果 也 属 于 陈 景 润 。 9 在 任 意 数 域 中 证 明 最 一 般 的 互 反 律 该 问 题 已 由 日 本 数 学 家 高 木 贞 治 （ 1921）和 德 国 数 学 家 E.阿 廷 （ 192

31、7） 解 决 。 10 丢 番 图 方 程 的 可 解 性 能 求 出 一 个 整 系 数 方 程 的 整 数 根 ， 称 为 丢 番 图 方 程 可 解 。希 尔 伯 特 问 ， 能 否 用 一 种 由 有 限 步 构 成 的 一 般 算 法 判 断 一 个 丢 番 图 方 程 的 可 解 性 ？1970 年 ， 苏 联 的 IO.B.马 季 亚 谢 维 奇 证 明 了 希 尔 伯 特 所 期 望 的 算 法 不 存 在 。 11 系 数 为 任 意 代 数 数 的 二 次 型 H.哈 塞 （ 1929） 和 C.L.西 格 尔 （ 1936， 1951）在 这 个 问 题 上 获 得 重

32、要 结 果 。 12 将 阿 贝 尔 域 上 的 克 罗 克 定 理 推 广 到 任 意 的 代 数 有 理 域 上 去 这 一 问 题 只 有 一些 零 星 的 结 果 ， 离 彻 底 解 决 还 相 差 很 远 。 13 不 可 能 用 只 有 两 个 变 数 的 函 数 解 一 般 的 七 次 方 程 七 次 方 程 的 根 依 赖 于 3 个参 数 a、 b、 c， 即 。 这 个 函 数 能 否 用 二 元 函 数 表 示 出 来 ？ 苏 联 数 学 家 阿 诺 尔(,)xabc专题一 初等几何研究7德 解 决 了 连 续 函 数 的 情 形 （ 1957） ， 维 士 斯 金 又

33、把 它 推 广 到 了 连 续 可 微 函 数 的 情 形（ 1964） 。 但 如 果 要 求 是 解 析 函 数 ， 则 问 题 尚 未 解 决 。 14 证 明 某 类 完 备 函 数 系 的 有 限 性 这 和 代 数 不 变 量 问 题 有 关 。 1958 年 ， 日 本 数学 家 永 田 雅 宜 给 出 了 反 例 。 15 舒 伯 特 计 数 演 算 的 严 格 基 础 一 个 典 型 问 题 是 ： 在 三 维 空 间 中 有 四 条 直 线 ， 问有 几 条 直 线 能 和 这 四 条 直 线 都 相 交 ？ 舒 伯 特 给 出 了 一 个 直 观 解 法 。 希 尔 伯

34、特 要 求 将 问 题一 般 化 ， 并 给 以 严 格 基 础 。 现 在 已 有 了 一 些 可 计 算 的 方 法 ， 它 和 代 数 几 何 学 不 密 切 联 系 。但 严 格 的 基 础 迄 今 仍 未 确 立 。 16 代 数 曲 线 和 代 数 曲 线 面 的 拓 扑 问 题 这 个 问 题 分 为 两 部 分 。 前 半 部 分 涉 及 代 数曲 线 含 有 闭 的 分 枝 曲 线 的 最 大 数 目 。 后 半 部 分 要 求 讨 论 的 极 限 环 的 最 大 个 数 和 相 对 位置 ， 其 中 X、 Y 是 x、 y 的 n 次 多 项 式 .苏 联 的 彼 得 罗

35、夫 斯 基 曾 宣 称 证 明 了 n=2 时 极 限 环的 个 数 不 超 过 3， 但 这 一 结 论 是 错 误 的 ， 已 由 中 国 数 学 家 举 出 反 例 （ 1979） 。 17 半 正 定 形 式 的 平 方 和 表 示 一 个 实 系 数 n 元 多 项 式 对 一 切 数 组 都2(,)nx恒 大 于 或 等 于 0， 是 否 都 能 写 成 平 方 和 的 形 式 ？ 1927 年 阿 廷 证 明 这 是 对 的 。 18 用 全 等 多 面 体 构 造 空 间 由 德 国 数 学 家 比 勃 马 赫 （ 1910） 、 荚 因 哈 特（ 1928） 作 出 部 分

