1、Oyx极限是微积分的基石一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。 ”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。 （1）求第 天剩余的木棒长度 (尺)，并分析变化趋势；（2）求前 天nnan截下的木棒的总长度 (尺)，并分析变化趋势。b观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数 无限增大时，数列的项 无限趋近na于某个常数 A（即 无限趋近于 0） 。 无限趋近于常数 A，意指“ 可以任意地ann靠近 A，希望它有多近就有多近，只要 充分大，就能达到我们所希望的那么近。 ”即“动点 到 A 的距离 可以任意小
2、。n二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于某个常数 A（即nnan无限趋近于 0） ，那么就说数列 的极限是 A，记作annanlim注：上式读作“当 趋向于无穷大时， 的极限等于 A”。 “ ”表示“ 趋向于nn无穷大” ，即 无限增大的意思。 有时也记作当 时， Anli na引例中的两个数列的极限可分别表示为_，_思考：是否所有的无穷数列都有极限？例 1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1， ， ， ， ；（2） ， ， ， ，；23n11341n（3）2，2，2，2，；（4）0.1，0.01，0.001，
3、 ，；).0(（5）1,1，1， ，； n1注：几个重要极限：（1） （2） （C 是常数）limnnlim（3）无穷等比数列 （ ）的极限是 0，即 ：nq1)1(0liqn2、当 时函数的极限x（1） 画出函数 的图像，观察当自变量 取正值且无限增大时，函数值的变化情xy1x况：函数值无限趋近于 0，这时就说，当 趋向于正无穷大时，函数 1的极限是 0，记作： 01limx一般地，当自变量 取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数 A，就说当 趋向于正无穷大时，函数 的极)(xfyx)(xfy限是 A，记作： xfx)(li也可以记作，当 时， f)(（2）从图中还可以看出，当自
4、变量 取负值而 无限增大时，函数 的值无限xxy1趋近于 0，这时就说，当 趋向于负无穷大时，函数 的极限是 0，记作：xxy11limx一般地，当自变量 取负值而 无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一x )(fy个常数 A，就说当 趋向于负无穷大时，函数 的极限是 A，记作：)(xfyxfx)(li也可以记作，当 时，Axf)(（3）从上面的讨论可以知道，当自变量 的绝对值无限增大时，函数 的值都无xy1限趋近于 0，这时就说，当 趋向于无穷大时，函数 的极限是 0，记作xy10lim一般地，当自变量 的绝对值无限增大时，如果函数 的值无限趋近于一个x )(f常数 A，就说当 趋向于无穷大
5、时，函数 的极限是 A，记作：)(fy Axf)(li也可以记作，当 时，Af)(特例：对于函数 （ 是常数） ，当自变量 的绝对值无限增大时，函数Cxf)( x的值保持不变，所以当 趋向于无穷大时，函数 的极限就是 ，即xf)( Cf)(xlim例 2：判断下列函数的极限：（1） （2）x)(li xx10lim（3） （4）21limxlimx三、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1， ， ， ， ；（2）7，7，7，7，；491n（3） ； （4）2，4，6，8，2n，； ,)(,8,2（5）0.1，0.01，0.001， ，； （6）0， ， ，；n10,321
6、1n（7） ， ，； （8） ， ，；,413,2)(,5945（9）2, 0，2， ,， 1n2、判断下列函数的极限：（1） （2）xx4.lim xx.1lim（3） （4）)(x 4x（5） （6）x10li x)5(li（7） （8）2x x一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如 .若求极限的函oxxolim,01li数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.对于函数极限有如下的 运算法则 ：如果 ，那么BxgAxfoo )(lim,)(lio
7、xBAxgfox)(lim0)(liox也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为 0）.说明 ：当 C 是常数，n 是正整数时， )(lim)(lixfCxfooxnxnoo 这些法则对于 的情况仍然适用.x三 典例剖析例 1 求 例 2 求 例 3 求)3(lim2x1lim231xx 416lim2x分析：当 时，分母的极限是 0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4在定义域 内，可以将分子、分母约去公因式 后变成 ，由此62xyx 4x即可求出函数的极限.例 4 求 13lim
8、2x分析：当 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以 ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计2x算。总结： ),(lim,li *NkxCokxxoo 01,kxx例 5 求 342lix分析：同例 4 一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 ，就可以运用法则3x计算了。三、练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1） ； （2）)32(lim1x )13(lim2xx（3） ； （4）)(li4x 4li21xx（5） （6）1lim2x 965lim23x（7） （8）3li2x li3y一、复习引入：函数极限的运
