1、第四章 解的存在性与连续性,4.1 连续性的概念,4.1.2 对应的连续性,下面是对教材进行部分替换的内容及相关插补内容,集值映射,集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究需求与供给问题。与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系。事实上，多值函数就是集值映射的一种形式。带歧视的价值函数就是一种集值映射。消费预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。 现实经济生活中，集值映射也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一
2、个都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中之一。这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性。 又如，抛物线 y = 4x 所表达的变量 y与x之间的关系就是集值映射： 。 关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里，我们只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。,(一) 集值映射的概念,定义 设 E 和F 是两个集合。如果对 E 中每个元素x，都有F 的子集 (x) 与之对应，则称这种对应关系为从 E 到F 的集值映射(set-valued map)，简称集映，记作 : E F 。如果集映 : E F 满足条件：(xE )( (x) )，则称
3、: E F 为对应(correspondence)。,x, (x), : E F,E,F,补例1(预算对应) 集合 E, F 如下:E = ( p1, p2, r): ( p10)( p2 0)(r0)F = ( x1, x2): (x10)(x2 0)对任何 ( p1, p2, r)E，与之对应的F 的子集为 ( p1, p2, r) = (x1, x2)F : ( p1 x1 + p2 x2 r)。则这一对应关系就,是一个集值映射，并且是对应。我们可把 ( p1, p2)看成价格向量，把 r 看成收入，则集合 ( p1, p2, r)就是支付不超过收入的消费方案的全体预算集合，因而通常把
4、: E F 称为预算对应。, ( p1, p2, r),补例2(集族) 通常的集族就是集映。比如，集族ZttT 实际上是集映 Z: T F，其中 F = Zt，Z(t) = Zt(对一切 tT )。,tT,x1,x2,1.看作多值映射,通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个，甚至无限多个。,补例3. 带人员歧视的价值函数用 x 表示商品Q的数量，则下述集值映射 v : R+ R+ 是一种带有人员歧视的价值函数：v(x) = x, exp(x) 1,
5、 ln(1+ x) ( x 0)。这是一个多值函数。补例4. 反三角函数经常使用的各种反三角函数都是多值函数，它们就是集值映射。比如，反正玄函数 Arcsin(x) 是从闭区间 1, 1 到实数直线 R 的集值映射，即Arcsin : 1,1R, 其中 Arcsin(x) = 2k +arcsin(x): k = 0, 1, 2, (2k+1) arcsin(x): k = 0, 1, 2,。,v,x,x,v(x),x,exp(x)1,ln(1+ x),x,x,y,Arcsin(x),补例5. 经济系统集映社会经济系统本身就是一个集值映射 : AR，其中 A代表经济人的全体，R 是商品空间，
6、(a)代表经济人 a 的选择集合(商品空间的子集)。经济制度及法律法规都能通过集映 : AR 得以体现。,2.看作单值映射,也可把集值映射 : EF 看成是一种单值映射 : EP(F )，其中P(F )是 F 的幂集(power set)，即由集合 F 的一切子集所构成的集合。这种看法的好处在于, 与 x 对应的元素 (x)被作为一个整体来看待，而不再像多值映射那样把 (x)看成是对应于x的多个元素。 当把集值映射看成是单值映射时, 集值映射 : EF 实际上代表着一个集族 (x)xE，也就是说，集映 : EF 与集族 (x)xE是同一回事。,F,E, (x),x,把集值映射看成单值映射的又一
7、个好处在于, 当E和F为拓扑空间时, 我们可以给幂集合P(F )赋予适当的拓扑结构，从而可以像单值映射那样来研究集映。,都是本质集映, 例4是非本质集映。对于本质性集映，采用如下的集合论观点看待，将会给分析带来方便。,3.看作乘积集合的子集,G( ),x, (x),F,E,集映的图像,集映 : E F 可看作是积集合 EF 的子集G( ) = (x, y)EF : y (x)。集合G( )叫做 : EF 的图像。不同集映的图像是不同的，集映与它的图像之间一一对应，因而可把集映与其图像等同看待。,这样, 单值映射 f 与集值映射 表达了相同的对应关系。可见，我们更应该关心本质性集值映射 : E
8、F：存在x, yE使得 x y且 (x) ( y) 。前面的例1,3,5,集值映射可以区分为本质性和非本质性两类。所谓非本质集映 : E F，是指 (x) (xE)互不相交，即对任何x, yE，只要xy，就有 (x) ( y) = 。事实上，如果 : E F 是非本质集映, 那么 必然是某个单值映射 f :FE 的逆映射：(zF )(x = f ( z)( z (x)。, (x), ( y),x,y,E,F,非本质集映,(二) 各种类型的集映,E 的子集 K 在集映 : E F 下的像集是指集合 K ： K = (x) = yF : (xK )( y (x)1. 开集映：设 E与F 都是拓扑空