36、解 决 。 19 正 则 变 分 问 题 的 解 是 否 一 定 解 析 对 这 一 问 题 的 研 究 很 少 。 C.H.伯 恩 斯 坦 和彼 得 罗 夫 斯 基 等 得 出 了 一 些 结 果 。 20 一 般 边 值 问 题 这 一 问 题 进 展 十 分 迅 速 ， 已 成 为 一 个 很 大 的 数 学 分 支 。 目 前 还在 继 续 研 究 。 21 具 有 给 定 单 值 群 的 线 性 微 分 方 程 解 的 存 在 性 证 明 已 由 希 尔 伯 特 本 人（ 1905） 和 H.罗 尔 （ 1957） 的 工 作 解 决 。 22 由 自 守 函 数 构 成 的 解 析

37、 函 数 的 单 值 化 它 涉 及 艰 辛 的 黎 曼 曲 面 论 ， 1907 年 P.克 伯 获 重 要 突 破 ， 其 他 方 面 尚 未 解 决 。 23 变 分 法 的 进 一 步 发 展 出 这 并 不 是 一 个 明 确 的 数 学 问 题 ， 只 是 谈 了 对 变 分 法 的一 般 看 法 。 20 世 纪 以 来 变 分 法 有 了 很 大 的 发 展 。 这 23 问 题 涉 及 现 代 数 学 大 部 分 重 要 领 域 ， 推 动 了 20 世 纪 数 学 的 发 展 。五、笛卡尔方法论1637 年 ， 法 国 的 哲 学 家 和 数 学 家 笛 卡 尔 发 表 了

38、 他 的 著 作 方 法 论 ， 这 本 书 的 后 面 有 三 篇 附 录 ， 一 篇 叫 折 光 学 ， 一 篇 叫 流 星 学 ， 一篇 叫 几 何 学 。 当 时 的 这 个 “几 何 学 ”实 际 上 指 的 是 数 学 ， 就 像 我 国 古 代 “算 术 ”和 “数 学 ”是 一 个 意 思 一 样 。 笛 卡 尔 的 几 何 学 共 分 三 卷 ， 第 一 卷 讨 论 尺 规 作 图 ； 第 二 卷 是 曲 线 的 性 质 ； 第 三卷 是 立 体 和 “超 立 体 ”的 作 图 ， 但 他 实 际 是 代 数 问 题 ， 探 讨 方 程 的 根 的 性 质 。 后 世 的 数

39、学 家 和 数 学 史 学 家 都 把 笛 卡 尔 的 几 何 学 作 为 解 析 几 何 的 起 点 。 从 笛 卡 尔 的 几 何 学 中 可 以 看 出 ， 笛 卡 尔 的 中 心 思 想 是 建 立 起 一 种 “普 遍 ”的数 学 ， 把 算 术 、 代 数 、 几 何 统 一 起 来 。 他 设 想 ， 把 任 何 数 学 问 题 化 为 一 个 代 数 问 题 ， 在把 任 何 代 数 问 题 归 结 到 去 解 一 个 方 程 式 。 初等数学研究几何(一)8为 了 实 现 上 述 的 设 想 ， 笛 卡 尔 茨 从 天 文 和 地 理 的 经 纬 制 度 出 发 ， 指 出

40、平 面 上 的 点 和实 数 对 的 对 应 关 系 。 的 不 同 数 值 可 以 确 定 平 面 上 许 多 不 同 的 点 ， 这 样 就 可 以 用(,)xy,xy代 数 的 方 法 研 究 曲 线 的 性 质 。 这 就 是 解 析 几 何 的 基 本 思 想 。六 、 中 学 中 的 解 析 几 何笛卡尔的方法论，创立了解析几何，反映到中学几何中的公理是1经过两条直线有且只有一条直线2两条直线相交只有一个交点3所有连接两点的线中，线段最短由这条公理才有三角形两边之和大于第三边我们知道，AB，AC，BC 都为直线而非两点之中的曲线，由第三条公理可以得出：,bcacb从而得证，三角形两

41、边之和大于第三边解 析 几 何 的 出 现 ， 改 变 了 自 古 希 腊 以 来 代 数 和 几 何 分 离 的 趋 向 ， 把 相 互 对 立 着 的“数 ”与 “形 ”统 一 了 起 来 ， 使 几 何 曲 线 与 代 数 方 程 相 结 合 。 笛 卡 儿 的 这 一 天 才 创 见 ，更 为 微 积 分 的 创 立 奠 定 了 基 础 ， 从 而 开 拓 了 变 量 数 学 的 广 阔 领 域 。下 面 来 看 一 个 数 形 结 合 的 例 题 ：例 1 求函数 的最大值和最小值xycos3in2分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点与单位圆上的点

