1、数学对社会进步的推动作用 数学在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了人文社会科学领域，并在当代使人文社会科学的数学化成为一种强大的趋势。与此同时，数学在提高全民素质、培养适应现代化需要的各级人才方面也显现出特殊的教育功能。数学在当代社会中有许多出入意料的应用，在许多场合
2、，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。一、数学与当代科学技术在科学发展的进程中，数学的作用日见凸现。一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学；另一方面，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重身份，现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是运用数学思想和方法。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实
3、中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更广泛和方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。 电子计算机的发明与使用是第二次世界大战以来对人类文明影响最为深远的科技成就之一。电子计算机是数学与工程技术相结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。通用计算机的概念最先是由数学家巴贝奇提出的；图灵从数学上证明了制造通用数字计算机的可能性；冯诺伊曼的程序存储等思想至今仍是现代计算机的设计指南。毫无疑问，计算机的进一步发展，包括新型计算机（如大规模并行计算机、光计算机、量
4、子计算机、生物计算机等）的研制，仍将借助于适当的数学理论与思想。电子计算机之所以有强大的功能，除了它本身独特的设计思想外，最主要的是因为有了软件的支持。计算机是由硬件和软件两部分组成的，如果说硬件是它的躯体，那么软件就是它的灵魂。软件的核心是算法，所以它是一种数学。 1997 年， IBM 公司制造的“深蓝”计算机惊人地一举击败了当今世界上国际象棋第一高手俄罗斯的卡斯帕罗夫，世界为之轰动。“深蓝”之所以能有如此水平，主要是由于十分巧妙的算法以及高速计算机的支持。 传统的观点认为，理论与实验是科学研究的两个基本方法。由于 20 世纪前半期数学的巨大发展，它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问
5、题可以转化为数学问题。第二次世界大战以来，社会各方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。战后电子计算机（电脑）及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟等）都可以进行。如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。天文学是最早运用数学的科学领域，这可以上溯到 2 000 多年前的古希腊时代。 17 世纪，牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质是数学的而不是物理学的。借助数学方法和计算技术，天体力学在当代获得了引人注目的成就。例如，应用牛顿定律和高速计算机，天文学家们已经预测了
6、太阳系在未来 2 亿年内的运动情形。 另一个著名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度常常是以光年计算的（例如，离太阳系最近的恒星是半人马座比邻星，距离大约为 4.3 光年；银河系的范围约为 10 万光年；最近的河外星系的距离约为 100 万光年），其时间常常是以亿年计算的（例如，太阳系是在距今 50 46 亿年前形成的），天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其他许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及极为复杂的多变量微分方程和积分方程。例如，太阳表面的温度为 5770K ，白矮
