1、1数学美欣赏第 10 讲1. 砖块对角线的巧妙测量法欲知砖头的对角线的长，可测出出砖的长 、宽 、高 ，abc则对角线的长 . 用此法求对角线，需要测量三次，且22abc要计算乘方和开方. 在实用上, 有不用计算，只需用尺子一量便知的妙法.方法一 把一块砖平放，把另两块砖靠紧, 竖放在这块砖上面，如图所示 . 把顶部画了阴影的那块砖拿走，用刻度尺测量 即得砖的对角线的长度.AB方法二 把砖竖放于地面. 设一木尺的一个端点为 , D在尺上取两个点 和 , 使 砖的顶部矩形的对角线的长BCBD度. 令尺的边缘重合于砖顶对角线，且尺的端点 落在砖的一个顶点处，用另一尺子 测 量图中的 即得砖的对角线
2、之长.AB2. 糕点售货员的打包技术2顾客买了一盒点心，要求售货员把长方体的点心盒用尼龙绳捆紧，便于携 带. 售货员至少有两种捆绑方式.一是正交十字法. 如图. 这是一种牢固的包扎方法.二是上下压角法(这与前面讲的捆绑立方体很类似). 如图. 捆扎的尼龙绳形成了一个空间八边形 . 要使捆扎ABCDEFGH最紧, 必须使该空间八边形的周长最短. 我们从纸盒的平面展开图上来分析. 3在展开图上, 仅当 、 、 、 、 、 、 、 共线时, 封闭折ABCDEFGH线 (尼龙绳 )才最短. 设上述八点共线. 则直线 可在ABCDEFGH AB一定的范围内平移. 图中的两条虚线是 的极限位置, 可AB在
3、这两条虚线所夹的范围内平移. 设纸盒的长、宽、高分别为 、 、 , 则不论 在上述范 围内的哪个位置, 八边形abcAB的周长都是同一值 (周长的最小值), 相ABCDEFGH22Lacb应的捆扎都是牢固的. 这种别致、最优 的捆扎方式, 样式新颖, 使得绳子不仅可以沿着自身的走向移动, 而且可在盒子的表面平移, 平移时, 绳子的总长还保持不变, 恒为 . 另外, 该方22Lacb法所用的绳子的长度 小于正交十字法所用的绳22Lacb子的长度 .24abc4绳子的第一个极端位置 绳子的一般位置绳子的第二个极端位置 以上三个位置画在同一图上在绳子的一般位置的图示中, 注意 且 , 且|ABFE|
4、DCGH, 且 , 且 .DCGHAED68AHPEDBCFG68PG5如用多条绳子捆紧盒子, 并使各条绳子的位置不同（彼此平行），则图 示如上. 把上述平面展开图中的两条虚 线所夹的区域视为一条宽带子, 则可用该带子牢固地捆紧纸 盒, 这就好像用多条绳子捆扎一样.3. 怎样判断一个自然数能否被， ， ， ， ， 和 整除？2357913设 是自然数, 则n(1) 可以被 (或 )整除 的个位数可以被 (或 )整除.25n25换言之, 可以被 (或 )整除 的个位数是偶数(或 和0之一).5例如, 可以被 整除, 但 不能被 整除. 和903422153722491可以被 整除, 但 不能被
5、整除.72915849该方法的意义(实用价值) 在于 : 不需要实际做除法即可判断一个数 能否被 或 整除, 这比计算 和 简便.n252n5(2) 可以被 (或 )整除 的各位数字之和可以被 (或 )39n 39整除.6例如, 可被 整除, 但不能被 整除, 因为8027439可被 整除, 但不能被 整除. 直接验证：80271， 余 .436591不能被 整除, 因为 不能被 整除. 直接验3354173证: 余 .182可被 整除, 因为 可以被 整除. 直接20457920829验证: .673该方法的意义(实用价值) 在于 : 用较小的计算量即可判断一个数 能否被 或 整除, 这比计
6、算 和 简便. 以下各n93n9方法的用处类此.(3) 可以被 整除 的偶位数字之和与奇位数字之和的1n差可以被 整除.例如， 可以被 整除，因为 可以被6283701687230整除.1不能被 整除, 因为 不能被 整除.54154211(4)判断 能否被 (或 , )整除的方法n713方法一 可以被 (或 , )整除 的最后三位数字组成n的数和其余各位数字组成的数的差可以被 (或 , )整除.713例如, 可以被 整除, 因为 可被 整除.3045827304582967不能被 整除, 因为 不能被 整除.287826可以被 整除, 因为 可被 整除.57151不能被 整除, 因为 不能被