42、(3,2)P（cosx,sinx）连线的斜率。解： sini(2)3co3xy这可以看作是定点与单位圆上的点 P（cosx,sinx）连线的(,2)A斜率。因此，y 的最值就是当直线 AP 与单位圆相切时的斜率。单位圆 x2+y2=1 中斜率为 k 的切线方程为1ky由于该切线过点 A（3，2） ，故2AB Cc ba专题二 三角形的五心9 43k max43ink以上是利用“数形结合”的方法来求最值的，让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什么区别。解：原式可化为： 3y+ycosx=2+sinx )32(1)cos(yyx|cos(x+v)|1 1|)(|)cs(| 2yyx 1942y8

43、y 2 12y+30 4343 maxy43in从而，数形结合的优越性易见。初等数学研究几何(一)10专题二 三角形的五心三 角 形 的 重 心 ， 外 心 ， 垂 心 ， 内 心 和 旁 心 称 之 为 三 角 形 的 五 心 。 三 角 形 五 心 定 理 是指 三 角 形 重 心 定 理 ， 外 心 定 理 ， 垂 心 定 理 ， 内 心 定 理 ， 旁 心 定 理 的 总 称 。重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点垂心定理 三角形的三条高交于一点内心定理 三角形的三内角平分线交于一点旁心定理 三角形一

44、内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点一 、 三 角 形 的 重 心 及 重 心 定 理重 心 的 定 义 ： 三 角 形 的 三 条 边 的 中 线 交 于 一 点 。 该 点 叫 做 三 角 形 的 重 心 。如 右 图 ， 为 的 重 心 （ 重 心 原 是 一 个 物 理OABC 概 念 ， 对于 等 厚 度 的 质 量 均 匀 的 三 角 形 薄 片 ， 其 重 心 恰 为 此 三 角 形三 条 中 线 的 交 点 ， 重 心 因 而 得 名 ）重心的性质：1)重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为。 :22)重 心 和 三 角

45、形 个 顶 点 组 成 的 个 三 角 形 面 积 相 等 。 即 重 心 到 三 条 边 的 距 离 与 三 条33边 的 长 成 反 比 。 3)三角形的重心也是它的中点三角形的重心。4)重 心 到 三 角 形 个 顶 点 距 离 的 平 方 和 最 小 。 5)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 数 ， 即 其 重 心 坐 标 为， 。 (其 中 ，321X321X分 别 为 三 顶 点 的 横 坐 标 ； 分 别 为, ,21Y 三ABC顶 点 的 纵 坐 标 )6)设 的重心， 的延长线交 的ABCG为 CGB,ABC三

46、边于 则 ；反之亦然。FED, ESDS (如右图)重心的证明：重心：三条中线的交点证明：连结 交 于点 。AOBCF 为 的中点D S（底相等( ),高相同(都为点 到 的距离)）CAB同理可得：GEFDB CA专题二 三角形的五心11AOBSC得，又 与 底都为它们高相等，即：点 和点 到 的距CAF离相等。对于AFB 和AFC，底相同（为 ） ，高相等（分别为点 和点 到 的距离） 。BAFS又对于 和 ，高相同C它们底相等，即：为三角形的中线。例题：例 1 是 的三条中线， P 是任意一点.证明：在 中，其ADCFBE,A PCFBEAD,中一个面积等于另外两个面积的和.(第 26 届

47、莫斯科数学奥林匹克)分析：设 为 重心，直线 与 相交.从 分别作该直线的垂线，垂GGBCA, F,足为 .FEA,易证 ，ECD2,2.有 .PSPS两边各扩大 倍，有3.PCFSADB例 如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成2的新三角形相似.其逆亦真.分析：将 简记为 ，由三中线 围成的三角形简记为 . 为重心，连ABCE, G到 ，使 ，连 ，则 就是 .DEHEHF,F成等差数列 .2,1cba若 为正三角形，易证 .不妨设 ，有，22CFabc，1BE.22ADbca：分 别 代 入 以 上 三 式 ， 得将 2a= ， = ， = .CF3BE23ADc23AGEDCPB初等数学研究几何(一)12QPAOB C:BEAD:23ab:c 故 有 cb:2成 等 差 数 列 。,中当 时 ，a 中。ABECF , .2aCFS据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ，有4343S22222234 bcabAFaCF 二、三角形外心及外心定理 外 心 的 定