1、http:/ 棋子颜色的变化在任意拿出黑白两种颜色的棋子共 8 个，排成如图 4-1 所示的一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？解：由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子，两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子，故可将黑色棋子用 1 表示，白色棋子用-1 表示。这是因为-1(-1)=1，11=1，这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子；1(-1)= -1，这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。设棋子数为 ， 为初始状态。n
2、naa,21则当 n=2 时，步数 状态0 1a2a1 212 12经过两步，最后全为 1，即全变为黑色棋子。当 n=3 时步数 状态(舍掉偶次项)0 1a2a3a1 2312 3121323 2a3a1a4 123说明当 n=3 时，经过 3 步进入初始状态。 当 n=4 时步数 状态(舍掉偶次项)0 1a2a3a4a1 23412 314231423 42a31a42a31a4 31 242 31 242说明当 n=4 时，经过 4 步全变为黑色棋子。当 n=5 时 (舍掉偶次项)0 1a23a45a1 234512 3142a5341523 42a341a231a4 5121324354
3、5 2a34a516 5321a43215432a54315421a既不循环也不全为黑子结论：当棋子数为 时，至多经过 次操作，就可以全n2n2部变为黑子，当棋子数不为 时则一般不能全变为黑子。nMatlab 演示程序:%棋子颜色问题演示% 1-黑子,-1 -白子n=4; %定义棋子数times=6;%定义迭代次数x0=zeros(1,n);x1=zeros(1,n); %定义数组for i=1:nk=rand(1,1);if(k0.5) x0(i)=1;else x0(i)=-1;endend; % 赋初值x0for i=1:timesi for k=1:n-1x1(k)=x0(k)*x0(
4、k+1); endx1(n)=x0(n)*x0(1);x1 %显示各次结果x0=x1;end 2、跑步问题在任何一个 5 min 时间区内均不跑 500m，问 10min 能否恰好跑完 1000m？解：设 表示 t 分钟内跑完的路程。显然 。)(ts 0)(s若 10min 能跑完 1000m，则有 。10)(s设 ,则 是 的连续函数。50)(5()tststf )(tf5,0显然若 在 内有零点，则存在一个 5 分钟能跑完,0500m，这将与题目矛盾。因此可先假设 10min 能跑完1000m，则有 。10)(s由 得 :)(tf 5)(0s )5(0)(15sf 则 )( 2sf则 在
5、内必有一个零点 。即从 开始的 5t5,0 1t1t分钟可以跑完 1000m，这与题目矛盾。故 10 min 不能跑完1000m。将题目扩展，若任何一个 3 分钟不能跑完 300m，则是否 10 分钟能跑完 1000m，是否 12 分钟能跑完 1200m?可以举出一个例子说明 10 分钟能跑完 1000m,如下表：第 i 分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10路 程 280 0 0 280 0 0 280 0 0 160按照该表中走法，可以保证任何一个 3 分钟不能跑完300m，但 10 分钟能跑完 1000m。对能否跑完 1200m，可仿照前面的方法来做。设 表示 t 分钟内跑完的路
6、程。显然 。)(ts 0)(s若 12min 能跑完 1200m，则有 。120)(s设 ,则 是 的连续函数。30)(3()tststf tf9,由 的性质及任何 3 分钟不能跑完 300m 得：)f(1)(0(s(2)0)(6)3f(3)39(s(4)9()()12) sf 由(1)+(2)+(3)得： 0)()6()3()0(sfff由连续函数性质得，存在一点 ,使得：61t9)()()()()(31 sffftf则 0992s则存在一点 ，使得,12t)(2tf既从 开始的 3 分钟将跑完 300m，这与题目矛盾，2t故假设错误，12 分钟不能跑完 1200m。3、铺瓷砖问题要用 40
7、 块方形瓷砖铺下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了 20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？解答: 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 0如图，将各方格依次填入 0 和 1。其中 0 和 1 相间隔，0 周围全为 1，1 周围全为 0。则每块长方形瓷砖总是盖住左右相邻或上下相邻的一个 0 和 1。对图中 0 和 1 进行记数，总共有 19 个 1 和 21 个 0，故 20块长方形