7、 整除.390190131可以被 整除, 因为 可以被 整除.83843不能被 整除, 因为 不能被 整除.7172注意 上述方法可以反复使用, 能达到简化计算的效果. 如判断 可否被 整除时, 先求出 , 然后, 对30458273045829617, 再计算 , 它可以被 整除, 从而 也可以被 整29617619587 77除, 于是, 可以被 整除.3045827方法二 从 的个位起, 每 位分为一段, (例如, n3可以写成 ), 则 能被 (或 , )整除 奇数段数287n02,48n713字之和与偶数段数字之和的差可以被 (或 , )整除.例如, 可以被 整除, 因为 可以被3,
8、9846,798246073整除.7不能被 整除, 因为 不能被 整除.4,8201, 8741195可以被 整除, 因为 可以被 整除.931 030831不能被 整除, 因为 不能被5,76, 926420整除.1可以被 整除, 因为 可以80,139,209138015913456被 整除 .不能被 整除, 因为 不能被5,746,5874268整除.13注意 上述方法也可以反复使用, 以达到简化计算的目的. 如上面判断 可以被 整除时, 先计算出801,395,20913, 然后, 可以对 , 计算 , 它可以801951392464564561被 整除 , 所以 也可以被 整除, 从
9、而 可以被80,39,209整除.34. 消九验算法例 1 对不对？ 利用下面讲的消九验算法可5638210以简便地加以验证.对乘数 ，有 余 . 对乘数 , 有 余 .9623859427两个余数的乘积为 ， 余 . 对乘积 ，有14911560余 .215609358最后两个余数相同，我们可以基本断定 是正确5638210的(事实 上, 此 计算确实正确 ).说基本断定 是正确的, 而不说肯定正确, 是因5638210为可能有这种情况出现, 就是计算虽然有错, 但用上述方法仍然得到最后两个余数相同的结果.比如, 显然是错的, 但 余 , 余 , , 2417382496179864余 ,
10、余 . 最后两个余数相同.4895395由此可见, 上述方法不是绝对可靠的!例 2 对不对?387102余 , 余 , , 余 , 余 . 因 , 94934090132945707所以断定 是错的.这就是说, 如果最后的两个余数不同, 则一定可以断定计算出错.例 3 把消九验算法灵活变通一下, 可以简化验算时的计算.检验例 中的 是否正确.15638210对 : , ;56对 : , ;387, ;27145对 : , .60260145最后的两个计算结果相同, 可基本断定 正确.5638210道理: 被 除所得的余数 “ ”被 除所得的余数 “59619”被 除所得的余数. 对 ， 和 有
11、类似结果.1293854250我们看到, 本例中的方法比前两个例子中的方法在计算上简便多了!9例 4 检验例 中的 是否正确.2382710对 : , ;382134对 : , 削去 , 得 ;799;40对 : .1320127最后的两个计算结果不同: , 于是可以断定07是错的.382705. 素数的故事(1)名不符实的冠名素数并不素(朴素). 它的定 义和名称似乎给人一种印象，认为素数是质朴简单的一种最基本的数. 其实, 算术中的麻烦事大都是由它惹起的. 例如，我们知道的哥德巴赫猜想和孪生素数的黎曼猜想就是典型的例子. 1989 年，Amdabl Six小组在美国加利福尼亚圣克拉大学用
12、Amdabl 1200 超级计算机捕捉到一对孪生素数: . 可见素数名不符实.12357069还有一个在数学史上贻笑大方的、名不符实的故事，它是关于威尔逊定理的. 有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊(JWilson， 17411793)的名字冠名.威尔逊定理 若 为自然数，则 是素数 整除 .2ppp1!事实上，这 条定理是莱布尼茨首先发现，后 经拉格朗日证明的. 但威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润(E Waring)在 1770 年出版的一本书中, 却吹嘘说是威尔逊发现的这一10定理，而且还宣称 这个定理永远不会被证明，因 为人类没有好的符号来处理素数. 这种话传到高斯的耳朵里. 当时,
