1、第页 1“皖南八校”2019 届高三第一次联考数学（理科）第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题題 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合 ，则 A BA. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合 ，由交集的定义可得结果.【详解】因为集合 或 ，所以， ，故选 D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.2.设是虚数单位，且 ，则实数 kA. 2 B. 1 C.
2、 0 D. 【答案】C【解析】【分析】由虚数单位的运算法则化简 ，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为 ，所以可得，故选 C.【点睛】本题主要考查虚数单位的运算法则以及复数相等的性质，属于简单题第页 23.函数 且 是增函数的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】 与 是函数 且 为增函数的既不充分又不必要条件；是函数 且 为增函数的充要条件；可得 ， 不等得到 ，所以 是函数 且 是增函数的一个充分不必要条件，故选 C.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接
3、依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.偶函数 在 上是增函数，且 ，则满足 的实数 的取值范围是A. (1,2) B. (-1,0) C. (0,1) D. (-1,1)【答案】A【解析】【分析】由偶函数 在 上是增函数，可得函数 在 上是减函数，结合 ，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数 在 上是增函数，所以函数 在 上是减函数，由 且满足 ，等价于 ，可得 ，第页 3实
4、数 的取值范围是 ,故选 A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同) ，然后再根据单调性列不等式求解.5.如图在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E 为 BC 边上一点， ，F 为 AE 的中点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据平面向量加法与减法的运算法则化简求解即可.【详解】根据平面向量的运算法则；因为所以 ,故选 B.【点睛】本题主要考查向量
5、的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）6.若函数 在区间（a， a）上是单调函数，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】第页 4【分析】求出函数 在 上递增，由 可得结果.【详解】函数函数 可化为，由 可得函数 的单调增区间为由可得 ，实数的取值范围是 ，故选
6、D.【点睛】函数 的单调区间的求法：(1) 代换法：若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；若,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.7.设不等式组 ，所表示的平面区城为 M，若直线 的图象经过区域 M，则实数 k 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出不等式组 表示的可行域，将问题转化为可行域内的点 与 连线的斜率的范围求解即可.第页 5【详解】画出不等式组 表示的可行域，如图 ，恒过 ，即为可行域内的点 与 连线的斜率，由图可知， ，即
7、实数 的取值范围是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.设 是等差数列， ，且 ，则 A. 59 B. 64 C. 78 D. 86【答案】D【解析】【分析】由 可得 ，利用“累加法”， 结合等差数列的求和公式可得结果.【详解】设 的公差为 ，则，又 ，时，第页 6，故选 D.【点睛】等差数列基
8、本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（ ）与前 项和的关系.9.函数 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 上，且m0，n0，则 3mn 的最小值为A. 13 B. 16 C. D. 28【答案】B【解析】【分析】由函数 的图象恒过 ，可得 ，则 ，利用基本不等式可得结果.【详解】函数 的图象恒过 ，由点 A 在直线 上可得，即 ，故 ，因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时取等号） ，故 ，故选 B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基
9、本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.10.函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移个 单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到 的图象则 ）图象的一条对称轴为直线第页 7A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由最值求 ，由周期求 ，利用特殊点求 ，从而可得结果.【详解】由图象可知，所以，可得 ，故选 D.【点睛】本题主要通过已知三角
10、函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时11.已知函数 是定义在 上的单调函数，若对任意 恒成立，则 的值是A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】因为函数 在定义域 上是单调函数，且 ，所以 为一个常数，则 ，令这个常数为 ，则有 ，且 ，第页 8将 代入上式可得 ，解得 ，
11、所以 ，所以 ，故选 B.12.设函数 在 R 上存在导数 ，对任意的 ，有 ，且 时， 若，则实数 a 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数 ，由 可得 在 上是增函数，在 上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果.【详解】设 ，则 时，为偶函数，在 上是增函数，时单调递减.所以可得 ，即 ，实数的取值范围为 ，故选 A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题
12、，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手： 根据导函数的 “形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷（非选择题共 90 分）第页 9二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知 是第二象限角，且 ，则【答案】 【答题空 13-1】 【解析】【分析】直接利用同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式求解即可.【详解】因为是第二象限角，且 ，所以 ，故 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式，意在
13、考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.14.用 表示 a、b 两个数中的最小，设 ，则由函数的图象，x 轴与直线 x 和直线 x2 所围成的封闭图形的面积为 _。【答案】 【解析】【分析】将围成封闭图形转化为 ，利用定积分求解即可.【详解】由题意，围成封闭图形如图中阴影部分，第页 10由题意，故答案为 .【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、曲线 以及直线 之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还