8、砖不可能盖住 40 块方形砖。4、七桥问题18 世纪，普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，岛旁流过一条河的两条支流，七座桥跨在河的两支流上。假设 A 表示岛，B 表示河的左岸，C 表示右岸，D 为两支河流间地区，a,b,c,d,f,g 分别表示七座桥。问一个人能否经过每座桥一次且恰好经过每座桥一次并且回到原出发点？5、相识问题1958 年美国数学月刊发表了一个数学问题：在 6 人的集会上，假定认识是相互的，则总能找到或者 3 个人互相都认识，或者 3 个人谁都不认识谁。问这个结论正确吗？6、 人、狼、羊、菜渡河问题一个摆渡人 F 希望用一条小船把一只狼 W，一头羊 G 和一篮白菜 C 从一条河的左岸
9、渡到右岸去，而船小只能容纳F， W，G，C 中的两个，决不能在无人看守的情况下留下狼和小羊在一起，羊和白菜在一起，应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去？解：方法:1. 人、羊(去) -2.人(回)-3. 人、狼(去) -4. 人、羊(回) -5. 人、白菜(去) -6.人(回) - 5. 人、羊(去)方法 2:1.人、羊(去) -2.人(回)-3. 人、白菜 (去) -4. 人、羊(回) -5. 人、狼(去) -6.人(回) -5. 人、羊(去)7、 夫妻过河问题有 3 对夫妻要过河，船至多可载 2 人，条件是任一女子不能在其丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起，问如何安排这 3 对夫妻过河？
10、解：设船出发地男子数为 x,女子数为 y，则向量(x,y)可表示出发地男子与女子数。则可允许的向量为:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(3,0),(3,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3)共 10 个向量。讨论题1. 某仓库要存放 7 种化学药品，其中有些药品彼此不能存放在一起，因为互相之间可能引起化学反应导致危险，所以必须把仓库分成若干区，各区之间相互隔离。用x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 分别表示 7 种药品。已知不能放在一起的药品为：(x1,x2), (x1,x4), (x2,x3), (x2,x5), (x2,x7), (x3,x4), (x3
11、,x6), (x4,x5), (x4,x7), (x5,x6), (x5,x7), (x6,x7)问至少应把仓库分成多少隔离区,才能确保安全？2. 如图为一个宝窟示意图，它共分为 16 个房间，每一个房间都是连通的每一间地上都有数量不同的金块。你可以从入口进去，但必须从出口出来。每到一间房内就捡起那里面的全部金块。不过每个房间只能进去一次。试问你最多可以捡到多少金块？9 3 8 76 11 13 410 1 9 21 7 5 303.设有 n 个人参加一宴会，已知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多？4.设想在地球表面任意两点穿越地球内部挖一直通隧道，在其内铺设光滑轨道，则放
12、在隧道一头的列车将因自身重量滚动穿越地球到达另一端，试分析该开车从隧道一端到另一端所需时间与端点位置的关系。5.设一所监狱有 64 间囚室，其排列如图 4-8 所示，所有相邻的囚室间都有门相通。典狱长告诉关押在一个角落的囚犯，只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室，他将被释放。问此囚犯能获自由吗？6.一摞硬币共 m 枚，每枚硬币均正面朝上。取最上面的 1枚，将它们翻面后放回原处。再后取上面的 2 枚硬币，将它们一起翻面后再放回原处，再取 3 枚、取 4 枚、，直至整摞硬币最上面的 1 格开始，重复刚才的做法。这样一直做下去，直到这摞硬币中的每一个又都是正面朝上为止。问这种情形是否一定出现
13、？如果出现，则一共需做多少次翻面？解：记从上到下翻完称为一轮，则执行完一轮，则从上到下各硬币翻的次数依次为：m,m-1,m-2,.,3,2,1执行两轮操作，则从上到下各硬币翻的次数依次为：2m,2(m-1),2(m-2),.,6,4,2故共经过 2m 次操作，所有硬币全朝上了！Matlab 程序:%1- 正面, -1-反面m=10; %硬币总数x0=ones(1,m); for p=1:2 %执行 2 轮操作for k=1:m %执行 m 次翻面操作k*p %显示操作的次数for i=1:kx0(i)=x0(i)*(-1);end;x0endend7.在 n 个单位组成的团体中，经常涉及到一些
