1、模糊数学方法在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利” ；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重” ，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论
2、基础是模糊集。模糊集的理论是 1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近 10 多年来发展很快。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在 DPS 系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功
3、能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。第 1 节 模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合 A，空间中任一元素 x，要么 xA，要么 xA，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为： x()10A(x)即为集合 A 的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取 0、1 两值推广到模糊集中为0, 1区间。定义 1 设 X 为全域，若 A 为 X 上取值0, 1的一个函数，则称 A 为模糊集。如给 5 个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以 100，这样给定了一个从域 X=x 1 , x2 , x3 , x4, x5到0, 1 闭区间的映射。x1：85 分，即 A(x1)
4、=0.85x2：75 分， A(x2)=0.75x3：98 分， A(x3)=0.98x4：30 分， A(x4)=0.30x5：60 分， A(x5)=0.60这样确定出一个模糊子集 A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。定义 2 若 A 为 X 上的任一模糊集，对任意 0 1，记 A=xx X, A(x),称A 为 A 的 截集。A 是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。 截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集 A 是一个具有游移边界的集合，它随 值的变小而增
5、大，即当 1 0.2200 0.13250.1500 0.1500 0.09040.2900 0.2900 0.17470.0000 0.2200 0.13250.3400 0.3400 0.20480.0000 0.2200 0.13250.0000 0.2200 0.1325第 6 节 综合评判的逆问题1. 方法简介前面的模糊综合评判和模糊关系求解是综合评判的正反两个方面。由于权重分配 A 的确定并无通用公式，所以它的正确与否往往只能取决于专家的判断或经验，而这些又是很难用数学公式表达出来的。与之相反，权重分酏 B 可以通过实践的检验建立起来。由 R和 B 反过来求 A，有利于总结专家的经
6、验，使它得到量化。同样道理，由 A 和 R 而求 R 可以帮助我们检验建立起来的数学模型是否合适。从这个角度来看，综合评判的逆问题比其正问题更有意义。上面介绍的模糊关系方程求解，即求解综合评判逆问题时，其方程可能有解，也可能无解。有解时，解也可能有多个，这需根据实际情况作出恰当选择。若无解，又应当怎么办呢？ DPS 系统提供根据贴近原则解模糊关系方程的方法。首先选择一些备择解的集合，设它们为 J=A1, A2, , An，然后用贴近度原则在备择解集A1, A2, , An 中选取一个 Ai 作为模糊关系方程 XR=B 中的 X。将 Ai 与 R 进行合成： n2求出 A 之后，再用贴近度公式
7、(,),()ABABiii12分别求出 B 与 A1, A2, , An 的贴近度，选最大者作为近似的 X*，将它作为方程的近似解。2. DPS 平台操作示例根据给定的评估数据(评判矩阵 R、最终的评价结果 B 和备择权重方案 A, 给出与预定若干个权重数分配方案的贴近程度，从而确定出该类评估近似的权分配系数。这是一种近似求解模糊关系方程的方法，也可用来评价某一类量对于某些标准定量的贴近程度。(1) 评估集合。评价矩阵的数据编辑和定义格式是行为因素集，列为评语集。每一行为因素集 U 中某一单因素的评价结果，最后一行存放整个因素集 U 的综合评价结果，再将数据定义成数据块。例如，对某品牌的自行车
8、进行评价，已知因素集合 U=外型, 质量, 价格，评语集合 V=很好, 较好 , 一般, 较差 ，其评价矩阵数据可按图 307 格式定义。因素评语 很好 较好 一般 差外型 0.2 0.7 0.1 0.0质量 0.0 0.4 0.5 0.1价格 0.2 0.3 0.4 0.1最终评价值 0.0 0.8 0.2 0.0图 307 贴近度解模糊关系方程评语集及评价结果数据编辑定义图(2) 可能的权分配方案集合( A)的矩阵数据编辑和定义。每一行为一个权的分配方案，每一列为某一个因素的权重。数据编辑后将数据定义成公式块。如上例根据对顾客的心理分析，提出了四种可能的权分配方案，其数据按图 308 方式
9、编辑和定义。注意，此处的数据块定义时，须在按下 Ctrl 的同时拖动鼠标。外型 质量 价格第一种权分配方案: 0.2 0.50 0.30第二种权分配方案: 0.5 0.30 0.20第三种权分配方案: 0.2 0.30 0.50第四种权分配方案: 0.7 0.25 0.05图 308 贴近度解模糊关系方程权重备择方案数据编辑定义图完成评估数据(评判矩阵 R)、最终的评价结果 B 以及备择权重分配 A 的数据的编辑、定义之后，再进入菜单操作，在菜单方式下选择“模糊数学综合评判逆问题”分析功能项，回车后便可得到归一化之后的分析结果。分析结果.贴近度分析结果第 1 组的贴近度=0.6500第 2 组的贴近度=0.7000第 3 组的贴近度=0.6000第 4 组的贴近度=0.8000.近似的权重方案第 1 个因素的权数=0.7000第 2 个因素的权数=0.2500第 3 个因素的权数=0.0500从上述分析结果可以看出，在权重备择集中应选 A4 作为近似的 X*，即X* = (0.7, 0.25, 0.05)采用此方法，如果备择权分配方案太少，计算结果会不太理想。因此在实际应用时，为取得较满意的结果，应当尽可能多地建立一些权重分配方案。