9、算法则：如果 则 ,)(lim,)(li00 BxgAxf)(li0xgfx， （B ）)(.lim0xgfx 0x 二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果 那么,li,liBbAann)( BAbann)(limnnlim 0(lin推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若 ， ， 有极限，anbnc则： nnnnn cbacbalililim)(li特别地，如果 C 是常数，那么 CACm.).(二.例题： 例 1.已知 ，求,5limna3linb).4(linnba例 2.求下列极限：（1） ； （2）)4(lin 2)1(lin例 3.求下列有限：（
10、1） （2）13limn 1lim2n分析：（1） （2）当 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。例 4.求下列极限：（1） )12715(li222 nnn （2） )394limn说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分n母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积） 。3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定
11、不存在。小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：1.已知 ，求下列极限,2limna31linb（1） ； （2）)(linn nnablim3.求下列极限（1） ； （2） ；n1li 23lin（3） ； （4） 。2limn 15lin4.求下列极限:(1). (2).231linn 67limn(3). （4）9li2n )142li(2nnAB Cah第 4第（5） （6）.已知 求nn319124lim ,2limnannali无穷等比数列各项的和1、等比数列的前 n 项和公式是_2、设 AB 是
12、长为 1 的一条线段，等分 AB 得到分点 A1，再等分线段 A1B 得到分点 A2，如此无限继续下去，线段 AA1，A 1A2，A n1 An，的长度构成数列 ,84可以看到，随着分点的增多，点 An 越来越接近点 B，由此可以猜想，当 n 无穷大时，AA1+A1A2+ An1 An 的极限是_.下面来验证猜想的正确性，并加以推广1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比 的绝对值小于 1，则其各项的和 S 为 ,121nqaaqS)(例 1、求无穷等比数列 0.3， 0.03，
13、0.003， 各项的和.例 2、将无限循环小数 化为分数.。 920练习1、求下列无穷等比数列各项的和：（1） （2）；,832,9 )1(,132xx，2、化循环小数为分数：（1） （2） （3）。 60. 。8.1。04.3、如图，等边三角形 ABC 的面积等于 1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是 a ,这条边上的高是 h（1）过高的 5 等分点分别作底边的平行线，并作出相应的 4 个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高 n 等分，同样作出 n1 个矩形，求
14、这些矩形面积的和；（3）求证：当 n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积 ah/21. 瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？一般地，设物体的运动规律是 ss（t ） ，则物体在 t 到（ t ）这段时间内的平均速度为 . 如果 无限趋近于 0 时， 无限趋近于某个常数 a，就tst)(ts说当 趋向于 0 时， 的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 t 的瞬时速度.2. 切线的斜率问题 2：P（1,1）是曲线 上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点 Q 沿曲线2xy逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况.一般地，已知函数 的
15、图象是曲线 C，P（ ） ，Q（ ）)(f 0,yxyx00,是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动. 当点 Q沿着曲线无限接近点 P，即 趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，x那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线. 此时，割线 PQ 的斜率 无限趋近于切xykPQ线 PT 的斜率 k，也就是说，当 趋向于 0 时，割线 PQ 的斜率 的极限为 k.x3. 边际成本问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为 ，103)(2qC一般地，设 C 是成本， q 是产量，成本与产量的函数关系式为 CC
16、（q） ，当产量为时，产量变化 对成本的影响可用增量比 刻划. 如果0qq)(00无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际成本. 它表明当产q量为 时，增加单位产量需付出成本 A（这是实际付出成本的一个近似值） .0q瞬时速度是平均速度 当 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜ts率是割线斜率 当 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本 当 趋近于 0 时的xy qC极限.我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。1.设函数 在
