1、数学形象思维及培养杨川（宜宾学院数学学院 09级 2班 宜宾 644000）指导教师： 蒋华摘要： 数学形象思维是指用直观形象和表象解决数学问题的逻辑思维，其特点是形象性、非逻辑性、粗略性和想象性。数学形象思维对学生分析问题和解决问题的培养具有重要作用。数学形象思维在问题解决中可表现为数学表象、数学自感、数学想象等三个基本形态，数学形象思维的意义体现在有利于开发右脑、有激活解题思路、有益于发展创造性思维等。在数学教学中，教师要充分利用学生的数学形象思维特点有效组织教学，采用模型、图形、数形结合、多媒体等具体方法，培养学生的数学形象思维能力，提高学生的综合素质。关键词： 数学形象思维； 培养问题
2、提出：我国著名科学家钱学森在 20 世纪 80 年代把它提高到思维形式的科学高度，他曾经说：“我建议把形象思维作为思维科学的突破口这将把我们智力开发大大向前推进一步。” 【1】 数学是思维学科的基础，那么数学形象思维又会对学生学习数学有着怎样的意义？1 数学形象思维的界定形象思维是人脑运用具体事物，可以看的见摸得着的东西的形象来认识和把握客观世界的思维。对于形象思维，它最早由俄国文艺评论家别林斯基提出，那时常用于文艺领域、人类发现，现代科学技术的发明都源于对事物形象的认识、分析、加工、改变等思维方式。所以说现代科学技术的发明是从形象思维开始的。例如：牛顿看到苹果从树上掉下来，发现了万有引力；莱
3、特兄弟看见鹰在天空中自由翱翔，发明了飞机；这些都说明，只要掌握好事物的本质属性再对其逻辑思维的加工形成形象思维则对人们对日常生活中是有很大的好处的。人们再以表象为基础，进行联想与想象，达到创造发明的目的就可以给人类带来无穷的好处。数学形象思维就是借助数学形象来思考、分析、运算、表达来解决数学问题的思维。它是人脑对各种各样数学对象的数学形象（数字、图式、概念、符号、公式等）的因果关系而进行的一种思维活动。任樟辉认为：“形象思维是依靠形象材料的意识领会得到理解的思维，并指出表象、直感和想象是形象思维的基本形式，数学表象是数学形象思维的基本元素。 ”【2】 李莉认为：“数学形象思维是人们在认识数学的
4、对象过程中，采取典型化概括的思维方式获取对象固有的或可能有的形象如图形作为思维材料，并对其进行反思维的加工，以揭示对象如图形与数量的关系变化规律的一种数学思维方式。 ”【3】2 数学形象思维的作用2.1培养学生的数学形象思维有利于挖掘人类右脑潜能，使左右脑得到协调发展目前对具有巨大开发潜能的右脑还没有的到好的开发和挖掘，现代科学对人脑研究的最新发现，人的大脑分左右两半球但是左右大脑各有不同功能，左半球主要是语言中枢，主管语言和抽象性思维活动，右半球主管音乐，绘画等形象思维活动，只有左右半脑相互配合，相互促进，相辅相成，才能使大脑得到协调发展，加强数学形象思维训练是使左右大脑功能最为有效的发展和
5、挖掘的重要途径之一。只有左右半脑，同时得到了好的发展和挖掘人类才能更加聪明。22.2培养学生的数学形象思维有助于激活解题思路学生在学习数学过程中，特别是在解决数学问题时，对客观事物的认识表象往往会回忆在脑海中，浮现在眼前，这种记忆可以帮助我们寻找以前用过的或学习过的对本问题有用的解题方式、信息来激活解题的思路，从而有效地解决问题。例如：学习过圆柱体体积 后再学习圆锥体的体积hRS2，我们就会从学习圆柱体体积的方式方法中找到学习圆柱体的体积有用的解题方法、信息。32hRS只有这样，才能更好地牢固掌握所学的数学知识。2.3培养学生的数学形象思维会让学生认识到数学的形象美，激发学生对数学学习的兴趣例