14、是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.15.设函数 的最大值为 M，最小值为 N，则 MN=_。【答案】5 【解析】【分析】由 可得 ，从而可得 ，进而可得结果.【详解】 , 是奇函数，即 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数奇偶性的判断与应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题.16.已知高数 的周期为 4，且 时， ,，若方程 恰有 5 个实数解（其中 m0） ，则 m 的取值范围为_。【答案】 【解析】【分析】有 5 个解，等价于为 与 的图象有 5 个交点，利用数形结合可得结果.第页 11【详解】有 5 个解，等价于为 与 的图象
15、有 5 个交点，在同一坐标系内画出函数 与 的图象，如图.求出直线 过点 和直线 与半圆 相切时的 的值分别为 ，由图可得时，与 的图象有 5 个交点，故答案为 .【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.已知向量 ，函数（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间（2）当 时，求函数 的值域【答案】 （1） ， （
16、2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积公式，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为 .，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 的递减区间；（2）由 可得 ，从而可得结果.【详解】 ，. 第页 12（1） 的最小正周期 .由 得的单调减区间为 .（2） ，.，即 的值域为 .【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各
17、种变化形式要熟记于心.18.数列 的前 n 项和记为 ，且 1，（1）求证：数列 是等比数列（2）求数列 的通项公式【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）把 ，化为 化简整理得 ，进而可推出是以 1 为首项 2 为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由 ，结合（1）可得 ，当 时， .【详解】 （1） ，又 .是以 1 为首项 2 为公比的等比数列第页 13（2） 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列，即 ，当 时， ， 也符合，所以 ，【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前 项和与第 项关系，求数列通项公式，常用公
18、式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况.19.在斜 ABC 中，a 、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且（1）求 A 的大小（2）若 ，求 B 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由 ，利用余弦走理 结合二倍角的正弦公式,可得 ,即可求角；（2）若 ,则甶余弦走理可得 ,求得 即可得 .【详解】 （1），由 为斜三角形， .（2） ， 第页 14由（1）知 ，即 【点睛
19、】本题主要考查余弦定理及三角函数的恒等变换，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.命题 P： 有意义；命题 q：函数在 上是单调函数（1）写出命题 ，若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围（2）若 为真命题， 为假命题，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）利用全称命题的否定可得 无意义， 为真命题时，分类讨论可得，；（2） 为真命题时， ，化简命题 可得 或 ，由 为真命题，为假命题，可得 一真一假
20、，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围.【详解】 （1） 无意义，P 为真命题时， .当 时， 有意义.当 时，有意义.p 为真命题时， . （2） 为真命题时， ， q 为真命题时， ，由函数在 上是单调函数，或 在 时成立， 或 . 第页 15为真命题， 为假命题，与 q 一真一假， 当 为真命题时，q 为假命题时， .当 为假命题时，q 为真命题时， . 的取值范围是 .【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，
21、应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真” ；（3）且命题“一假则假”.21.已知函数（1）求证：对任意 ，有（2）若 在实数集内有两个零点，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，由单调性可得 时， ；（2）由. 若 ，则 恒成立， 在 R 内递增， 不可能有 2 个零点，若 利用导数可得 在 内递减，在 内递增，由题意，则，利用导数结合零点存在定理可得结果.【详解】 （1） .令 ，解得 .x 0+ 0第页 16极大值 1在 内是增函数，在 内是减函数. 时，（2） . 若 ，则 恒成立， 在 R 内递增， 不
22、可能有 2 个零点若 得令 得 ； 令 得 .在 内递减，在 内递增，由题意，则 . 下证： 时， 有 2 个零点，由 及单调性知 在 内有 1 个零点. 时， ，取 ，则 ，.由（1）知 ，取 ，则 ，由 的单调性知 在 内有 1 个零点， 有 2 个零点时， .第页 17【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的
23、简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.设函数（1）若曲线 在点 处的切线在 x 轴上的截距为一 2，在 y 轴上的截距为 2，求 a 与 b 的值（2）若对任意 ，都存在 （e 为自然对数的底数） ，使得 成立，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ， （2）【解析】【分析】（1）先求导得到 ，由 ，曲线 在点 处的切线方程为，求出直线在坐标轴上的截距可得得到与 的值 ；（2）令，问题转化为在 上 有解即可，亦即只需存在，使得 即可，连续利用导函数， 然后分别对 ，
24、，看是否存在 ，使得 ，进而得到结论.【详解】 （1） ，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 切线在 y 轴上的截距为 2， ，又切线在 x 轴的截距为 （2）解法一：令 ，则 为关于 b 的一次函数且为增函数.根据题意，对任意 ，都存在 ，使得 成立，则 在好有解，令 ，令 ，第页 18在 上单调递增， ， 当 ，即 时， ，即 在 上单调递增，不符合题意.当 ，即 时， .若 ，则 ，所以在 上 恒成立，即 恒成立.在 上单调递减.存在 ，使得 ，符合题意.若 ，则 .在 上一定存在实数 m，使得 .在 上 恒成立，即 恒成立， 在 上单调递减，存在 ，使得 ，符合题意.综上所述，当 时
25、，对任意 ，都存在 ，使得 成立. 解法二： ，设 ，在 上单调递增，且 ，当 ，即 时，.此时 ，在 上恒成立，即 在 上单调递增.若存在 ，使得 成立，则 ，即 恒成立.，则 时不成立， 不成立.当 ，即 时， .此时，（i）当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递减 .存在 ，使得 成立.（ii）当 时，则存在 ，使得 成立，在 上单调递增，当 时， ，则 在 好单调递减.第页 19，故在 内存在 ，使得 成立.综上，满足条件的 a 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数证明不等式能成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.