7、星的密度为 10 5 10 7 克厘米 3 ； 20 世纪 20 年代，人们发现天狼星的一颗伴星，其质量约为太阳的 1.053 倍，但半径却只有太阳半径的 00074 倍，平均密度高达 10 6克厘米 3 ，温度约 10 7 K ；中子星的密度为 10 13 10 16 克厘米 3等。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现以及计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。 一位物理学家写道：“贯穿整个物理科学的曲折变化的历史，有一个仍然不变的因素，就是数学想像力的绝对重要性。每个世纪都有它特有的科学预见和它特有的数
8、学风格。每个世纪物理科学的主要进展都是在经验的观察与纯数学的直觉相结合的引导下取得的。对于一个物理学家来说，数学不仅是计算现象的工具，也是得以创造新理论的概念和原理的主要源泉。”相对论和量子力学是现代物理学的核心领域，它们的建立与发展都与数学有密切关系。 1905 1915 年，爱因斯坦发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是认识到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径。例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁掠过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播的，光线路径的弯曲实际上表明引力场
9、的空间是弯曲的。空间弯曲的程度是由宇宙中物质的分布决定的，一个区域内的物质密度越大，空间的曲率也就越大。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经准备好了：在此之前半个世纪，数学家黎曼就研究了弯曲的三维空间的问题；广义相对论所需要的另一个数学工具张量分析也已经在 19 世纪末初步建立。 1900 年，德国物理学家普朗克发现，像物质一样，能量也只能被分为有限的份数，而不是无穷多份。他的这个工作的中心是一个数学关系，它表明，量子的能量可以用辐射的频率乘以一个新的基本自然常数来计算，现在这个常数就被称为普朗克常数。 1925 年 7 月，德国物理学家海森堡发表了论文关于运动学和动力
10、学关系的重新解释，这篇论文从丹麦物理学家玻尔的对应原理出发，由经典运动方程加量子条件，得到了一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程，并用这个方程求解一个较简单的非谐振子量子力学系统，得到了与实验相符的频率和跃迁几率。两个月后，德国物理学家玻恩及其学生 P 约旦发表了论文论量子力学，用矩阵代数的形式系统地表示海森堡理论，矩阵元对应于可观察量，矩阵乘法规则与海森堡运算规则一致，得出的矩阵方程相当于海森堡量子条件。随后，他们与海森堡合作发表了论文论量子力学，系统地发展起矩阵形式的量子力学体系，成功地处理了一系列问题，从而建立了量子力学的基本形式之一矩阵力学。矩阵论是 19 世纪中期由英国数学家凯莱
11、在研究线性变换不变量问题时开创的，矩阵代数的运算与通常的代数运算有一个明显的差异：矩阵乘法不满足交换律。后来人们认识到，这个不对称的数学特点联系着这样一个事实：仅仅是测量的前后次序不同，微观世界就可能给出不同的结果。这是量子世界所显示的许多奇特性质之一。从 1926 年 1 月 27 日到 6 月 23 日，奥地利物理学家薛定谔接连发表了 6 篇关于量子力学的论文，致力于用一个全新的数学量波函数描述微观客体在时空中的定态和运动变化，并建立起相应的波动方程，以数学语言表达了在空间以特定形式传播或振动的波的性质，给出了波函数随空间坐标和时间变化的关系。求解这些偏微分方程得出的本征值就是量子化假设中
12、的分立能级，对一系列实例得出了与实验相符的理论解。论文还分析了微观系统和宏观的关系，证明了这种波动力学与矩阵力学在数学上的等价性。还有一件事情值得一提： 1924 年，希尔伯特出版了数学物理方法，它恰好为第二年出现的量子力学准备了工具。在地球科学中运用数学方法，产生了计量地理学、数学地质学、数值天气预报等一系列研究领域与方法，并在地震预报、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。此外，现代地球科学中还广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法，许多实质性的进展依赖于有关的数学理论与方法的发展。数学在地球科学中不仅已经显示出巨大的作用，而且必将产生更为广泛和深刻的影响。
