1、2019/4/18,第八章 离散控制系统,8.1 引言 8.2 z变换和z反变 8.3 脉冲传递函数 8.4 离散系统数学模型 8.5 离散系统性能分 8.6 数字控制器设计,2019/4/18,8.1 绪言,一、连续系统与离散系统 连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。 离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。 连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。 离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通过对连续信号采样得到的，故又称采样信号。,2019/4/18,二、采样过程与采样定理 将连续信号变为离散信号的过程称为采样过程，这一过程是通过采样开关来实现的。,2019
2、/4/18,采样开关每经过一定的时间T闭合一次，每次闭合的时间为 ， ，T为采样周期。由于采样持续时间 远小于采样周期T，故可以认为 ，理想采样器。 采样过程可以看作一个脉冲调制过程，它能产生单位脉冲系列 ，用数学公式表达则为：,采样频率,采样角频率,2019/4/18,采样器的输出信号 为：在实际的控制系统中，通常当t0时，e(t)=0，因此，上式改写为：其拉氏变换为：,2019/4/18,由图可见，采样开关输出端的信号为脉冲信号，每个脉冲信号之后有一段无信号的时间间隔，该时间间隔内，控制系统实际上工作在开环状态。如果采样频率太低，包含在连续信号中的信息经过采样以后将丢失。 因此，有采样定理
3、如下： 在采样过程中，只有当采样频率 时，才能将采样后的离散信号 无失真地恢复为原来的连续信号e(t)。其中， 为连续信号频谱的最大带宽。,2019/4/18,三、信号恢复与保持器信号恢复就是将离散信号恢复为连续信号，它是通过保持器来实现的。保持器通过在采样间隔处插值来得到连续信号。根据外推原理的不同可分为零阶保持器和一阶保持器。 a)零阶保持器零阶保持器是采样恒值外推规律的保持器。它把前一个采样时刻nT的采样值e(nT)恒值地保持到下一个采样时刻(n+1)T它的输入信号和输出信号关系如图所示。,2019/4/18,零阶保持器的传 递函数为：b)一阶保持器 一阶保持器是按照线性规律外推的保持器
4、，其输出信号如图所示。,2019/4/18,四、数字控制的优点： 1，占用空间小； 2，成本低； 3，灵敏、抗干扰性强； 4，方便控制算法的重构与复用。在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设： 1，定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，采样时间为0，周期为T。 2，D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。本课程中假设保持器均为0阶保持器,2019/4/18,6.2 z变换和z反变换,传递函数是分析线性连续系统的有力工具，但对序列u*(t)和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，采用z变换则可
5、避免这一问题。 一、z变换的定义,若令 或 ，则这是一种由s平面到z平面的保角变换，可视为拉氏变换的一种特殊形式。,2019/4/18,二、z变换的求法 （一）级数求和法 将离散函数 展开如下然后逐项进行拉氏变换，可得,2019/4/18,【例1】求单位阶跃函数的z变换 解：对单位阶跃函数有 f(nT)=1 故,2019/4/18,【例2】求 的z变换 解：,2019/4/18,（二）部分分式法 若函数f(t)的拉氏变换可以展开位部分分式的形式对应的时间函数为 ，由例2可知，其z变 换为所以可得,部分分式 s域 时域 z域,2019/4/18,【例3】设连续函数的拉氏变换为 ,试求其z变换。
