1、有关无理数的数学史公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯在中国数学家商高之后约六百年发现了勾股定理。但这种发现，在当时仅局限于直角三角形的三条边是整数或分数的情况。毕达哥拉斯的学生希伯斯应用勾股定理研究了边长为 1 的正方形的对角线，发现对角线长既非整数又非分数，就是说它不是有理数，而是一种新数。可是，当时的毕达哥拉斯派认为，整数是上帝创造的，而分数可以看作是两个整数的比，整数是完美无缺的，世界上除此而外，不可能再有其它什么数了。他们公然把这种新数说成是无理的数，并把英勇的数学家希伯斯残酷地抛进大海。由于历史的这种局限， “无理数”这个名称一直沿用至今。但人们早已清楚，“无理数”并非无理，它是很有
2、理的数，是对有理数缺陷的合理补充。最早出现的无理数也与计数、测量有关。乘法的重复进行产生了乘方，2的 3 次方就是三个 2 相乘，然而人们提出了这个疑问，哪个数的平方会等于 2呢？无理数的概念初步形成。以下是载于欧几里德几何原本的关于 不是有理数的一个证明 ：设2是既约分数 ，即 = ，则 ，这表明 是偶数，p 也是偶数，设2qp22pq，得 ，于是 q 也是偶数，这与 是既约分数矛盾。kp2k毕竟由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，所以，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至 19 世纪以前的实际做法。它看起来很通俗，但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是
3、无限不循环的，也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除。从整数产生有理数曾经主要是根据测量、计数的需要，但现在要回到始点从头做起。有一个需要解决的重要问题是，这两种实数定义所规定的这些“东西”在抽象意义上是不是相同的？如果不能肯定回答岂不会带来一片混乱，何况还会有其它形式的实数定义。1900 年数学家希尔伯特提出著名的 23 个数学问题中有一个这样的证明：若 是代数数（除 0 与 1） 、 是无理的代数数，则 是非代数数。数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系，在坚实的基础上，任何闲言碎语都是微不足道的。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用的精彩正是数学的魅力之所在。
