数学家的风采——高斯.docx

1、数学家的风采高斯 以下内容除特别说明外均转载自互联网百度.百科或数学大师从芝诺到庞加莱并略作删改。高 斯 （ Johann Carl Friedrich Gauss） （ 1777 年 4 月 30 日 1855 年 2 月 23 日 ） ， 生 于 不 伦 瑞 克 ， 卒 于哥 廷 根 ， 德 国 著 名 数 学 家 、 物 理 学 家 、 天 文 学 家 、 大 地 测 量 学 家 。 高 斯 被 认 为 是 最 重 要 的 数 学 家 ， 有 数 学 王 子 的 美誉 ， 并 被 誉 为 历 史 上 伟 大 的 数 学 家 之 一 ， 和 阿 基 米 德 、 牛 顿 、 欧 拉 并 列

2、， 同 享 盛 名 。【 生 平 与 贡 献 】高 斯 1777 年 4 月 30 日 生 于 不 伦 瑞 克 的 一 个 工 匠 家 庭 ， 1855 年 2 月 23 日 卒 于 哥 廷 根 。 幼 时 家 境 贫 困 ，但 聪 敏 异 常 ， 受 一 贵 族 资 助 才 进 学 校 受 教 育 。 1795 1798 年 在 格 丁 根 大 学 学 习 1798 年 转 入 黑 尔 姆 施 泰 特 大 学 ，翌 年 因 证 明 代 数 基 本 定 理 获 博 士 学 位 。 从 1807 年 起 担 任 格 丁 根 大 学 教 授 兼 格 丁 根 天 文 台 台 长 直 至 逝 世 。高

3、 斯 的 成 就 遍 及 数 学 的 各 个 领 域 ， 在 数 论 、 非 欧 几 何 、 微 分 几 何 、 超 几 何 级 数 、 复 变 函 数 论 以 及 椭 圆 函数 论 等 方 面 均 有 开 创 性 贡 献 。 他 十 分 注 重 数 学 的 应 用 ， 并 且 在 对 天 文 学 、 大 地 测 量 学 和 磁 学 的 研 究 中 也 偏 重 于 用 数学 方 法 进 行 研 究 。1784 年 ， 18 岁 的 高 斯 发 现 了 质 数 分 布 定 理 和 最 小 二 乘 法 。 通 过 对 足 够 多 的 测 量 数 据 的 处 理 后 ， 可 以 得 到 一 个新 的

4、 、 概 率 性 质 的 测 量 结 果 。 在 这 些 基 础 之 上 ， 高 斯 随 后 专 注 于 曲 面 与 曲 线 的 计 算 ， 并 成 功 得 到 高 斯 钟 形 曲 线(正 态 分 布 曲 线 )。 其 函 数 被 命 名 为 标 准 正 态 分 布 （ 或 高 斯 分 布 ） ， 并 在 概 率 计 算 中 大 量 使 用 。1785 年 ， 在 高 斯 19 岁 时 ， 仅 用 尺 规 便 构 造 出 了 17 边 形 。 并 为 流 传 了 2000 年 的 欧 氏 几 何 提 供 了 自 古 希 腊 时代 以 来 的 第 一 次 重 要 补 充 。1799 年 ， 高

5、斯 完 成 里 他 的 博 士 论 文 ， 这 篇 论 文 给 出 了 一 个 重 要 的 代 数 定 理 ： 任 意 一 个 多 项 式 都 有 （ 复 数 ） 根 。这 结 果 称 为 “代 数 学 基 本 定 理 ”（ Fundamental Theorem of Algebra） 。 事 实 上 在 高 斯 之 前 有 许 多 数 学 家 认 为已 给 出 了 这 个 结 果 的 证 明 ， 可 是 没 有 一 个 证 明 是 严 密 的 。 高 斯 把 前 人 证 明 的 缺 失 一 一 指 出 来 ， 然 后 提 出 自 己 的 见 解 ，他 一 生 中 一 共 给 出 了 四 个

6、 不 同 的 证 明 。1801 年 ， 高 斯 的 算 术 研 究 (Disquesitiones Arithmeticae)一 书 发 表 。 本 书 总 结 了 高 斯 的 数 论 研 究 ， 奠定 了 近 代 数 论 的 基 础 ， 它 不 仅 是 数 论 方 面 的 划 时 代 之 作 ， 也 是 数 学 史 上 不 可 多 得 的 经 典 著 作 之 一 。 这 本 书 除 了 第 七章 介 绍 代 数 基 本 定 理 外 ， 其 余 都 是 数 论 ， 可 以 说 是 数 论 第 一 本 有 系 统 的 著 作 ， 高 斯 第 一 次 介 绍 同 余 (Congruent)的 概