6、解：F(s)可展开为部分分式：故有：,2019/4/18,（三）留数计算法若连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及其全部极点 为已知，则可用留数计算法求其z变换。计算公式：,留数计算公式： 当F(s)具有一阶极点 时,2019/4/18,当F(s)具有q阶重极点时，留数计算公式为：【例4】求 的z变换 解：,2019/4/18,【例5】求f(t)=t的z变换 解： 为2阶重极点，其留数为：所以，,通分、化简,2019/4/18,5，复位移,三、z变换的性质：,1，线性,2，位移,3，初值,4，终值,（只有 时x(k)收敛情况下才能应用）,迟后定理，负偏移,2019/4/18,6，复微分7，差分
7、 后向 前向 8，卷积,2019/4/18,五、z反变换方法： 1，幂级数法（长除法） 例:适用于简单函数，但难以求闭式解。,2，部分分式法,3，留数法,2019/4/18,6.3 脉冲传递函数,若差分定义如上，则用差分表示动态系统中动态环节可得到系统的差分方程模型,取差分方程（前向）,在零初值条件下取z变换，得,则,2019/4/18,定义：线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序列的z变换与输入序列的z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或称z传递函数）,即,2019/4/18,6.4 离散控制系统数学模型,1，输入输出模型（脉冲传递函数）离散控制系统中，控制器是离散的，对象是连续的，
8、因而建立系统数学模型时应首先将连续部分离散化。对输入输出模型，即需要将连续部分传递函数变换为相应的脉冲传递函数。,2019/4/18,将连续部分离散化后，则需要根据各环节之间的关系得到总的脉冲传递函数或输出的z变换。 1，开环情况,(a)种情况，串联环节间有同步采样开关，则,2019/4/18,(b)种情况，串联环节间无同步采样开关，则,通常：,2019/4/18,2, 闭环情况,2019/4/18,【例6】图示系统，输入序列u(k)经过零阶保持器后去控制对象 ，所用零阶保持器传函求系统脉冲传递函数。,其中第4种情况分离不出R(z)来构成脉冲传递函数。,解：,2019/4/18,对于G1(s)
9、=(1-e-Ts)上述内容未提及如何离散化，但注意到它是 的拉氏变换，0，T中为0，故G1*(s)=G1(s), 从而,由此可以得到关于z变换的一个有用的定理: 若W(s)所对应的z变换是W(z)，则 所对应的 z变换是,2019/4/18,解：,【例7】闭环离散系统如图所示，试求其脉冲传递函数和单位阶跃响应。,2019/4/18,若r(t)=1(t), 则,由长除法,2019/4/18,6.5 离散系统性能分析,一、离散系统的稳定性分析 1 s平面和z平面的映射关系设复变量,2019/4/18,2 线性离散系统的稳定条件 设线性离散系统的闭环脉冲传递函数为D(z)=0为系统的特征方程，其根为
10、 则稳定条件为：系统特征方程的所有根（闭环脉冲传递函数的极点）均位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，即3 劳斯判据在离散系统中的应用,2019/4/18,当特征方程阶次较高求根不易时有以下实用判据： Routh判据应用于离散系统 保角变换（双线性变换，一一映射）可将w平面的左半平面映射为z平面中的单位圆。 即令则或令则,2019/4/18,经过此变换后，设系统极点在w平面、z平面分别满足Dw(w)=0、Dz(z)=0，则以下三个命题等价： 1，系统极点Dz(z)=0均在单位圆中； 2，系统极点Ds(w)=0均在w平面左半平面 3， Dw(w)=0满足Routh判据。 从而可将Routh判据应用
11、到离散系统中。 【例8】 试求图示离散闭环系统稳定时的K值范围。,2019/4/18,解：T=1时则引入 ，得应用Routh判据，欲使系统稳定，应有2.74-0.63K0 0.63K0 ，即0K4.35 取T=0.1，得 0K40,2019/4/18,二、离散系统稳态误差计算离散系统如图所示，则误差传递函数 若闭环系统稳定，则由z变换终值定理将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：若系统开环脉冲传递函数Go(z)中含有i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型系统。,2019/4/18,1r(t)=1(t)时若定义 ，则 对1、2型系统易知 ，故 Kp ess 0型 1型 2型,2