13、 19 世纪末，挪威学者已将流体力学引入气象学研究， 1922 年理查森提出数值解法，但只有冯诺伊曼等借助计算机与适当的数值方法才于 1952 年首次实现数值天气预报。与气象学一样，当前一系列科学与工程领域的发展都依赖于计算机与计算方法，这导致了大规模科学计算的迅猛发展。 为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图像拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面图景投影到照相底片的平面上。这两个平面如果不平行，底片上的图像就会变形
14、，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。 1967 年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（ Benoit Mandelbrot ， 1924 ）发表了不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维一文，其中首先注意到更早的理查德森（ Richardson ）已经作出的研究：测量海岸线时，如果测量过程越来越精细，那么海岸线就会显露出越来越多的细节，而测量结果就会变得越来越大，这意味着海岸线是无限长的。这一结论令人困惑。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于 1977 年出版了分形：形状、机遇和维数，标志着分
15、形理论的正式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学也应运而生。 1998 年，当时的美国副总统戈尔提出了“数字地球”的构想，成为近年来地球科学领域最引入注目的话题之一。通俗地说，所谓数字地球就是一个数字化的地球仪，它可以按照统一的地球空间坐标，将地球的自然地理信息
16、、社会经济数据、人文信息等组织起来，构成一个具有多分辨率、多类型、多时项的三维地球数据集。这种数字地球可以提供普通地球仪无法提供的许多重要信息，使人们可以任意选择、逐级放大或缩小所感兴趣的观察对象，可以快速而形象地了解地球上各种宏观、微观情况。实现数字地球的基本前提是计算技术的支撑。气象、海洋、地震、遥感、资源探测、环境、生态等各种数据，其数量都是大得难以想像的，必须借助电子计算机并运用强大的科学计算方法加以处理，以便从中得到有关地球的各种宏观和微观规律。 20 世纪以来，数学在化学中的作用日益广泛和深入，不仅已经成为化学领域不可缺少的工具，而且由于数学与化学的结合，产生了许多交叉学科，如数理
17、化学、化学动力学、量子化学、分子拓扑学、计算机化学等。当今化学由定性研究迅速向定量化研究的方向发展，与之相适应的数学及其算法不断出现。 群论是数学家们为探求五次以上一般高次方程的公式解而于 19 世纪创立的，如今它已在化学中获得了极为广泛的应用，如对分子对称性的研究，对分子振动的研究，对晶体结构的研究等，都使用了群论方法。此外，化学研究的需要也促进了群论中一系列相关理论与方法的发展。 20 世纪 80 年代以前，人们认为碳只能以两种主要形式出现：金刚石和石墨。但是，数学家受到十二面体的旋转群启发，推测自然界有可能存在 C 60 ，因为在数学上它有十分稳定的结构。 1985 年，化学家与物理学家
18、合作，造出了由 60 个碳原子构成的形如足球的 C 60 分子，引起了科学界的极大震动。后来科学家又发现了 C 50 ， C 70 ， C 84 ， C 120 等各种各样的多面体碳分子，化学家根据它们的对称性对各种分子进行分类，群论在阐明它们的结构和性质方面特别有用。 拓扑学研究的是图形经过连续变形之后仍能保持的性质。分子拓扑学的基本依据是：尽管分子的几何参数（如原子间的距离、化学键的键角）能够测定，但由于存在着各种分子内的运动（如分子振动、内转动等），原子在分子中的位置是不固定的。同时，分子的几何性质也受到周围环境不可忽视的影响，例如在溶液情况下溶剂的影响，在晶体情况下压力的影响等。由分子
19、内运动和由各种外部影响所引起的分子几何性质的改变，只要没有化学键的破坏与形成，就可以看做连续的形变，此时，分子中原子间相互关联的性质保持不变。分子中原子相互连通的全部信息确定了分子的拓扑性质。 20 世纪 60 年代，拓扑学已经被广泛地应用到化学领域，讨论配位络合物、平面不饱和碳体系的金属复合物、金属原子簇化合物和硼氢化合物等。人们越来越清楚地认识到拓扑性质是分子的重要性质。此后，关于分子结构的拓扑理论进一步发展起来，分子电荷分布的拓扑性质、分子结构的稳定性、分子结构变化的数学模式、化学键的拓扑理论、核势能与能量之间的拓扑关系以及分子体系势能面的拓扑性质等都逐渐建立，进而形成了一门以研究分子的