7、 念 ， 二 次 互 反 律 也 在 其 中 。1801 年 ， 意 大 利 的 天 文 学 家 Piazzi， 发 现 在 火 星 和 木 星 间 有 一 颗 新 星 。 它 被 命 名 为 谷 神 星 (Cere)。 现在 我 们 知 道 它 是 火 星 和 木 星 的 小 行 星 带 中 的 一 个 ， 但 当 时 天 文 学 界 争 论 不 休 ， 有 人 说 这 是 行 星 ， 有 人 说 这 是 彗 星 。必 须 继 续 观 察 才 能 判 决 ， 但 是 Piazzi 只 能 观 察 到 它 8 度 的 轨 道 ， 再 来 ， 它 便 隐 身 到 太 阳 后 面 去 了 。 因

8、此 无 法 知道 它 的 轨 道 ， 也 无 法 判 定 它 是 行 星 或 彗 星 。 高 斯 这 时 对 这 个 问 是 产 生 兴 趣 ， 他 决 定 解 决 这 个 捉 摸 不 到 的 星 体 轨 迹 的问 题 。 高 斯 自 己 独 创 了 只 要 三 次 观 察 ， 就 可 以 来 计 算 星 球 轨 道 的 方 法 。 他 可 以 极 准 确 地 预 测 行 星 的 位 置 。 果 然 ， 谷神 星 准 确 无 误 的 在 高 斯 预 测 的 地 方 出 现 。 这 个 方 法 他 当 时 没 有 公 布 就 是 最 小 二 乘 法 (Method of Least Square

9、)。1809 年 他 写 了 天 体 运 动 理 论 二 册 ， 第 一 册 包 含 了 微 分 方 程 、 圆 椎 截 痕 和 椭 圆 轨 道 ， 第 二 册 他 展 示 了 如 何估 计 行 星 的 轨 道 。 高 斯 在 天 文 学 上 的 贡 献 大 多 在 1817 年 以 前 ， 但 他 仍 一 直 做 着 观 察 的 工 作 到 他 七 十 岁 为 止 。 虽然 做 着 天 文 台 的 工 作 ， 他 仍 抽 空 做 其 他 研 究 。 为 了 用 积 分 解 天 体 运 动 的 微 分 力 程 ， 他 考 虑 无 穷 级 数 ， 并 研 究 级数 的 收 敛 问 题 ， 在 1

10、812 年 ， 他 研 究 了 超 几 何 级 数 (Hypergeometric Series)， 并 且 把 研 究 结 果 写 成 专 题 论 文 ，呈 给 哥 廷 根 皇 家 科 学 院 。1816 年 左 右 , 高 斯 得 到 非 欧 几 何 的 原 理 。 他 还 深 入 研 究 复 变 函 数 ， 建 立 了 一 些 基 本 概 念 发 现 了 著 名 的 柯 西 积分 定 理 。 他 还 发 现 椭 圆 函 数 的 双 周 期 性 ， 但 这 些 工 作 在 他 生 前 都 没 发 表 出 来 。1820 到 1830 年 间 ， 高 斯 为 了 测 绘 汗 诺 华 (Han

11、over)公 国 (高 斯 住 的 地 方 )的 地 图 ， 开 始 做 测 地 的 工 作 ， 他 写了 关 于 测 地 学 的 书 ， 由 于 测 地 上 的 需 要 ， 他 发 明 了 日 观 测 仪 (Heliotrope)。 为 了 要 对 地 球 表 面 作 研 究 ， 他 开 始对 一 些 曲 面 的 几 何 性 质 作 研 究 。1827 年 高 斯 出 版 了 关 于 曲 面 的 一 般 研 究 (Disquisitiones generales circa superficies curva)， 全面 系 统 地 阐 述 了 空 间 曲 面 的 微 分 几 何 学 ， 并