17、 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时，则函数)(xfy0 0xx相应地有增量 ，如果 时， 与 的比fY )(0xfxfyy（也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xy做函数 在 处的导数，记作 ，即)(fy0x0/xfxf)(lim(0/注：1.函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在。x2.在定义导数的极限式中， 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而 可能为 0。x y3. 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲xy)(f线 上点（ ）及点 ）的割线斜率。)(f,0x)(,(00xf4.导数 是函数 在点 的处瞬时变化率，ffxf
18、)(lim0/ fy0它反映的函数 在点 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(fy0x上点（ ）处的切线的斜率。因此，如果 在点 可导，)(xfy)(,0xf )(xfy0则曲线 在点（ ）处的切线方程为 。)/05.导数是一个局部概念，它只与函数 在 及其附近的函数值有关，与 无)(xfy0 x关。6.在定义式中，设 ，则 ，当 趋近于 0 时， 趋近于 ，因x000此，导数的定义式可写成 。00/ )(lim)(lim)( 0xfxfff xox 7.若极限 不存在，则称函数 在点 处不可导。xffx)(lim00 )(fy08.若 在 可导，则曲线 在点（ ）有切线存在。反之不然，若
19、曲)(f0)(xfy,0xf线 在点（ ）有切线，函数 在 不一定可导，并且，若函xy(,0f )(y数 在 不可导，曲线在点（ ）也可能有切线。)(f0 ,0xf一般地， ，其中 为常数。axbx)limb特别地， 。0如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，)(xfy),(ba ),(bax都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。称这个函数 为/f )(/xf/f函数 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作 ，即)(xfy /y /f/ xffyxx)(limli00函数 在 处的导数 就是函数 在开区间 上)(fy0/)(xfy),(ba),(x导数 在 处
20、的函数值，即 。所以函数 在 处的导数也/00/xy0/f fy0记作 。)(0/xf注：1.如果函数 在开区间 内每一点都有导数，则称函数 在开区)(xfy),(ba )(xfy间 内可导。),(ba2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数 在点)(xfy处的导数就是导函数 在点 的函数值。0x)(/xf03.求导函数时，只需将求导数式中的 换成 就可，即 x)(/xfxffx)(lim04.由导数的定义可知，求函数 的导数的极限方法是：)(xfy（1）.求函数的改变量 。f（2）.求平均变化率
21、。xfx)(（3）.取极限，得导数 。/y0lim例 1.求 在 3 处的导数。12y例 2.已知函数 x（1）求 。/y（2）求函数 在 2 处的导数。x2补充两个内容:（1）洛必达法则 ;（2）阿基米德法1 用洛必达法则求下列极限 (1) x)ln(im0(2) esil(3) axsinlim(4) 22)(ilix(5) nmaxli(6) 210lixe(7) 1lim21xx(8) a)(li(9) xxsin0解 (1) 1lim1li)1l(im000 xxx(2) 2coslisinleexxx(3) aaa1(4) 812cslim41)2(ctlim)2(sili2 xx
22、xxx (5) nnmnaxnmax a11lili(6) (注 当 x0 时 lililili201202 tttxx ee 21xt(7) 21lim1li1lim21 xxx(8)因为 )ln(i)(liaxxea而 axaxaxaxa xxx 1limli1)(lim1)ln(i)1(lnim22所以 axxx ea)1ln(i)1(li (9)因为 xxxlnsi0sin0lml而 0cosinlmcots1licslilsilm20000 xxxxx所以 lniine极限是微积分的基石战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。 ” （1）求第
23、天剩余的木棒长度 (尺)，并分析变化趋势；（2）求前 天截下的木棒nnan的总长度 (尺)，并分析变化趋势。b一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于某个常数 A（即nan无限趋近于 0） ，那么就说数列 的极限是 A，记作Aannanlim注：上式读作“当 趋向于无穷大时， 的极限等于 A”。 “ ”表示“ 趋向于nn无穷大” ，即 无限增大的意思。 有时也记作当 时， Anli na引例中的两个数列的极限可分别表示为_，_例 1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1， ， ， ， ；（2） ， ， ， ，；23n11341n（3）2，2，2，2
24、，；（4）0.1，0.01，0.001， ，；).0(（5）1,1，1， ，； n1注：几个重要极限：（1） （2） （C 是常数）limnnlim（3）无穷等比数列 （ ）的极限是 0，即 ：nq1)1(0liqn一般地，当自变量 取正值且无限增大时，如果函数x的值无限趋近于一个常数 A，就说当 趋向于正无穷大时，函数 的极)(xfyx)(xfy限是 A，记作： ,也可以记作，当 时，Axfx)(limxAxf)(例 2：判断下列函数的极限：（1） （2）xx)(li xx10lim（3） （4）2练习1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1， ， ， ， ；（2）7，7，7，7，