20、拓扑性质及其应用为主要内容的分子拓扑学，并已成为分子结构和分子动力学理论的重要组成部分。 19 世纪后期，恩格斯曾指出，数学在生物学中的应用等于零。 20 世纪以来，数学出入意料地与生命科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域生物数学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学、生物微分方程、生态系统分析、生物控制、运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的生物学分支，如数学生态学、数量生理学、数量遗传学、数量分类学、数量生物经济学、传染病动力学、数理医药学、分子
21、动力学、细胞动力学、人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每个领域。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力和多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿了解生命和智力。 DNA 分子是生物传宗接代的主要物质基础，它是遗传信息存储的基本单位，许多有关生命起源的重大问题都依赖于对这种特殊分子的性质的深入了解。因此，关于 DNA 分子的结构与功能问题，几十年来一直吸引着许多生化学家和遗传学家们的注意。最近十几年来，科学家们越来越清楚地认识到， DNA 分子的三维空间的拓扑构型对它在细胞里如何发挥其功能有重要影响。 借助数学
22、模型方法，数学生物学家们解释了为什么处于哺乳动物体积分布谱两端的大象和老鼠身上的颜色比较均匀一致，而不太大也不太小的动物（如斑马、金钱豹等），它们身上的花纹就会很不寻常。数学模拟可以解释为什么世界上有身上是斑点、尾巴是条纹的动物，却没有身上是条纹、尾巴是斑点的动物。例如，金钱豹的尾巴太细，使魔点都合并成了条纹。在当代，数学模型被广泛应用于生理学领域，例如心脏、肾、胰脏、耳朵和许多其他器官的计算模型。近年来，随着计算技术和数值算法的迅猛发展，人们已经能够充分详细地模拟人体流体动力学功能并运用于认识和治疗疾病。数学模型还使高速计算机在药物成分设计和染色体组织的分析方面得以广泛应用。 X 射线计算机
23、断层扫描仪（简称 CT ）的问世是 20 世纪医学中的奇迹，被认为是放射医学领域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物质有不同的 X 射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过 x 射线透射，只能测量到人体的直线上的 x 射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过这个平均值求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的拉东变换解决了这个问题，如今拉东变换已经成为 CT 理论的核心。首创 CT 理论的 A.M 科马克及第一台 CT 制作者 C.N. 洪斯菲尔德因而获得了 1979 年诺贝尔医学和生理学奖。另外，
24、20 世纪 80 年代后期兴起的磁共振显像（ MRI ）的主要技术之一也是数学方面的，它以 19 世纪发展起来的傅立叶变换的快速精确的反演为主要特征。 医学中应用数学方法的另一个典型例子是计算机数值诊断，即利用数学的信息理论、数据处理技术以及电子计算机这个强有力的工具，对病患者的症状表现和各种化验和检验指标进行数学加工分析，作出疾病的定量诊断结果。临床诊断是医生根据自己的经验和理论知识的推理作出最有可能的判断，诊断的准确性与医生本人的经验和知识水平有着直接的关系。而数值诊断则不然，它依赖于大量的历史诊断记录和对这些资料的数学处理方式。已诊断的病例越多，症状资料越详细，处理方式越得当，就越能得到
25、较确切的诊断结果。 随着科学技术的进步，虽然单个元部件的可靠性不断得到改善，但是各类系统日趋复杂，要求它完成的功能也更广泛。单个元部件失效引起整个系统失效的代价越来越昂贵，会在经济上、信誉上造成巨大损失，有时还会造成人员伤亡及政治上、心理上的严重后果。例如， 1986 年 1 月 28 日，美国“挑战者号”航天飞机在起飞后 73 秒突然爆炸， 7 名宇航员不幸遇难。当时的美国总统里根立即任命了以前国务卿罗杰斯为首的总统调查委员会，经过历时 4 个月的详尽调查，确认造成灾难的技术上的直接原因是：航天飞机右侧固体火箭助推器连接处的“ O ”形合成橡胶密封圈，由于发射时气温过低而变硬，失去密封作用，