6、如：教学生画圆、中心对称、轴对称图形、做圆柱体等都给人形状的美感。2.4培养学生的数学形象思维有益于发展创造性思维数学形象思维不但有助于激发学生的创造性想象，而且会促使学生主动地实验、研究从而发现问题、探索问题和解决问题。又由于数学创造思维往往是通过具体事物的形象、表象等，抓住问题的所在，经过逻辑思维的思考迅速找到解决问题的突破口，然后在对问题转化、分析、处理得到答案，所以对学生数学形象思维能力的训练有益于创造性思维的发展。例如：小学生做，1+2+3+100=？时有着不同的方法，其中高斯的做法就具有较高的创造力。3 数学形象思维的心理元素3.1数学表象所谓表象是人们对所感知过的事物现象，以及在
7、大脑中保存下来，以后眼前没有出现这种事物的现象，但这种事物的这种现象也会在大脑中回忆起原来的形式的反映。数学表象是通过事物的直观形体特征来概括得到的观念性形象。例如：+-等的形象在头脑中呈现的表象是不同的+代表的是两数之和，-代表是是两数之差，代表的是两数之积，代表的是两数之商。那些数学符号在这个形象中起表征作用，这就是一种数学表象。没有数学表现就没有数学形象思维，数学表象是数学形象思维的基础。数学形象思维是从表象这种思维形式开始，人们可以对数学表象进行自由的认识、分析、加工、处理，并可以借助于数学逻辑思维的相互参透与相互融合，对各种表象进行分析、对比，也可以不断地尝试不同特征和不同程度的概括
8、，产生各种各样有不同特征可以判别出不同事物并且有相似、相互联系的表象，在大脑里形成表象系统。直观性和概括性是数学表象的两个重要特征。直观性是指数学表象在大脑中重现时，事物形象具有一定程度的生动逼真性，与客观事物本身相近似。例如：当我们说三角形时，我们大脑里就呈现三角形是由三条线段收尾链接形成的图形。概括性是指数学表象所包含的内容，它是同类事物表面特征综合的结果。例如：在学习分数的时候，我们把圆平均分为三份、四份、六份等若干份然后在拿其中一份和整个圆比较，每一份是圆的几分之几。数学知识一般比较抽象，在教学过程中老师应该把抽象的知识转化为让学生看得到、摸得着、一看就明白的、能在大脑中产生反映的知识
9、，把抽象的知识转化为具体的知识这样才有利于学生更好的掌握数学知识。 3.2 数学直感直感是人脑运用数学表象对具体形象的直接认识和判别。数学直感是在数学表象基础上对有关数学形象特征的判别，通常指由一个数学表象想到另外的数学表象的过程,并与在大脑中储存的各种数学表象联系在一起来,从而唤起另一种新的数学表象,达到揭示数学问题的内容及本质。数学直感是建立在丰富的数学表象的基础之上,只有当我们拥有丰富的数学表象,才能引起丰富的直感。数学直感有着各种不同的形式，主要的有形象识别直感、模式补形直感、形象相似直感。形象识别直感是用数学表3象这个类象所具有的特征去比较数学对象的个象，通过一系列的转化或整合得到的
10、相似性结果表象是不是同质的象的思维活动。数学形象识别重要是各种各样的几何图形、公式、图式、变式情况下的认识，以及在重组、综合形式下的分解辨认。例如：已知a=2.5；b=-1.5；求 22ba解： 。 模式补形直感是利用人脑已在头脑中建构的数学表1)5.2()(22baa象模式，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维模式。这是一种由部分形象去判断整体形象，或由残缺形象补全整体形象的直感。人脑头脑中的表象模式越丰富，则面对是数学问题所给的图形、图式时，补形能力越强。例如：已知 ；求： ？4;ab2ba解： 所以 所以 。形象相似直感是以形象识别22)(baba442ba122直感
11、和模式补形直感为基础的复合直感。当人脑进行形象识别时，往往在头脑中找不到同质的已有表象，也不能通过补形整合与已有的模型。这时人脑通常是在头脑中筛选出最接近于目标形象的已有表象或模式来进行形象识别。通过形象特征的同于异的比较，判别其相似的程度，从而通过适当的思维加工与改造，使新形象联结与原有表象系统的相应环节，构成相似链，在问题解决的过程中就为问题的变更和转化。例如：求： f(x)=sin(x)2 +sin(x)+3 的最值。令 t=sin（x） 则 -1t1 所以我们把 f(x)转化为我们学过的二次函数 f(x)=t2+t+3 在-1，1范围的最值问题。3.3 数学想象数学想象是对数学表象的特