12、提 出 内 蕴 曲 面 理 论 。 高 斯 的 曲 面 理 论 后 来 由 黎 曼 发 展 。在 1830 到 1840 年 间 ， 高 斯 和 一 个 比 他 小 廿 七 岁 的 年 轻 物 理 学 家 -韦 伯 (Withelm Weber)一 起 从 事 磁 的 研 究 ，他 们 的 合 作 是 很 理 想 的 ： 韦 伯 作 实 验 ， 高 斯 研 究 理 论 ， 韦 伯 引 起 高 斯 对 物 理 问 题 的 兴 趣 ， 而 高 斯 用 数 学 工 具 处 理 物理 问 题 ， 影 响 韦 伯 的 思 考 工 作 方 法 。 1833 年 高 斯 从 他 的 天 文 台 拉 了 一

13、条 长 八 千 尺 的 电 线 ， 跨 过 许 多 人 家 的 屋 顶 ，一 直 到 韦 伯 的 实 验 室 ， 以 伏 特 电 池 为 电 源 ， 构 造 了 世 界 第 一 个 电 报 机 。 1835 年 高 斯 在 天 文 台 里 设 立 磁 观 测 站 ，并 且 组 织 磁 协 会 发 表 研 究 结 果 ， 引 起 世 界 广 大 地 区 对 地 磁 作 研 究 和 测 量 。 1840 年 他 和 韦 伯 画 出 了 世 界 第 一张 地 球 磁 场 图 ， 而 且 定 出 了 地 球 磁 南 极 和 磁 北 极 的 位 置 。 1841 年 美 国 科 学 家 证 实 了 高

14、斯 的 理 论 ， 找 到 了 磁 南 极和 磁 北 极 的 确 实 位 置 。【 几 个 故 事 】幼 年 聪 慧很 多 伟 大 的 数 学 家 在 少 年 时 就 表 现 出 数 学 方 面 的 特 别 才 能 ， 然 而 高 斯 的 早 慧 确 是 令 人 惊 讶 的 。 高 斯 是 一 对 普 通夫 妇 的 儿 子 。 他 的 母 亲 是 一 个 贫 穷 石 匠 的 女 儿 ， 虽 然 十 分 聪 明 ， 但 却 没 有 接 受 过 教 育 ， 近 似 于 文 盲 。 在 她 成 为 高 斯父 亲 的 第 二 个 妻 子 之 前 ， 她 从 事 女 佣 工 作 。 他 的 父 亲 曾

15、做 过 园 丁 ， 工 头 ， 商 人 的 助 手 和 一 个 小 保 险 公 司 的 评 估 师 。当 高 斯 三 岁 时 便 能 够 纠 正 他 父 亲 的 借 债 账 目 的 事 情 ， 已 经 成 为 一 个 轶 事 流 传 至 今 。 他 曾 说 ， 他 在 麦 仙 翁 堆 上 学 会 计算 。 能 够 在 头 脑 中 进 行 复 杂 的 计 算 ， 是 上 帝 赐 予 他 一 生 的 天 赋 。 高 斯 用 很 短 的 时 间 计 算 出 了 小 学 老 师 布 置 的 任 务 ：对 自 然 数 从 1 到 100 的 求 和 。 他 所 使 用 的 方 法 是 ： 对 50 对

16、构 造 成 和 101 的 数 列 求 和（ 1 100， 2 99， 3 98） ， 同 时 得 到 结 果 ： 5050。 这 一 年 ， 高 斯 只 有 9 岁 。非 欧 几 何公 元 前 3 世 纪 ， 欧 几 里 得 从 一 些 被 认 为 是 不 证 自 明 的 事 实 出 发 ， 通 过 逻 辑 演 绎 ， 建 立 第 一 个 几 何 学 公 理 体 系 欧 几 里 得 几 何 学 。 这 个 理 论 受 到 后 世 数 学 家 的 普 遍 称 颂 ， 被 公 认 为 数 学 严 格 性 的 典 范 ， 但 人 们 感 到 欧 氏 几 何 中 仍存 在 某 种 瑕 疵 ， 其 中

17、 最 使 数 学 家 们 关 注 的 是 欧 氏 公 理 系 统 中 的 所 谓 “第 五 公 设 ”（ 即 平 行 公 理 ） 。 大 家 普 遍 认为 ， 这 条 公 理 所 说 明 的 事 实 (通 过 直 线 外 一 点 能 且 仅 能 作 一 条 平 行 直 线 ） 并 不 像 欧 几 里 得 的 其 他 公 理 那 样 显 而 易 见 ，它 似 乎 缺 少 作 为 一 条 公 理 的 自 明 性 。 因 此 ， 尽 管 人 们 并 不 怀 疑 平 行 公 理 本 身 ， 但 却 怀 疑 它 作 为 公 理 的 资 格 。人 们 试 图 用 其 他 公 设 来 证 明 第 五 公 设