26、导致外挂燃料箱的燃料渗入助推器点燃，最终起火爆炸，造成了这一举世震惊的悲剧。实际上，像大型客机、核电站、宇航系统、军事指挥系统、大型计算机等都要求有极高的可靠性。如何正确估计大型系统的可靠性，是个重要的实际问题。研究在各种措施下每个系统的概率规律性、可靠性程度、在给定时间内的失效数，以及在给定条件（如投资额、体积、质量等）下应采取怎样的措施使系统可靠性达到最大的数学理论，称为系统的可靠性理论。 现代社会是信息化的社会，信息的获得、存储与传递都是十分重要的问题，而密码则是一种独特而重要的信息传递方式，其重要性在军事对抗、政治斗争、商业竞争等涉及不同利益集团的对抗或竞争中是不言而喻的。一方面是有效
27、地在我方内部迅速准确地传递各种信息而不被对方破译，另一方面是寻找破译对方信息的有效方法。因此，密码学的研究一直是世界各国政府和军方特别关注的。此外，密码学在控制论、语言学、分子生物学等领域也有着重要的发展前景。现代密码学中几乎充满了数学，代数学、数论、组合数学、几何学、概率统计以及一些较新的数学分支，如信息论、自动机理论等，都对密码学的发展作出了贡献。近年来，计算机科学（尤其是算法论与计算复杂性理论）更对密码学产生了深刻的影响。 1976 年 11 月，美国斯坦福大学的两位电工学工程师迪费和海尔曼发表了论文密码学的新方向，用他们提出的陷门单向函数发明了公开密钥码体制。传统的保密密钥码，其加密过
28、程与解密过程是对称的，加密密钥与解密密钥是相同的。陷门单向函数 f （ n ）由一个重要性质：仅由已知的计算 f （ n ）的算法，要想找出计算其反函数厂 f -1（ l ）的容易算法非常困难，从而实际上是不可能的。这样就可以用 f （ n ）作加密密钥并将其公开，用它的反函数 f -1（ l ） 作为解密密钥并严格保密。利用陷门单向函数，就可以构成如下的公开密钥码体制：有一个部门，下设 A,B,C ，若干机构，各机构均有自己的陷门单向函数，分别为 f A (n) ， f B (n) ， f c (n) ，各函数的算法分别作为各部门的编码（加密 ) 方法而公开，诸 f A-1(l) ， f B
29、-1(l) ， f C-1(l) ，的容易算法，作为解密密钥是保密的。这样，部门中的任一机构 ( 包括部门外的机构 ) 都可给其中的一个机构发保密信。例如， B 向 A 发保密信，方法是：设 B 向 A 所发的明文为 n ，代入 A 所公开的 f A (n)，得 f A (n) =m ， m 即为密文，由于只有 A 知道 fA-1(m) 的容易算法，可由 fA-1 （ m ） =f A-1(f A (n)=n 脱密。部门内的各成员可以彼此发签名信，例如 B 给 A 发签名信，方法是：先用 f B-1 (l) 对明文 n 加密得 f B-1 (n)=m ，再用 f A(n) 对 m 加密得 f
30、A (m)=t 。 A 收到 t 后，由 f A-1 （ t ） =m 得 f B (m)=fB （f B-1（ n ） =n ，即可读到 B 的原信。因为只有 B 才能发这样的双重加密信，所以 B 的签名是无法伪造的。 近年来在通信事业中发展起一门新的科学安全技术，包括消息认证和身份验证两个方面。消息认证是检查收到的消息是否真实的一种手段，应用十分广泛。例如，证券交易所和股票市场都离不开消息认证；在当今通信事业以及军事指挥中心、军事监听机构中都要有很好的消息认证系统，以使受假消息影响的程度为最小。身份验证是检验消息的来源（发信者）是否正确，或者传递的消息是否到达正确目的地（收信者）的方法。例
31、如，如果你拥有一个计算机网络的终端设备，就不但可以随时查到你所需要的资料或信息，而且可以解决许多实际生活中的问题，如预订机票、市场购物、银行转账等，甚至可以通过计算机网络签署文件。使用计算机网络进行这些活动时，都需要将自己的身份告诉对方。为了使对方能确认你的身份是真实的，就需要相应的身份验证方法。日常生活中，在信件上签名是很普通的事，但要通过电子通信手段在遥远的异地完成签名就不容易了。这种通过电子通信完成签名的手段称为数字签名。前面介绍的发签名信的办法就是实现数字签名的一种有效方法。数字签名首先是一种消息认证方法，另一方面，在通信双方发生争执时，又可由仲裁者进行公正裁决，因此它又是一种身份验证