12、征进行推理、加工、改造，即对不同的数学表象进行分析、加工、分解、重组等多个复杂的交错的思考过程然后生产新的复合数学表象的思维活动。它是数学表象与数学直感在人脑头脑中的有机联结和组合。想象思维的重要性还在于它是创造性思维的重要成分，创造性是数学想象最显著的特点，不管是数学中的直觉还是灵感，没有数学想象是不可能完成的。数学想象根据是否有意识来划分，可分为有意想象和无意想象。有意想象是指学习者根据一定目标，自觉的想象。这种想象是有意识和目的性的，数学学习过程中大多数都是有意想象。有意想象有许多形式，其中联想和猜想最为典型。联想和猜想，它们是数学形象思维中想象思维推理中的不同表现形式，也是数学形象思维
13、的重要方法。它们与想象的关系及规律可以从数学的特点、心理学与思维科学的有关规律等诸多方面结合的角度来分析。无意想象是指没有目标只有潜意识的想象。例如：在我们数学学习中，很多时候都会遇见这样的情形，你在做一道题的时候，想了很久都没有做起，只有放弃，但是很有可能在你做其他事情的时候又想起了怎么做。这种现象我们就称无意想象。数学想象有着各种不同的表现形式。第一；图形想象，它是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。它是对几何图形的形象建构，包括图形构想、图形表达、图形识别和图形推理四个层次。第二：图式想象，它是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工和改造。它是对数学图式进行的形象特征推理。
14、图式想象可以分为四个不同的层次，即图式构想、图式表达、图式识别、图式推理。数学形象思维的三种基本形态：数学表象、数学直感、数学想象之间存在深刻的辩证联系，即数学表象和数学直感是数学想象的基本成分或材料；但是数学直感与数学想象互为表里、互相参透，数学想象是数学直感形象的过程，而数学直感又表现为数学想象的结果。 4 数学形象思维的基本特点 4.1 形象性 数学形象性思维是数学形象思维最基本的特点。形象只是相对于一般人对对象认识而形成的一种感知，是很直观的，具有直观的特点。数学形象思维所反映的对象是事物的形象，思维形式是意象、直感、想象等形象的观念，其表达的工具和手段是能为感官所感知的图形、图像、图
15、式和形象性的符4号。例如：求二次函数极值的问题，在画出二次函数的时候，可以形象、直观的看出二次函数的极值在什么地方，极小值就在“低谷”，极大值就在“高峰”。数学形象思维的形象性使它具有生动性、直观性和整体性的优点。4.2 非逻辑性 数学形象思维不像抽象思维那样，对已知条件进行一步一步很严密的加工、推理，是一个很严谨的一个过程，任何一步都不能少或改变顺序，而是应用数学表象为材料，经过自由组合、分解而形成新的形象，或由一个形象跳跃到另一个形象。它对信息的加工过程不是很严谨的，也不是一点顺序的加工，而是平行加工，是根据表象的组合、分解变化出来的新形象。它可以使思维人脑迅速从整体上把握住问题。例如：
16、= 只是对式子展开。数学形象思维需要不断证明和实践中检验。2)(ba2ba4.3 概括性数学形象思维对问题解决的反映是表面上的反映，是具有概括性的形象，对问题解决的把握是大体上的把握。数学形象思维活动过程只是对表象组合、分解、加工,是具有概括性的形象。同时，形象思维活动过程本身也是概括的,但这种概括是形象地进行的,它是一种形象性的理性认识、判别活动。但是人们在进行数学形象思维时常常离不开数学抽象思维,在实际的思想活动际的思维活动中，往往需要将数学抽象思维与数学形象思维巧妙结合，协同使用才能更好、更快、更准、更有效的解决问题。 4.4 想象性 数学想象是思维人脑运用已有的形象形成新形象的过程。数