25、；491n（3） ； （4）2，4，6，8，2n，； ,)(,8,2（5）0.1，0.01，0.001， ，； （6）0， ， ，；n10,3211n（7） ， ，； （8） ， ，；,413,2)(,5945（9）2, 0，2， ,， 1n2、判断下列函数的极限：（1） （2） （3） （4）xx4.limxx.li)1lim(x4lix（5） （6） （7） （8）xx)10(lixx)45(lim1li2x5limx对于函数极限有如下的 运算法则 ：如果 ，那么BgAfooxx )(li,)(lio fox)(lim0)(liBAgox说明 ：当 C 是常数，n 是正整数时， )(lim
26、)(lixfCxfooxnxnoo 这些法则对于 的情况仍然适用.x例 1 求 例 2 求 例 3 求)3(lim2x1li231xx 416lim2x例 4 求 1li2x总结： ),(li,li *NkxCokxxoo )(01lim,li *NkxCx 例 5 求 1342limx练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1） ； （2）)(li21x )13(li2xx（3） ； （4）)3(lim4xx 4lim21xx（5） （6）1li2x 965li23x（7） （8）3li2x li3y数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果 那么,lim,liBbAann)( BA
27、bann)(limnnli 0(lin推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若 ， ， 有极限，anbnc则： nnnnn cbacbalimlili)(lim特别地，如果 C 是常数，那么 CAaC.).(例 1.已知 ，求,5lin3lin4linn例 2.求下列极限：（1） ； （2）)4(limn 2)1(limn例 3.求下列有限：（1） （2）13lin li2n分析：（1） （2）当 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。例 4.求下列极限：（1） )12715(lim222 nnn （2） )394lin练习1
28、.已知 ，求下列极限,2lina1linb（1） ； （2）)3(limnn nnablim2.求下列极限（1） ； （2） ； （3） ； （4）n1li2limn21lin。35li2n3.求下列极限:(1). (2).21limnn 1657limn(3). （4）9li2n )42li(2n（5） （6）.已知 求nn319124lim ,2limnannali无穷等比数列各项的和1、等比数列的前 n 项和公式是_2、设 AB 是长为 1 的一条线段，等分 AB 得到分点 A1，再等分线段 A1B 得到分点 A2，如此无限继续下去，线段 AA1，A 1A2，A n1 An，的长度构成数
29、列 ,84可以看到，随着分点的增多，点 An 越来越接近点 B，由此可以猜想，当 n 无穷大时，AA1+A1A2+ An1 An 的极限是_.下面来验证猜想的正确性，并加以推广1、等比数列的前 n 项和公式是_2、设 AB 是长为 1 的一条线段，等分 AB 得到分点 A1，再等分线段 A1B 得到分点 A2，如此无限继续下去，线段 AA1，A 1A2，A n1 An，的长度构成数列 ,84可以看到，随着分点的增多，点 An 越来越接近点 B，由此可以猜想，当 n 无穷大时，AA1+A1A2+ An1 An 的极限是_.下面来验证猜想的正确性，并加以推广1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小
30、于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比 的绝对值小于 1，则其各项的和 S 为 ,121nqaaqS)(例 1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003， 各项的和.例 2、将无限循环小数 化为分数.。 920练习1、求下列无穷等比数列各项的和：（1） （2）；,832,9 )1(,132xx，2、化循环小数为分数：（1） （2） （3）。 60. 。8.1。04.AB Cah第 4第3、如图，等边三角形 ABC 的面积等于 1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小
31、的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是 a ,这条边上的高是 h（1）过高的 5 等分点分别作底边的平行线，并作出相应的 4 个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高 n 等分，同样作出 n1 个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当 n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积 ah/2问题 1：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？问题 2：P（1,1）是曲线 上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点 Q 沿曲线2xy逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况.问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为 ，则产量为103)(2qC50 时的边际成本为多少？（边际成本=成本增长的快慢程度） xffxf)(lim)( 000/ /f/yxffxxlili00例 1.求 在 3 处的导数。12xy例 2.已知函数 2（1）求 。 （2）求函数 在 2 处的导数。/yxy2补充题：1:用洛必达法则求下列极限 (1) (2) (3) x)1ln(im0xexsinlm0axsinlim(4) (5) (6) 22)(sinlimxxnmaxli 210lixe(7) (8) (9) 1li1x xx)1(lixxsin0l2.求 图像与 x 轴，x=0,x=1 围成的曲边三角形面积。3y