32、方法。虽然在今天，电子计算机已经渗透到现代社会的每个角落，但它最初却是为了军用目的发展起来的。计算机具有运算速度快、记忆容量大、逻辑判断能力强、计算精度高、自动化程度好等优点，因而从一诞生起就受到了军事家的青睐，被广泛用于侦察、预警、指挥、通信、兵器控制、导航、定位、电子对抗、作战模拟和各种保障等方面。由于计算机技术的进步和数学算法的巨大改进，已可能用数学模型来代替许多试验，结果大大节省了成本，提高了设计的质量。这对于武器的研制特别重要，因为若进行具体的试验，不但既费钱又危险，而且在初期阶段实际上是无法办到的。例如，假如有一天世界全面禁止核试验，掌握了强大计算技术的国家仍然可以借助在以往核试验
33、中获得的数据在计算机上进行模拟核试验，即使在核试验尚未被禁止的情况下，模拟试验也可以用来选择最佳试验方案，从而减少试验次数、节省大量投资和时间，并提高设计水平。显然，实现计算机模拟核试验的关键问题是相应的数学理论与方法是否已经建立。 模拟装置在一些发达国家的军队中使用已久，特别是随着最新技术的发展，使军队可以把军事演习、实战演习和微观模拟融于一体，创造出一种高度逼真的模拟世界，使士兵如同置身于实战战场，从而获得最佳的演习效果。模拟装置有许多种，能适应各种不同的训练需要。虚拟模拟器，能模拟飞机和坦克的驾驶舱，可以在无需高成本和长时间实际训练的情况下向学员传授基本的操作技术。实战模拟，能控制在所需
34、的范围内，使成千上万的真实士兵在虚拟的战场上用实战武器相互射击，武器中发射的是不会造成伤害的激光束或雷达波。结构性模拟，是一种专为高级指挥官设计的微观军事演习，它们基本上是电脑辅助的对弈，是一种可以取代大规模军队行动的软件计算。 随着高科技的发展，一些国家的军事科技人员发现，如果将计算机病毒的破坏和繁殖功能与“逻辑炸弹”的潜伏性结合起来，加上人工智能设计一种病毒程序，便可以造出更灵巧的病毒武器，它们既能够破坏特定目标，又可避开防毒程序。特制的计算机病毒武器能够有效地破坏计算机系统或者使之发生误差，在军事上可用以破坏敌方的指挥、通信与控制系统，用于识别导弹发射、控制弹道和提供情报的战略计算机系统
35、等。在 1991 年的海湾战争中美国就对伊拉克使用了计算机病毒武器。 20 世纪 70 年代以前，飞行器设计所依靠的数据都是靠风洞模型试验得到的。特别是高性能飞机，过去通常主要用风洞试验以及类似的试验来设计，然后建造一个模型，由试飞员去试飞，这不仅周期长、费用高，而且相当危险。 20 世纪 70 年代后期，这种情况有了改变。由于电子计算机技术的飞速发展，特别是高速巨型计算机的出现，使得计算结果极其精确，导致计算流体力学的诞生。计算流体力学研究如何对各种类型流体（气体、液体和特殊情况下的固体）在各种速度范围内的复杂流动，用大型计算机进行数值模拟计算。它涉及用计算机寻求流动问题的解和计算机在流体力
36、学研究中的应用这两方面的问题。在当代飞行器的设计中，计算流体力学、风洞试验和自由飞行一起构成了获得气动数据的三种手段。虽然风洞试验仍是一种主要方法，但建造风洞的费用很高，而且有一定的局限性。随着现代高速飞行器设计的需要，试验的花费就更加巨大。如今，数值模拟方法已代替了许多试验，因为在大多数情况下采用这种方法不仅可以大大缩短周期、降低费用、提高安全可靠性，而且具有容易改变参数重复计算的特点，这对于已有模型的微小改动工作（改型设计）尤为重要。 1994 年 4 月 9 日，美国波音飞机制造公司的最新产品波音 777 双引擎中型喷气式客机在波音公司宽体客机总装厂首次露面。这种投资 40 亿美元的世界
37、最大双发动机客机从设计到制造尽量采用新技术、新材料，不用一张图纸，不做一个模型，在世界航空工业史上首次百分之百地采用计算机数字设计和模拟组装。这种被称为“百分之百数学化设计的飞机”，由于在设计和试验过程中全面采用了数学技术，高性能新机种的研究周期从十年缩短到三年多。由于全面使用虚拟制造技术，波音公司在没有样机的情况下就敢于接受来自新加坡的波音 777 的第一批订单。 科学技术的飞速发展及其在社会发展中的重要地位，对公民的科学素养提出了更高的要求，而科学、技术与数学的关系，使得数学素养成为公民基本素养不可或缺的重要部分。这一认识，必将对基础教育中的数学课程体系和内容产生重大影响。二、数学与当代人
38、文社会科学 1971 年 2 月，美国哈佛大学的卡尔多伊奇和他的两个同事在美国科学杂志上发表了一项研究报告，其中列举了 1900 1965 年间在世界范围内社会科学方面的 62 项重大成就，按照他们的选择标准，包括：心理学 13 项，经济学 12 项，政治学 11 项，数学 11 项，社会学 7 项，哲学、逻辑和科学史 5 项，人类学 3 项。其中，政治学的 11 项中包括了列宁的“一党领导下的革命理论”“一党制的苏维埃国家”，毛泽东的“农民、游击队和政府”这样三项；经济学中包括了苏联克拉申等人的“中央计划经济”；心理学中包括巴甫洛夫的“条件反射”。这表明上述所列社会科学的重大成就确实具有普遍