17、学形象思维并不满足于对已有形象的再现，它没有严格的规则，不受逻辑思维规则的约束，更致力于追求对已有形象的自由分解、组合、加工，而获得新形象关系、概念的输出。所以，想象性使数学形象思维具有变化性需要数学抽象思维的修正、补充从而上升为创造性思维。 5 数学形象思维的培养数学形象思维只有通过培训和培养才能得到较好的发展。在数学教育中，老师平时必须重视学生的数学形象思维的培养和训练，并让学生主动去学习、思考、探索、解决数学问题提高自己的数学形象思维能力。在中国的传统数学教学方法中老师都很重视学生平时数学形象思维的培养，并在这一过程中不断吸取教训，总结经验。5.1 丰富数学表象的累积，表象是数学形象思维
18、的基础数学形象思维是借住与数学表象而进行的，数学表象是数学形象思维的细胞，数学表象的积累是数学形象思维的基础，没有数学表象的活动就没有数学形象思维。运用直观的数学教育方式，促进学生的数学形象思维的发展。直观性教学是指在客观事物模型、图片、图形、公式、符号及语言文字等的作用刺激下，学生通过观察、分析、思考、处理、改变等，然后在脑海里建立与数学形象思维相关系的表象、直感、联想从而上升为一种概况性的概念、理论、定理等。我们在学习“变量与函数”的第一节课，书上提出这样问题。问题一：下表是 2002 年 7 月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：存期 X 三个月 六个月 一年 两年 三年
19、五年5年利率 Y 1.7100 1.8900 1.9800 2.2500 2.5200 2.7900观察上表：说一说随着存期 X 的增长，相应的年利率 Y 有何变化？问题二：如果用 r 来表示圆的半径，c 表示圆的周长，则 c 与 r 之间满足下列关系： 。由此rc2可以知道，圆的半径越大，它的周长就越大。上面两个问题，学生从熟悉的数学形象材料入手，由存期 x 的变化可以形象的感知道年利率 y 的变化，由圆的周长与半径的关系，可以体会到半径的变化带来了圆的周长的变化的数量变化的过程。从而学生更好的去理解数学变量、因变量的定义，甚至理解函数的相关概念。5.2 数学直感激发数学形象思维的形成数学直
20、感是数学表象基础上对有关数学表象的特征判别。它是人脑对于数学对象事物的某种直接的领悟或洞察。它在运用知识组块和直感时都得进行适当的加工，将脑中贮存的与当前问题相似的块，通过不同的直感进行联结，它对问题的分解、改造整合加工具有创造性的加工，从而形成解决数学问题的思维，数学直觉的基础在于数学表象的积累，因此如果一个学生在解决数学新问题时先是对它的表象做出直接的迅速的认识和判别，然后再对问题思考，形成形象思维。在我们学习圆与直线位置关系这一课时，我们给出具体的图形表象让同学们去思考。通过给出具体图形圆的半径和圆心到直线的距离的比较得出圆心到直线的距离 d 与半径 r 的相应关系。例： rd rd r
21、dd r o oo6问题三：如图，在平面直角坐标系中圆的半径 r=1，直线 y=x-1 与圆的位置关系432112348 6 4 2 2 4 6 8rdy=x-1oA: 相交 B：相切 B：相离 D：以上三种情况都可能通过圆与直线的位置关系图形的表象，即：相交 dr；相切 d=r；相离 dr，形成圆与直线位置关系的直感，来判断圆与直线的位置关系。问题三，只要我们把 r=1 的圆在直角坐标系画出来并把y=x-1 也画出来，我们就可以很形象直观的看到此圆心和直线 y=x-1 的位置关系。5.3 数学想象促进数学形象思维的发展想象是作为数学形象思维的方式，它的实质是表象的改造过程。这种改造过程一般有