14、代表名额分配问题，每个单位都希望自己的代表名额多一些，以便在委员会中能更好地反映自己单位的意图。试设计一种公平的代表名额分配方案并针对下面三种情况就方案的公平合理性进行说明。(1)该团体有 A，B ，C 三个单位，开始时 A，B，C 三单位的人数公别是 100，60，40，一年以后三单位的人数分别是103、63、34。就 20 名代表和 21 名代表名额给出分配方案。(2)该团体有 A，B ，C，D ，E，共 5 个单位，其人数分别为9 061i 名额的分配方案。(3)该团体有 A，B ，C ，D ，E，F6 个单位，其人数分别为 9215，159，158，157，156，155。给出 100
15、 名代表名额的分配方案。 解：设 p 为名额总数，a 为总人数， 为第 i 个单位的人数，ian 为单位总数。设 为第 i 个单位的待分配名额。ix则可建立如下目标整数规划模型： niiixapZ12)(mis.t xnii1Lingo 程序如下：MODEL:SETS:person/16/:a,x;ENDSETSDATA:a=9215,159,158,157,156,155;p=100;ENDDATAmin=sum(person(i):(total/p-a(i)/x(i)2);total=sum(person(i):a(i);sum(person(i):x(i)=p;FOR(person(i)
16、:GIN(x(i);END八准备在 七个居民点中设置一个剧场，各个721,V居民点之间距离和连接关系如下图，问剧场应设在哪一个居民点，使各点到剧场的距离之和最小？若要设置两个售票处，问应设在哪两个点？九现有一只装满 8 斤酒的瓶子和两只分别装 5 斤和3 斤酒的空瓶，如何才能将这 8 斤酒分成两等份？解答：设状态向量(a,b,c)，其中 a 代表可装 8 斤酒的瓶子，b代表可装 5 斤酒的瓶子，c 代表可装 3 斤酒的瓶子。该问题转化为如何将初始状态(8,0,0)达到目标状态(4,4,0).其操作过程必须满足条件：任何两瓶之间操作必须满足其中一个瓶子清空为 0 或另一个装满。下面是一个实现步骤
17、：(8,0,0)-(3,5,0)-(3,2,3)-(6,2,0)-(6,0,2)-(1,5,2)-(1,4,3)-(4,4,0)(共经 7 步操作)5 微积分的应用本实验提供一些简化的应用问题，用学习过的高等数学知识来解决这些实际问题，增加学习数学的兴趣和应用数学的能力。1雨中行走问题人在雨中沿直线从一处向另一处行走，当雨的速度已知时，问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小？2磁盘的最大存储量微型计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧度段可作为基本储存单元，根据其
18、磁化与否可分别记录数据 0 或 1，这个基本单元通常被称为比特(bit)。磁盘的构造如图 5-1 所示。为了保障磁盘的分辨率，磁道宽度必须大于 ，每比特所t占用的磁道长度不得小于 。为了数据检索的便利，磁盘b格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R之间的环形区域，试确定 r,使磁盘具有最大储存储量。3通信卫星的覆盖面积一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道。通信卫星运行的角速率与地球的自转的角速率相同，既人们看到它在天空不动。若地球半径取为 R=6 400km，问卫星距地面的高度 h 应为多少？试计算
19、通信卫星的覆盖面积。4水的流出时间一横截面积为常数 A，高为 H 的水池内盛满了水，由池底一横截面积为 B 的 小孔放水，设水从小孔放出的速度为，求在任意时刻的水面高度和将水放空所用的时ghv2间。5追线问题我辑私舰雷达发现距 ckm 处有一艘走私船正以匀速 a 沿直线行驶，辑私舰立既以最大的速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求辑私舰追逐路线和追上的时间。模拟程序:Matlabdt=0.01;n=250;c=10;a=3.6;b=6.5;t=b*c/(b*b-a*a);x1=zeros(n,1); y1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);