39、的代表性。在这 62 项成就中，数学化的定量研究占 2 3 ，在 1930 年以后作出的重大成就中，定量研究占 5 6 。这表明了当代社会科学向数学化、定量化方向发展的趋势。 以下是利用简单数学方法解决社会科学难题的一个典型案例。问卷调查是社会科学中最常用的方法之一，有时候研究人员需要借助这种方法精确地测定持有一种特定信念或经常介入某种具体行为的人所占的百分比。这种调查要求从随机挑选的一个人群中得到对他们所提问题的诚实回答。但是由于被调查者常常出于个人隐私等方面的考虑而不愿意对采访者如实地作出应答。问题的关键是既要收集到真实有效的信息，同时又能确保被调查者的隐私不受侵犯。 20 世纪 60 年
40、代，人们基于初等概率论发明了一种调查方法，从而解决了这一难题。这种方法要求人们随机地选答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题。两个问题中有一个是敏感的或者可能会使人为难的话题，另一个是无关紧要的问题。例如，无关紧要的问题是：“你刚才所掷的硬币是正面朝上吗？”敏感的问题是：“你是否每星期至少吸毒一次？”然后要求应答者掷两次硬币，第一次的结果作为第一个问题的答案，再根据第二次掷硬币的结果决定回答哪个问题。由于两次掷硬币的结果都只有被调查者本人知道，因此他可以诚实地回答选中的问题而不必担心暴露个人隐私。假设我们把这种方法用于 1000 个应答者并得到 300 个“是”的回答，因为掷
41、硬币正面朝上的概率为 1/2 ，我们期望大约有 500 人回答了无关紧要的问题，其中大约有一半人（ 250 人）第一次所掷硬币正面朝上，回答了“是”。因此，在回答敏感问题的 500 人中大约有（ 300 250= ） 50 人的回答是“是”。由此我们估计这群人中大约有 10 %的人每星期至少吸毒一次。 目前，在传统的社会科学领域中，经济学是最成功地实现数学化的学科，成就令人瞩目。自 1969 年设立诺贝尔经济学奖以来，超过 2/3 的获奖者是由于在经济学领域运用数学方法获得重大突破而获奖的。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在研究和表达经济理论方面都起了重要的作用。很多数学家惊讶地
42、发现，极其抽象的拓扑学最有用的地方竟是在经济学领域。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、经济计量学、经济控制论、经济预测、经济信息等分支的数量经济学科群，以致一些西方学者认为：当代的经济学实际上已成为应用数学的一个分支。 现代数理经济学研究数学概念和数学技巧在经济特别是在经济理论中的各种应用，例如最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，可以说是经济学的基础之基础。其中一些基本问题是从经济学中提出的，但深入研究则是从数学的角度进行的。其核心内容之一是用一种规范化的方法研究一般均衡理论，使用的数学工具主要是集合
43、论、群论、拓扑学，其学术文献完全是公理化的，从一套公设、假定、定义出发，导出一个严谨的公理化体系。在数理经济学中，一般经济均衡理论一直是活跃的前沿研究课题。自 1969 年开始颁发诺贝尔经济学奖以来，已有多位经济学家因在这一领域的建树而获奖。 1936 年， W 列昂杰夫发表了题为美国经济系统中投入产出的数量关系的论文，创立投入 - 产出分析法，用数学模型和数值方法研究生产单位和消费单位之间的相互关系，并可用以说明不同生产部门之间的相互关联，由此可以进行经济前景预测和制定经济计划。他的模型是矩阵结构的一种线性模型，在概念上非常简单而又足够精细，对实际制定计划很有帮助。 1973 年他因此而获诺
44、贝尔经济学奖。各种冲突、对抗、竞争，广泛存在于政治、商业、军事、体育比赛等各项事务之中。对策论是运筹学的重要分支，最早研究的问题是对抗或竞争中的各方所应采取的策略以及由此得到的结果，并给出策略优劣的分析。研究方法是：先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，根据所得结果对原来所论冲突作出相应的解释。对策论诞生于 1927 年，由大数学家冯诺伊曼创立。冯，诺伊曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价，所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策。 1986 年，荷兰数学家施达灵发表了题为委员会选举的两个悖论的文章，其中给出了关于选举的两