18、 ， 但 都 以 失 败 告 终 。 到 了 十 九 世 纪 二 十 年 代 ， 俄 国 喀 山 大 学 教 授 罗 巴 切夫 斯 基 在 证 明 第 五 公 设 的 过 程 中 ， 他 走 了 另 一 条 路 子 。 他 提 出 了 一 个 和 欧 式 平 行 公 理 相 矛 盾 的 命 题 ， 用 它 来 代 替 第五 公 设 ， 然 后 与 欧 式 几 何 的 前 四 个 公 设 结 合 成 一 个 公 理 系 统 ， 展 开 一 系 列 的 推 理 。 他 认 为 如 果 这 个 系 统 为 基 础 的 推理 中 出 现 矛 盾 ， 就 等 于 证 明 了 第 五 公 设 。 人 们

19、知 道 ， 这 其 实 就 是 数 学 中 的 反 证 法 。 但 是 ， 在 他 极 为 细 致 深 入 的 推 理过 程 中 ， 得 出 了 一 个 又 一 个 在 直 觉 上 匪 夷 所 思 ， 但 在 逻 辑 上 毫 无 矛 盾 的 命 题 。 例 如 ， 在 这 种 几 何 里 ， 三 角 形 的 内 角和 小 于 180 度 。 最 后 ， 罗 巴 切 夫 斯 基 得 出 两 个 重 要 的 结 论 ： 第 一 ， 第 五 公 设 不 能 被 证 明 。 第 二 ， 在 新 的 公 理 体 系中 展 开 的 一 连 串 推 理 ， 得 到 了 一 系 列 在 逻 辑 上 无 矛 盾

20、 的 新 的 定 理 ， 并 形 成 了 新 的 理 论 。 这 个 理 论 像 欧 式 几 何 一 样是 完 善 的 、 严 密 的 几 何 学 。 这 种 几 何 学 被 称 为 罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 。 这 是 第 一 个 被 提 出 的 非 欧 几 何 学 。 罗 巴 切 夫 斯 基的 新 思 想 不 仅 是 对 欧 几 里 得 几 何 学 2000 年 权 威 的 冲 击 ， 而 且 是 对 常 识 的 挑 战 ， 其 所 导 致 的 思 想 解 放 对 现 代 数 学和 现 代 科 学 有 着 极 为 重 要 的 意 义 。 他 生 前 并 没 有 得 到 他 的 当 代

21、 人 的 赞 赏 ， 相 反 遭 到 嘲 弄 。 直 到 他 去 世 后 ， 由 于 高 斯对 他 的 学 说 予 以 肯 定 ， 他 的 思 想 才 得 到 普 遍 的 理 解 和 承 认 。其 实 ， 最 早 产 生 非 欧 几 何 基 本 思 想 的 是 德 国 数 学 家 高 斯 （ 有 书 信 为 证 ） 。 高 斯 早 在 15 岁 时 就 开 始 考 虑 第 五公 设 问 题 ， 并 亲 自 做 了 实 地 测 量 ， 来 讨 论 我 们 生 存 的 空 间 存 在 非 欧 几 何 性 质 的 可 能 性 。 然 而 高 斯 深 知 传 统 思 想 的 顽固 ， 为 了 避 免

22、受 人 的 攻 击 和 耻 笑 ， 一 直 将 自 己 的 发 现 秘 而 不 宣 。 他 对 待 新 思 想 的 这 种 保 守 立 场 使 他 在 有 生 之 年 未 能给 予 非 欧 几 何 以 根 本 的 推 动 。 几 乎 与 罗 巴 切 夫 斯 基 同 时 ， 匈 牙 利 数 学 家 鲍 耶 雅 诺 什 也 发 现 了 第 五 公 设 不 可 证 明 和非 欧 几 何 学 的 存 在 并 将 他 的 结 果 呈 给 高 斯 。 但 高 斯 说 ： “我 不 能 赞 扬 你 ， 因 为 赞 扬 你 就 是 赞 扬 我 自 己 ”。 这 使鲍 耶 感 到 非 常 气 愤 和 沮 丧 ，