20、y2=zeros(n,1);y=zeros(n,3);x1(1)=0; y1(1)=0;x2(1)=c; y2(1)=0;y(1,1)=1;y(1,2)=y1(1);y(1,3)=y2(1);for i=2:nx1(i)=0; y1(i)=i*dt*a;ct=(x1(i-1)-x2(i-1)/sqrt(x1(i-1)-x2(i-1)2+(y1(i-1)-y2(i-1)2);st=(y1(i-1)-y2(i-1)/sqrt(x1(i-1)-x2(i-1)2+(y1(i-1)-y2(i-1)2);x2(i)=x2(i-1)+b*dt*ct;y2(i)=y2(i-1)+b*dt*st;y(i,1)=
21、i;y(i,2)=y1(i);y(i,3)=y2(i);endplot(x1,y1,b,x2,y2,r)6最速降线问题确定一个连接二定点 A，B 的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点（忽略摩擦力和阻力） 。7交通管理中黄灯时间在十字路口的交通管理中, 亮红灯之前,要亮一段时间黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口太近以致无法停下的车辆通过路口. 那么 ,黄灯应该亮多长时间呢？8新产品销售量一种奈用新产品进入市场后勤部,一般会经过一个销售量先不断增加,然后逐渐下降的过程,称为产品的生命周期（Product Life Cycel）,简记为 PLC.PLC 曲线可能有若干种情况,其
22、中有一种为钟型（如图 5-2）,试建立数学模型分析此现象. 讨论题1一容器内盛入盐水 100l ,含盐 50g.然后将含有 2 g/1 的盐水流入容器内，流量为 31/min.设流入盐水与原有盐水搅拌而成均匀的混合物.同时,此混合物又以 21/min 的流量流出,试求在 30min 时,容器内所含的盐量 . 若以同样流量放进的是淡水,则 30min 时，容器内还剩下多少盐？2在某种细菌的繁殖过程中，已知其增长的速率与现有细菌的数目成正比。（1）已知在 4h 内细菌数目增长 1 倍，问 12h 后，细菌数目为原来的多少倍？(2) 假设在 3h 末细菌数目为 ，而在 5h 末数目为410 ，问原有
23、细菌的数目是多少？4103一正圆柱形容器充满了水，以等角速度 绕它的轴旋转，问在稳态情况下液面的形状是怎样的？4有一均匀柔软的绳索，两端固定，仅受绳本身重量的作用，试确定该绳索在平衡状态时的形状。5某容器温度为 60，将其内的温度计移入另一容器，10min 后读数为 70，又过 10min 后读数为 76，问另一容器的温度为多少度（温度变化率与温差成正比）？6求连接球面上 A，B 两点的最短曲线。7在前面给出的新产品销售模型仅仅反映了新产品销售的一些情况。在实际的许多新产品销售的一些情况。在实际的许多新产品销售中常常出现这样的情形，在开始阶段有一个小的销售高峰，然后有一段时间的持平或销量下降，
24、而后再次进入销售上升阶段，达到高峰。这时 PLC 曲线显比峰（如图 5-12） 。试研究此现象。8跳伞员由静止状态向地面降落，人和降落伞共重 161 磅（1 磅=0 453 592 37 公斤） ，在降落伞张开以前，空气阻力等于 ，在开始降落 5s 后降落伞张开，这时空气阻碍力2v是 ，试求降落伞张开后跳伞员的速成度 v(t)，并讨论极限速度。9测定考古发掘物年龄最精确的方法之一，是大约在 1949年 WLibby 发明的碳- 年龄测定法，其主要原理是利)(14c用考古物木炭样品中的放射性碳 的原子衰变速率与现在14木炭样品中 的衰退变速率的差异，来测定考古的年代，c14设 R（0）是样品形成
25、时 的衰退变速率，通常用现在活树c14中木炭样品的衰退变速成率来代替，其 的衰退谈率平均c14为 R（0）=6 .68 个 /（g min） 。设 R(t)是考古木炭样品现在.的 衰变率，则由c14 0)(,)(Rtdt 可得到考古年代的计算公式 )(0ln1tRt其中 是衰变常数， 的半衰期 T=5 568 年，而 = ，利c14 T2ln用上述方法解决下列问题：（1）1956 年，在我国西北某地发现了新石器时代居民遗址，从遗址发掘的考古物木炭样品中，测得每克木炭每分钟的平均衰退变数为 3. 06,试估计遗址的年代。c14（2）70 年代中期从我国南方某处发掘的古墓中，测得古墓木制样品中的
26、是初始值的 78%，试估计该古墓的年代。c1410 17 世纪末至 18 世纪初，牛顿发现在较小的温度范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境温度的差值，因而得下面的冷却模型0)()TCkdtT式中 T(t)为物体 t 时刻的温度，C 是环境温度，k 为正的常数，T 为物体在 t=0 时刻的温度，其解为0T(t)= ekt)(司法部门常用冷却模型估计凶杀的作案时间。例如，某天晚上下 23：00 时，在一住宅内发现一受害者的尸体，法医于 23：35 赶到现场，立即测量死者体温是 30 .8，一小时后再次测量体温为 29.1，法医还注意到当时室温是 28，试利用冷却模型估计受害者的死亡时间。11 .
