1、习题 631 由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力 F(单位 N)与伸长量 s(单位 cm)成正比 即 Fks (k 为比例常数) 如果把弹簧由原长拉伸 6cm 计算所作的功 解 将弹簧一端固定于 A 另一端在自由长度时的点 O 为坐标原点 建立坐标系 功元素为 dWksds 所求功为k(牛厘米) 1826060skdW2 直径为 20cm、高 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/cm2 的蒸汽 设温度保持不变 要使蒸汽体积缩小一半 问需要作多少功？解 由玻马定律知 80)1(02kPV设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变 高度减小 x 厘米时压强 为 P(x)牛/厘米 2 则 80)(10
2、x80)(xP功元素为 ddW2所求功为(J) 2ln80180)10( 4042 dxx3 (1)证明 把质量为 m 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是 hRgW其中 g 是地面上的重力加速度 R 是地球的半径 (2)一颗人造地球卫星的质量为 173kg 在高于地面 630km 处进入轨道 问把这颗卫星从地面送到 630 的高空处 克服地球引力要作多少功？已知 g98m/s2 地球半径 R6370km 证明 (1)取地球中心为坐标原点 把质量为 m 的物体升高的功元素为 dykMmW2所求的功为 )(2hRkdyhR(2) (kJ) 533241 107.960760198.57. 4
3、 一物体按规律 作直线运动 媒质的阻力与速度的平方ctx成正比 计算物体由 x0 移至 xa 时 克服媒质阻力所作的功 解 因为 所以3t 阻力 而 所以2)(cxv 429tkcvf32)(cx 3423429)()(xkcxf功元素 dWf(x)dx 所求之功为 372034203420 9 akcdxkcdxWaaa 5 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板 1cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等 问锤击第二次时 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入 hcm 因木板对铁钉的阻力 f 与铁钉击入木板的深度 x(cm)成
4、正比 即 fkx 功元素 dWf dxkxdx 击第一次作功为 kxdW2101击第二次作功为 )(212hkxdh因为 所以有1 )(2hk解得 (cm) h6 设一锥形贮水池 深 15m 口径 20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功？解 在水深 x 处 水平截面半径为 功元素为xr3210 dxdrW22)310(所求功为1502)3(dx15032941875(吨米 )57785.7(kJ) 7 有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门顶 2m 求闸门上所受的水压力 解 建立 x 轴 方向向下 原点在水面 水压力元素为 dxdP21闸门上所受的水压力为(吨)=205 8(kN)
5、152528 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体 尺寸如图所示 当水箱装满水时 计算水箱的一个端面所受的压力 解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为 1)43(2yx压力元素为 dxxdyxdP22)43()8)(21所求压力为223022 cos43)sin1(438)(48tdxtdxx(吨) 17.3(kN) 169cos920t(提示 积分中所作的变换为 )txsin439 有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长 10m 和 6m 高为20m 较长的底边与水面相齐 计算闸门的一侧所受的水压力 解 建立坐标系如图 直线 AB 的方程为 xy105压力元素为 dxdxydP)510()(2所求压力
6、为(吨)14388(千牛) 1467)50(2dxP10 一底为 8cm、高为 6cm 的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行 而顶离水面 3cm 试求它每面所受的压力 解 建立坐标系如图 腰 AC 的方程为 压力元素为xy32 dxdP)(4)(所求压力为(克)( 牛)16823(4)3(060 xdx11 设有一长度为 l、线密度为 的均匀细直棒 在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M 试求这细棒对质点M 的引力 解 建立坐标系如图 在细直棒上取一小段 dy 引力元素为 dyaGydF22dF 在 x 轴方向和 y 轴方向上的分力分别为dFrax ry 202202)(1)( laGmdyayGmllx )1(202202 ladyarlly12 设有一半径为 R、中心角为 的圆弧形细棒 其线密度为常数 在圆心处有一质量为 m 的质点 F 试求这细棒对质点 M 的引力 解 根据对称性 F y0 cos2RdGx dRmcos)(2dRFx2cos 2sin0RG引力的大小为 方向自 M 点起指向圆弧中点 im