22、三个类型。第一是分解和组合，是数学形象思维的基础。第二是类比和联想，是数学形象思维开展的方法。第三是想象与创造，是数学形象思维创新的过程问题四：如图一所示：已知 ABCD;AEHG 是正方形。求 HD:GC:EB 一D CA BEGF解： 连接 AG; AC7ADC 和 AHC 都是等腰三角形AD :AC=AH:AG=1： 2DAC=HAG=45 0 DAH=CAGDAH GAC HD:GC=AD:AC=1： 2DAB=HAE=90 0 DAH=BAE又AD=AB ; AH=AE DAHBAE HD=EBHD:GC:BE= 1： :1 2问题五：如图二所示：已知 ABCD;AEHG 是矩形,且
23、 DA：AB=HA：AE=m:n。求 HD:GC:EB ？一D CBAEGF解： 连接 AG; AC AH：AE=DA：AB=m：n HAE=DAB=90 0 HAB=HAB BAE=DAH DAH BAE DH：BE=m：nABCD；AEGH 是矩形 ；22ABDC22HGDA：AC=m： ；HA：AG=m：2mnmDAG=HAC ；CAH=CAH DAH=CAGDAH GAC DH：CG= m： 2同理可得：EB：GC=n： 2n8HD:GC:EB= m： ：n2通过学习和了解问题四的解题方法来分析、设想问题五也可以通过问题四的解题方法来解决，我们就可以用同一样的解题方式来解决问题五。5.
24、4：加强数学教学的直观性数学形象思维是凭借“数学形象”来思考、表达及展开数学问题的一种思维形式，其“数学形象”相对人的感知限度而言是很直观的。“直观”本身就是数学形象思维的一个特点，不仅如此，直观本身也是一个重要的教学原则和手段。由于数学形象思维是以数学表象思维为重要材料，借助与材料的鲜明生动的图像、公式、符号、语言等作为物质的外壳，并给学生认识数学表象时强烈的思维活动。因此，在数学教育过程中，从研究数学概念、定义定理、公理等需要运用演示实验、板书、模型、ppt、多媒体等直观的辅助教学工具，加上老师生动的语言和形象的手上动作，使学生感受到生动具体的思维认识。问题六：求二次函数 的最大值？5-2
25、xy864224615 10 5 5 10 15y=-x2+5o把二次函数的图像画出如图所示，很容易看出最大值是在 y 轴上,取即 x=0 的时候 y 取得最大值，所以的最大值 y=5。5-2xy5.5：培养学生的动手能力在数学教学中让学生自己去动手制作模型、画图、动手计算、动脑思考。例如：在讲立体几何时让学生自己动手制作圆柱体、长方体；在学对称性时让学生制作对称图形。根据模型来观察立方体的一些表象，思考他们的共同点、区别，了解他们的特点、性质让他们知道数学表象的具体性，增加学生对学习数学的兴趣。5.6：常用多媒体演示随着信息时代的到来，多媒体在数学教学中得到了迅速的发展，使数学教学充满了新的
26、生命力。因为教学活动中多媒体能够有效地将文字、图像、图形、动画、声音相互结合。它具有的直观、生动、形象、富有感染力的特点，极大的激发了同学学习数学的积极性和主动性有助于同学的学习和交流，使学生的学习效率大大提高。因此，适当的应用多媒体来辅助数学教学，能使抽象的数学问题得到具体化、清晰化，也可以使同学思维活跃，从而培养同学的数学形象思维。传统的数学教学一黑板、一粉笔、一张嘴模式虽然在一定程度上有助于学生的逻辑思维的发展但往往超出了学生的接受范围，9而且在讲抽象的数学问题的时候往往会更加难懂。多媒体等现代教学工具在教学中改变了现状，它可以形象生动的展现出较为抽象是思维过程，让抽象的事物变得具体形象