45、个有趣的悖论： 一个众所周知的选举程序允许每个选民拥有与委员会中有待补充的缺额同等数量的投票权。这种被普遍使用的、用以处理两次相继选举的空缺的程序，可能导致某些奇怪的现象。考虑这样的情形：有 12 位选民编号从 1 到 12 ，他们要从 9 位候选人（ A 至 1 ）中选出一个委员会，在只有两个空缺需要补充时，每位选民投票给对他（她）来说排在最前面的两位候选人。当每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示时，投票总数将有如下结果：候选人 A 和 B 都获得四票，而 H 和 I 各得三票，其余候选人每人均得两票。因此， A 和 B 将当选。 选民 偏好顺序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
46、11 12 高 A F A F A G B G B H B H C H C I D I D A E B E I 低 C H : : : C H : : : C H : : : D I : : : D F : : : D F : : : E F : : : E G : : : E G : : : F I : : : G I : : : G A : : : 然而，如果有三个而不是两个空缺，那么每个选民就必须投三票。结果被选上的将是 C ， D 和 E ，因为他们每人都将获得五票，而其余每个候选人都只获得四票或三票。类似的计算导致这样的结论：如果有四个空缺，那么既没有二人委员会中的成员、也没有三人委
47、员会中的成员能够当选。事实上，当选者将是 F ， G ， H 和 I! 选民 偏好顺序 l ， 2 ， 3 ， 4 5 6 ， 7 ， 8 9 10 11 ， 12 高 低 A B E C D A B D C E C A D B E D A E B C E A D B C 因此，这被概括为“扩大委员会悖论”：一个候选人可以被选进一个由 N 个成员组成的委员会，而当这个委员会由（ N 十 1 ）个成员组成时他却未必能够当选。事实上， N 人委员会与（ N 十 1 ）人委员会的成员可能毫无关系。当委员会的一个已当选的成员在两次相继的选举期间退出了，就可能发生第二个现象。通常，在发生这样的事情时并不
48、进行实际的选举，而是简单地指定在上一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人入选。这似乎是合理的，但是，假设有 12 位选民，他们要从 5 位候选人中选出一个由两人组成的委员会。每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示。如果每位选民必须投两票，投票结果是，委员会将由 A （获得 12 票）和 B （获得 5 票）组成。候选人 C （得 3 票）以及 D 和 E （均得 2 票）将不能当选。如果几天后 A 退出了委员会，而且所有选民对候选人的个人偏好保持原来的状态，一轮新的投票将导致获胜者是 D 和 E ，各得 8 票。然而，指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人以代替离任委员 A 的程
49、序，将导致候选人 C 当选。于是委员会将由 B 和 C 组成，而不是 D 和 E 这就是“离任委员悖论”：在有一名已当选的委员退出委员会（因此，他也不再是候选人）时指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人 当选的程序，可能将产生一个这样的委员会，它与如果选民有机会再 次投票而将产生的委员会毫无关系。 那么，能否设计这样一种社会选择规则，它可以应用于一切环境条件而不会产生上述那样的悖论呢？ 20 世纪 50 年代，美国学者阿罗用数学方法证明了著名的“不可能性定理”，其中指出，不论怎样精心设计，都不可能找到这种规则。换言之，当我们把一些现实的政治操作过程抽象为数学模型，并用严格的逻辑论证工具进行推演后就会发现：一个绝对公正合理、使各方面都感到满意的政治模式是不存在的。 不难看出，数学方法在合理地设计各种政治系统并保证其正常运作方面有着至关重要的作用。 20 世纪中叶以来，西方出现了许多运用系统分析方法或结构功能分析方法研究各种政治系统的论著。许多西方学者认为，寻求合理的民主控制方法、建立有效的政治协商机制本质上是一个很困难的纯数学问题。 在当代管理科学中，正越来越多地使用着各种数学方法，其中运筹学方法的广泛而深入的应用尤为突出。运筹学