13、 高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，他在黑板前站着想了五分钟，就向告 诉他这一消息的人证明了这一定理! 高斯批评威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.”两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理. 看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了.威尔逊定理应用很广. 例如, 对较大的素数 ，我们虽然p无力算出 的值，但却知道 被 除的余数是 .1!p1!p1由于威尔逊定理的戏剧性的冠名以及它的内容的重要性，有人戏称： “如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.”(2)不能实 施的素数判别 法从字面上看，威尔逊定理已经明白无误
14、地给出了一个简洁的四则运算算法，可以判断任何一个正整数是不是素数. 可惜 太无情了，它使得我们没有那么的多时间和抄写空1!p间(纸张 或计算机内存 )来弄清 是几! 例如，1876 年，法1p国数学家卢卡斯(ALucas)用手和笔 发现了一个 位的素数39.127041836927368054172p若用威尔逊定理来判断 是否是素数, 就需要计算p，以每 页书可排 个阿拉伯数字计算，127!p 0可以印成 页的书至少 本，这比全世界的总藏书127 50321量还多得多! 因此, 用威尔逊定理去判断一个大数是否是素数, 这是行不通的!可见，威尔逊定理只有理 论价值，它是一个无 实施价值11的判别
15、法，或者 说， 它是一个无效的坏算法 .我们渴望设计出一个有效算法, 来判别任给的正整数是否是素数. 这种迫切性从费马数和哥德巴赫猜想等问题上可以感觉到.所谓费马数，是指形如 的数，其中21nnF.0,12n, , , , , .3F1527F3254637542967从 到 , 容易判定它们都是素数， 是 亿多的大数，费04 5F42马当年无力判断 是否是素数，他只是大胆地猜想 , 一切 都5 nF是素数. 1732 年，欧拉算出 ，从而否定了 费马关564170F于费马数素性的猜想.1880 年，法国数学家卢卡斯算出 .62417802137F1971 年，有人 对 得出素因子分解 . 7
16、F1981 年，有人得出 的素因子分解 . 81980 年，有人得出 的一个因子是 .94 9450121984 年，有人得出 的一个因子是 .2371F371986 年，有人用超 级计算机连续运算十天, 得知 是合20F数.人们至今知道的素费马数还只是 , , , , 03F152735.46537F这个问题不能彻底解决的要害, 是人们至今没有搞出判别素数的有效算法. 也有一种潜在的厄运，那就是判定一个数是否是素数和移动河内塔上的盘子一样，本质上就不存在有效算法!(3)素数病毒越来越多把 的小数点删去， 就改写成了一个阿拉伯数字的无穷12序列. 问：长几的前缀是素数? 例如， 与 是素数；
17、是第3131459三个素前缀；1979 年美国数学家贝利(RBaillie)等人发现上的第四个素前缀 . 敢问： 还有第31459268734628795024五个素前缀吗? 第六个，第七个,呢?把 换成 ，换成 ， , , , , , 再2.78e 3lg3问同类问题，又 该怎么解答呢?即使是温和一些的问题，例如下面的问题, 其解答仍然是悬案!.121 1009n nn 个问: 当 为素数时， 是否是素数?n个真是心血来潮! 随便一问就会难倒人! 这样提出问题会使人对素数产生一种反感. 在形形色色应接不暇的问题当中，似应首选那些具有重要应用背景或理论背景，又有能力解决的问题去研究.(4)重要