27、。多媒体教学理念打破的传统教学观念，加速了教学形式和内容的改革，促进教学手段和管理水平的现代化水平。例如：一元二次函数求最值问题，借助于多媒体使学生更加容易理解和掌握，并丰富了学生对函数具体的表象。5.7：数形结合，培养数学形象思维能力数学是研究现实中的数量关系和空间形式的科学即数学是数与形结合的学科。不同的图像表象在大脑里形成不同的思维表象材料，大脑里的思维表象材料越多则图像表象就越丰富。不同表象的记忆会调动右脑思维的积极性和主动性，提高了数学形象思维能力，从而使左右大脑得到和谐的发展，也使人们变得更加聪明。例如：在学习了有理数和数轴要求在数轴上比较数的大小。问题七：把下列的数在数轴上标出来
28、并比较大小。-3 ；6/5 ；9/2 ；-5 ；-0.5 ；+3-8 6420-2-6-4-0.5-5-3 -5/63.5-5-3-0.56/5+39/2当看到数的比较时，大脑里马上就出现数轴并在数轴上标出相对应的数，再比较大小就比较容易多了。总结通过数学思维、形象思维、数学形象思维的概念来深入了解了数学形象思维的概念，知道了什么是数学形象思维。又通过数学形象思维的三个基本态（数学表象、数学自感、数学想象）来深入研究了数学形象思维所呈现时的载体（表现形式），数学形象思维是不同于其他数学逻辑思维的，数学形象思维是有属于它的特点的，即：形象性、非逻辑性、粗略性、想象性。我们为何要那么重视数学形象思
29、维呢，数学形象思维又有哪些意义和作用呢，从而又了解了数学形象思维的意义和作用。为了更好的深入研究数学形象思维并能够通过实验得到证实，于是在实际教学中对老师要求怎样教学、学生怎样学习进行了相关的研究和实验。最后得出了对数学形象思维培养的几条途径，和如何去提高学生的数学形象思维的经验。数学是一切科学学科的基础，数学成绩也是影响学生升学的重要因素之一，所以说学好数学有着重大的意义，更为重要的是学生在数学学习中也学会了生活的技能和方法。学习数学很重要，数学教育也很重要而数学教育中更为重要的就是如何培养好学生的数学形象思维。随着教育的改革，越来越受到人们去研究数学形象思维，只有更好的研究出如何更好的培养
30、学生的数学形象思维，切实提高学生的综合素质和科学素养。 参考文献1 钱学森 .关于思维科学. 上海人民出版社. 1986 年版2 任樟辉 .数学思维理论. 广西教育出版社3 李莉 .数学形象思维及其特征.大连教育学院学报. 1999 年.第六期2 马忠林 .数学思维论. 广西教育出版社3 周实然 .数学形象思维及特点和形式. 贵州师范大学学报 104 李秀林 .培养学生数学思维的方法和途径. 武警学院学报5 陈志权 .浅谈数学形象思维的培养. 广东省增城市职业技术学校6 李胜平 .数学问题解决中形象思维的意义及其培养.思茅师范高等专科学校7 郑俊盛 .数学形象思维及其培养. 佛山市石湾区教研室
31、8 王光明 .形象思维研究的现状与思考. 天津师范大学数学系9 谷政 .形象思维与数学形象思维. 南京农业大学理学院10 金晓菁 .形象思维在数学教学中的作用. 南通职业大学11 崔克忍 .元认识与数学思维. 教育理论与实践 . 第 25 卷 5 期12 谢建明 .开发数学形象思维 拓展全面创新能力. 广东省河源市河源中学致谢：本次论文是在我的导师蒋华老师的亲切关怀和细心的指导下完成的。他严谨的科研态度，和精益求精的工作作风，深深的激励和鼓励着我。从论文的题目选择到论文的完成，蒋老师始终给予我细心、耐心的指导，给我提出了很多很多的宝贵建议和意见，我的论文才得以完成。在此我谨向蒋老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。还有要感谢和我同一小组的几位同学，是你们在我平时论文设计中和我一起讨论，给了我不少的好的建议和意见，使得我能及时解决问题也使我的论文顺利地进行下去，没有你们的帮助我不可能这么顺利的完成，在此我表示深深地谢意！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从论文的选题到顺利的完成，期间不知有多少老师、同学、朋友给了我宝贵的建议和意见，在此表示诚挚的谢意。