27、医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则不能达到治病的目的。已知患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生生化反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低。药品深度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。当服药量为 A、服药间隔为 T，试分析体内药的浓度随时间的变化规律。12.在 A，B 两种物质的溶液中，我们想提出物质 A，可以采取这样的方法：在 A，B 的溶液中加入第三种物质 C，而C 与 B 还有 互溶，利用 A 在 C 中的溶液较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。现有稀水溶液醋酸，利用苯
28、作为溶剂，设苯的总体积为 m。进行 3 次萃取加收醋酸。问每次应取多少苯量，方使从溶液中萃取出的醋酸最多？http:/ 棋子颜色的变化在任意拿出黑白两种颜色的棋子共 8 个，排成如图 4-1 所示的一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？解：由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子，两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子，故可将黑色棋子用 1 表示，白色棋子用-1 表示。这是因为-1(-1)=1，11=1，这代表两颗同色棋子中放
29、一颗黑色棋子；1(-1)= -1，这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。设棋子数为 ， 为初始状态。nnaa,21则当 n=2 时，步数 状态3 1a2a4 215 12经过两步，最后全为 1，即全变为黑色棋子。当 n=3 时步数 状态(舍掉偶次项)0 1a2a3a1 2312 3121323 2a3a1a4 123说明当 n=3 时，经过 3 步进入初始状态。 当 n=4 时步数 状态(舍掉偶次项)0 1a2a3a4a1 23412 314231423 4321a4321a4321a4321a4 说明当 n=4 时，经过 4 步全变为黑色棋子。当 n=5 时 (舍掉偶次项)0 1a23a
30、45a1 234512 3142a5341523 42a341a231a4 51213243545 2a34a516 53142152431a542既不循环也不全为黑子结论：当棋子数为 时，至多经过 次操作，就可以全n2n2部变为黑子，当棋子数不为 时则一般不能全变为黑子。nMatlab 演示程序:%棋子颜色问题演示% 1-黑子,-1 -白子n=4; %定义棋子数times=6;%定义迭代次数x0=zeros(1,n);x1=zeros(1,n); %定义数组for i=1:nk=rand(1,1);if(k0.5) x0(i)=1;else x0(i)=-1;endend; % 赋初值x0f
31、or i=1:timesi for k=1:n-1x1(k)=x0(k)*x0(k+1); endx1(n)=x0(n)*x0(1);x1 %显示各次结果x0=x1;end 2、跑步问题在任何一个 5 min 时间区内均不跑 500m，问 10min 能否恰好跑完 1000m？解：设 表示 t 分钟内跑完的路程。显然 。)(ts 0)(s若 10min 能跑完 1000m，则有 。10)(s设 ,则 是 的连续函数。50)(5()tststf tf5,显然若 在 内有零点，则存在一个 5 分钟能跑完,0500m，这将与题目矛盾。因此可先假设 10min 能跑完1000m，则有 。10)(s由
32、得 :)(tf 5)(0s )5(0)(15sf 则 )( 2sf则 在 内必有一个零点 。即从 开始的 5t5,0 1t1t分钟可以跑完 1000m，这与题目矛盾。故 10 min 不能跑完1000m。将题目扩展，若任何一个 3 分钟不能跑完 300m，则是否 10 分钟能跑完 1000m，是否 12 分钟能跑完 1200m?可以举出一个例子说明 10 分钟能跑完 1000m,如下表：第 i 分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10路 程 280 0 0 280 0 0 280 0 0 160按照该表中走法，可以保证任何一个 3 分钟不能跑完300m，但 10 分钟能跑完 1000m。
33、对能否跑完 1200m，可仿照前面的方法来做。设 表示 t 分钟内跑完的路程。显然 。)(ts 0)(s若 12min 能跑完 1200m，则有 。12)(s设 ,则 是 的连续函数。30)(3()tststf tf9,由 的性质及任何 3 分钟不能跑完 300m 得：)f(1)(0(s(2)0)(6)3f(3)39(s(4)9()()12) sf 由(1)+(2)+(3)得： 0)()6()3()0(sfff由连续函数性质得，存在一点 ,使得：61t9)()()()()(31 sffftf则 0992s则存在一点 ，使得9,12t0)(2tf既从 开始的 3 分钟将跑完 300m，这与题目矛盾，2t故假设错误，12 分钟不能跑完 1200m。3、铺瓷砖问题要用 40 块方形瓷砖铺下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了 20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？