18、的 问题是落实算 术基本定理算术基本定理告诉我们，任一大于 的整数 都可以唯一1n地表成某些素数的乘积，即 , 其中 , , , 是被 唯12mnp p2mpn一确定的素数.问题是，如何由 具体地求出 , , , ? 这是一个有重n12m要实用背景和计算机计算的时间复杂度理论背景的大问题. 是数论的中心课题之一，也是计算机科学的主攻方向之一.假设某年某人设计出了一个有效算法，能在多项式时间内求得 中的 , , , 的值，那么当 是素数时， 就12mnp 1p2mpnn是 ，即此算法可以有效地判定素数，从而可以在多项式时1间内解决前面提出的诸多问题. 例如, 费马数 是否为素数(nF是任意给定的
19、自然数)，无理数(例如 )的前缀是否是素数等n 13问题. 这里说的“多项式时间” 是指对一个问题，存在一个多项式 ， 是要判定的整数的输入长，即它的位数的一个倍pn数.在实用上，例如在保密通讯与密码破译当中，需要对大合数进行素因子分解. 一般地, 这种大合数有百位之大，所以, 目前各军事大国都集中大量人力物力，研究这种合数的素分解问题，但至今并未听说有明显进展.如果真搞出素分解算法，则对任给定的大偶数，可以在多项式时间内把它表成两个素数之和或发现哥德巴赫猜想的反例.我们期望的这种素分解的有效算法能解决这么多非常之难的问题，可 见设计出它的难度是诸多数论难题难度之集大成! 即使 这 种算法存在
20、，也是很难设计出来. 我们甚至还应想到它根本就不存在，以免望梅止渴，水中捞月!6. 蚂蚁在砖上爬行的最佳行迹一只蚂蚁从一块砖的一个顶点爬向对角顶点，它应沿着怎样的路线爬行，才能使其行迹(所用时间)最短？14设此砖为长方体 . 蚂蚁欲从点 爬向对角顶点ABCDA.它可以有种种不同的爬行方式. 如图所示. 不失一般性, C我们设蚂蚁沿路径 爬行, 最后到达 . 设 , , FCBaADb. 在长方体的侧面展开图上, 显然当点 使 、 、 共 线Ac FC时，路径 最短. 此时, 该路径的长度AFC.22AFCabc同理，,22Ea.AGabc15在图示的从 到 的所有六条路径中, 最短者即为所求的
21、最AC短路径. 另一方面, 由平面展开图可知, 且 是平AHCFACH行四边形, 且 是平行四边形, 且 是平行JEAJ IGI四边形. 因此, 我们只需考虑路径 、 和 , 并从中挑FE选最短者. 设 , 则易知 (也就是 )是最短路径且abcCAC.22AFCH一般地, 在展开图是平面图形的立体表面上，蚂蚁从一点爬向另一点时，其最省 时 的行迹皆为展开图上连接此两点的各直线段中的最短者对应的立体上的那条曲线段.16例如, 在圆柱上， 蚂蚁要从 点爬向 点. 把此圆柱的侧面展AB开, 则图中的两个线段 中的较短者对应的圆柱面上的曲线B(圆柱螺 线) 即为 从 到 的最短路径 . A蚂蚁在圆锥
22、上爬行的最佳路线也可用前面的展开图方法加以解决. 有趣的是，如果它是从圆锥底面圆周上一点爬向此圆周上的另一点 ，则最短路径不是沿圆周爬行，而AB是先向上爬，到达一个最高点后再向下爬行. 其最佳爬行路线在展开图上是直线段 .A对于不可展开成平面的曲面，寻求蚂蚁从其上一点爬向另一点的最佳路线就不像上面的解法那么方便了. 一般而言，不能用初等数学的方法来讨论. 例如在球面上，蚂蚁从一点爬向另一点 ，则应沿 、 所在的大 圆上的劣弧 爬行 . 沿ABABAB大圆爬行时，路径弯曲的程度最小，最接近直线段，但证明这一点并非易事.17设在某曲面上存在一条蚂蚁的最佳行迹 ，使它从 点爬lA到 点, 所走路径最短. 现在 上穿一个洞(点洞), 蚂蚁爬行B l时不能从该洞上走过, 则这时可能已不存在最佳行迹了. 事实上，设无洞时 最佳行迹是唯一的. 因蚂蚁爬到洞附近时必须绕行，因此有无 穷条行迹，都与无洞时的最佳行迹相差无几，且越来越接近于原最佳行迹，但哪一条也不是最佳的，都可以再缩短，可 见这时已找不到最短行迹了.
