1、1.8 函数的连续性,一、函数的连续性,1.函数的增量,设函数 y=f(x)在U(x0，)内有定义, 当自变量x 从x0变到x0+x时，y相应地从f(x0)变到f(x0+x) ，则称y=f(x0 +x)f(x0)为函数 f(x)相应于x的增量.,定义1: 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义, 如果,或,那么, 就称函数f(x)在点x0连续, x0称为f(x)的连续点.,2.连续的定义,定义2: 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义, 如果,那么就称函数f(x)在点x0连续.,可见 , 函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定义 ,存在 ;
2、,3.单侧连续,若函数f(x)在(a, x0内有定义, 且 f(x00) = f(x0), 则称函数f(x)在点x0处左连续.若函数f(x)在x0, b)内有定义, 且 f(x0+0) = f(x0), 则称函数f(x)在点x0处右连续.,定理: 函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处既右连续又左连续.,例2:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.,4.连续函数与连续区间,在开区间上每一点都连续的函数,叫做在开区间上的连续函数,或者说函数在开区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,如果函数f(x)在开区间(a, b)内连续, 并且在左端点x=a处右连续,
3、 在右端点x=b处左连续, 则称函数f(x)在闭区间a, b上连续.,例3: 证明函数y=sinx在区间(-, +)内连续.,解:,右连续但不左连续, 函数f(x)在x=0处不连续.,二、函数的间断点,函数f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件: (1) f(x)在点x0处 有 定义;,则称函数 f(x)在点x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f(x) 的不连续点(或间断点).,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,无,则有下列情,形之一：,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可
4、去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,=A,f(x0), 或f (x)在点x0处无定义,为其无穷间断点 .,为可去间断点 .,例如:,注意: 对于可去间断点, 只要改变或者补充间断点处函数的定义, 则可使其变为连续点.,例4:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.,例5:讨论函数f(x)在x=1处的连续性.,注意: 对于可去间断点, 只要改变或者补充间断点处函数的定义, 则可使其变为连续点.,例6:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.,无穷间断点.,x=0为函数f(x)的第二类间断点.,振荡间断点.,例8: 当a取何值时, 函数,在x=0处连续.,解: 因为f(0)
5、=a, 且,要使函数f(x)在x=0处连续, 当且仅当f(00)=f(0+0)=f(0),从而,当且仅当a =1时, 函数f(x)在x=0处连续.,例9: 讨论函数,的连续性. 若有间断点判别其类型, 并作出图形.,解:,故:,当|x|1时,当|x|1时,当|x|=1时,除x=1外函数f(x)连续. 当x=1时,f(10)=1, f(1+0)= -1; f(-10)=1, f(-1+0)= -1.,所以x=1都是函数f(x)的跳跃间断点., 狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值函数连续.,注意:
6、 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,其他,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,3. P64 题 2 , P65 题 5,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,P65 题5 提示:,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,判断下列间断点类型:,备用题,若函数f(x)在点x0处连续, 则| f(x) |, f 2(x)在点x0处是否连续? 又若| f(x) |, f 2(x)在点x0处连续,则 f(x)在点x0处是否连续?,因函数f(x)在点x0处连续,解答,且,故| f(x) |和 f 2(x)在点x0处都连续.,反之不成立. 例如:,在x0=0处不连续. 但| f(x) |, f 2(x)在点x0=0处都连续.,