23、 甚 至 怀 疑 高 斯 剽 窃 了 他 的 成 果 。高 斯 的 谨 慎 是 他 一 贯 的 风 格 。 高 斯 一 生 共 发 表 155 篇 论 文 ， 他 对 待 学 问 十 分 严 谨 ， 只 是 把 他 自 己 认 为 是 十 分成 熟 的 作 品 发 表 出 来 。 他 自 己 曾 说 ： “宁 可 发 表 少 ， 但 发 表 的 东 西 是 成 熟 的 成 果 ”。 据 说 他 发 表 的 成 果 是 他 写出 来 的 十 分 之 一 ， 而 他 写 出 来 的 成 果 是 他 想 到 的 十 分 之 一 。 他 的 想 法 实 在 多 到 来 不 及 记 录 下 来 了 ！高

24、 斯 的 墓高 斯 的 墓 碑 上 刻 着 一 个 十 七 角 星 的 几 何 图 案 。 这 个 起 因 于 高 斯 在 大 学 二 年 级 发 现 正 17 边 形 的 尺 规 作 图 成 果 。高 斯 在 古 典 语 文 和 数 学 方 面 都 具 有 极 高 天 赋 ， 当 时 他 正 徘 徊 在 选 择 文 学 还 是 数 学 作 为 终 身 职 业 的 人 生 选 择 路 口 上 。在 这 个 关 键 的 时 刻 ， 他 发 现 了 用 直 尺 和 圆 规 作 出 正 17 边 形 的 方 法 ， 用 代 数 的 方 法 解 决 二 千 多 年 来 的 几 何 难 题 。而 且 他

25、 还 得 出 了 更 漂 亮 的 结 果 ， 给 出 了 能 用 直 尺 和 圆 规 作 出 来 的 正 多 边 形 的 边 数 公 式 。 正 是 这 个 发 现 让 他 最 终 选 择了 数 学 作 为 自 己 的 终 身 职 业 。 他 也 视 此 为 生 平 得 意 之 作 ， 还 交 待 要 把 正 十 七 边 形 刻 在 他 的 墓 碑 上 ， 但 后 来 他 的 墓 碑上 并 没 有 刻 上 十 七 边 形 ， 而 是 十 七 角 星 ， 因 为 负 责 刻 碑 的 雕 刻 家 认 为 ， 正 十 七 边 形 和 圆 太 像 了 ， 大 家 一 定 分 辨 不 出来 。【 历 史

26、 的 评 价 】 高 斯 和 阿 基 米 德 、 牛 顿 一 样 是 人 类 历 史 上 最 伟 大 的 数 学 家 之 一 ， 被 人 们 尊 敬 为 “数 学 王 子 ”。美 国 的 着 名 数 学 家 贝 尔 (E.T.Bell)， 在 他 著 的 数 学 工 作 者 (Men of Mathematics) 一 书 里 曾 经 这 样 批 评高 斯 ： “在 高 斯 死 后 ， 人 们 才 知 道 他 早 就 预 见 一 些 十 九 世 的 数 学 ， 而 且 在 1800 年 之 前 已 经 期 待 它 们 的 出 现 。 如果 他 能 把 他 所 知 道 的 一 些 东 西 泄 漏

27、 ， 很 可 能 现 在 数 学 早 比 目 前 还 要 先 进 半 个 世 纪 或 更 多 的 时 间 。 阿 贝 尔 (Abel)和 雅 可 比 (Jacobi)可 以 从 高 斯 所 停 留 的 地 方 开 始 工 作 ， 而 不 是 把 他 们 最 好 的 努 力 花 在 发 现 高 斯 早 在 他 们 出 生 时 就知 道 的 东 西 。 而 那 些 非 欧 几 何 学 的 创 造 者 ， 可 以 把 他 们 的 天 才 用 到 其 他 力 面 去 。 ” 这 种 批 评 何 尝 不 是 对 高 斯 才华 的 至 高 赞 扬 ！高 斯 一 生 勤 奋 好 学 ， 多 才 多 艺 ， 喜 欢 音 乐 和 诗 歌 ， 懂 多 国 文 字 。 62 岁 时 学 习 俄 文 并 在 极 短 时 间 内 达 到 可 以用 俄 文 写 作 的 程 度 。 晚 年 他 还 一 度 学 习 梵 文 。 在 慕 尼 黑 博 物 馆 的 高 斯 画 像 上 有 这 样 一 首 题 诗 ：他 的 思 想 深 入 数 学 ， 空 间 ， 大 自 然 的 奥 秘 ， 他 测 量 了 星 星 的 路 径 ， 地 球 的 形 状 和 自 然 力 。