12、019/4/18,2 r(t)=t*1(t)时若定义 ，则Kv ess 0型 0 1型 2型,2019/4/18,3r(t)=0.5t2*1(t)时若定义 ，则 令 ，则Ka ess 0型 1型 2型,2019/4/18,说明：1，有差系统的稳态误差除了与开环传递函数和输入有关外，还与采样周期有关； 2，上述结果仅为采样时刻稳态误差，采样时刻间还将有纹波。,2019/4/18,三、离散系统动态响应分析 若典型输入信号为1(t)，则故,2019/4/18,设其中A0为阶跃响应稳态值，其余为暂态过程。 1， 正实数极点 单调发散单调衰减等幅序列,2019/4/18,2，负实数极点， ，振荡频率发散
13、振荡衰减振荡等幅振荡 3，共轭复极点， ，ri1时为衰减振荡，振荡频率,2019/4/18,* 稳定系统的动态性能指标往往由一对靠近单位圆的主导复极点支配（其余极点则远离单位圆）。希望主导极点分布于右半圆、离原点不太远、与实轴夹角适中。 * 零点对动态性能的影响是影响有关极点所对应的动态分量大小（留数）。 * 降低采样周期对提高动态性能有效。 最少拍系统： 分析离散系统极点均在原点时情况。由s平面与z平面的变换关系知，z平面原点对应于s平面左半平面无穷远处，则,2019/4/18,对上式反变换，得到冲激序列该冲激序列共有(m+1)个脉冲，这种情况下系统具有最短的过渡过程。这种n个极点均在原点的
14、离散系统称为时间最小或最少拍系统。可以证明，除冲激输入外，其它典型输入的过渡过程输入也为m个采样周期。,2019/4/18,【例9】系统闭环脉冲传递函数为 求单位阶跃输入时系统的动态过程。 解：则 y(0)=0, y(1)=2, y(2)=1, y(3)=1, 由图知，,2019/4/18,四、离散系统的根轨迹 如右图所示离散控制系统， 设其开环脉冲传递函数为系统的特征方程：1G(z)=0 或 G(z)=-1 由此可得幅值条件和相角条件：即为绘制离散系统根轨迹的两个基本条件。,2019/4/18,【例10】设图中离散系统的脉冲传递函数为采样周期T0.5s，试绘制其根轨迹并确定临界稳定的K值。
15、解：两个极点： 一个零点：z0 两条根轨迹的分支一条趋向于z0,一条趋向于 处。 渐近线角度为180度。,2019/4/18,由,即为根轨迹的分 离点与汇合点 根据离散系统 判断稳定的条件即为临界稳定点， 此点的K值可由幅值条件求得：,2019/4/18,6.6 数字控制器设计,如图，若将A-B以下视为连续系统，则系统变为连续系统。若将AB以上视为离散系统。,2019/4/18,1，模拟化设计方法 若采样频率比系统工作频率高得多（ ），忽略采保引入的影响，可将离散部分用连续控制器代替，用模拟化方法设计得模拟控制器 后，再用适当方法（如双线性变换）离散化得到Gc(z)以便用微机实现。关于系统的截
16、止频率和采样频率关系不一定总满足，这种方法有时有较大误差，此处不再展开。 2，数字化设计方法 采用数字化设计方法，可不忽略采保影响。其思路为首先将连续部分离散化，然后与数字控,2019/4/18,制器Gc(z)串联，把整个系统作为完全的离散系统按数字化方法设计。 A，最少拍控制系统的z域设计法如图系统Gp(z)包含零阶保持器和被控对象， Gc(z)为数字控制器的脉冲传递函数。则,2019/4/18,设 代表不同的典型输入，若最少拍系统使系统稳态误差为0，则式中MN，F(z)为不含(1-z-1)因子的z-1多项式，通常取M=N, F(z)=1, 则式中B(z)为阶次为（N-1）的z的多项式。则,2019/4/18,为Gc(z)可实现，设n、m分别为对象Gp(z)分母和分子多项式阶次，则 或 也就是说，对象极点数只能比零点数多1，否则F(z)=1时Gc(z)不可实现。这种情况下要实现Gc(z)必须使 ，此处不再展开。 例7 系统如图所示，Gh(s)为零阶保持器，,设采样周期T=1s，当输入为速度信号时，按最少拍设计数字控制器Gc(z)。,2019/4/18,则单位速度输入作用下有,解：系统连续部分的脉冲传递函数为,对速度信号，最少拍系统的闭环脉冲传递函数为,因n=2, m=1, Gc(z) 可实现，则,2019/4/18,单位阶跃输入作用下有,