9、间。如果集映 : E F 的图像G( )是积空间 EF 的开子集，则称 : E F 为开集映。 2. 闭集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映 : E F 的图像G( )是积空间 EF 的闭子集，则称 : E F 为闭集映。 3. 开集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的开子集，则称 : E F 为开集值集映。 4. 闭集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的闭子集，则称 : E F 为闭集值集映。 5. 紧集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的紧子集，则称 :
10、E F 为紧集值集映。 6. 凸集值集映：设 E 为任一集合，F 为向量空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的凸子集，则称 : E F 为凸集值集映。,xK,教材上相关表述为：,(三) 集映的连续性,设 E和F 都是拓扑空间， : E F， xE。,（1） 上半连续性 在点 x 处上半连续是指：对于F 中任何包含 (x) 的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得 U V 。如果 在 E 中的任何点处都是上半连续的，则称 是上半连续的集映。,（2） 下半连续性 在点 x 处下半连续是指：对于F 中任何与 (x)相交的开集V ，都存在 x 的邻域 U 使得 (zU )( (z)V )。如果
11、在 E 中的任何点处都是下半连续的，则称 是下半连续的集映。,E,F, (x),U,V,上半连续,下半连续,x,F,E,U, (x),x,V,（3） 连续性 在点 x 处连续是指 在点 x 处既上半连续，又下半连续。如果 在 E 中的任何点处都是连续的，则称 是连续集映。,V,U,U,集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。 的上半连续性是说 (x)不会突然膨胀框得住； 的下半连续性是说 (x)不会陡然收缩粘得住。,1.集映连续性的意义,V, (x), (x),x,x,粘不住,框不住,在 x 处上半连续，但不下半连续,在 x 处下半连续，但不上半连续,定理 设 : E F，xE，
12、E R ，F R ，m 和 n 都为自然数。 如果 是闭集值集映且 E 是有界的，则 上半连续当且仅当 是闭集映。 若 (x) 是闭集且存在 x 的邻域U 使得 U 有界，则 在 x 处上半连续当且仅当对任何 yF 以及任何序列 xkE 和 yk (xk) ( k = 1,2,)，当 xk x ( k ) 且 yk y ( k ) 时，y (x)。 在 x 处下半连续当且仅当对任何 y (x) 及 E 中任何收敛于 x 的序列xk ( k = 1,2,)，存在F 中收敛于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使得 yk (xk) ( k = 1,2,)。 如果 是闭集值的闭集映且存在 x
13、的邻域U 使得 U 有界，则 在 x 处上半连续。,2.集映连续性的判别,n,m,本定理为研究集值映射提供了极大的便利。其中的结论(4)直接从(1)得到，它比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的。,补例6 移动通讯需求,信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中国，手机的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯业的竞争也迅速展开。我们来分析一下移动通讯市场的需求情况。假定市场上有两家公司A和B(比如联通公司和移动公司)在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。p1：公司A的话费(元/分种)。p2
14、：公司B的话费(元/分种)。x1：消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟)。x2：消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟)。r：消费者准备用于支付话费的收入。这样，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示着消费者的通话选择：使用网络A通话 x1分钟，使用网络B通话 x2分钟。这样，消费者的消费集合便为 。,(1) 偏好关系的确定,既然两家提供的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况下，不论是用谁的网络服务，对消费者来说都是一样的。因此，消费者移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定的： (x, yX)( (x1, x2) ( y1, y2) (x1+x2 y1+y2) ),即消
15、费者认为，移动通话的总时间越多越好。这样，无差异曲线为直线： x1 + x2 = U (0 U )通话向量 x = (x1, x2) 的话费为：px = p1x1 + p2 x2预算集合为： ( p, r) = xX : px r,下面来找出 ( p, r)中所有最好的通话向量，即确定移动通讯需求 D( p, r)。为此，对任何( p, r)，可按照 p1 p2、p1 p2、p1 = p2 三种情形分别讨论。,x1,x2,o, ( p, r),无,差,异,曲,线,(2) 移动通讯需求的确定,我们通过图示来直观地说明移动通讯需求的确定。,可见，在两家公司提供的服务相同的情况下，话费价格低的公司完
16、全占领市场。小灵通公司正是看到了这一特点，在2002年果断采取降价策略，在中国移动通讯市场上一举获得成功。,r/p2,x1,r/p1,px = r,D( p, r),(1) p1 p2的情形,(2) p1 p2的情形,(3) p1= p2的情形,通话时间 越多越好, ( p, r), ( p, r),通话时间 越多越好,通话时间 越多越好,D( p, r),D( p, r),x1,x1,x2,x2,x2,r/p2,r/p2,r/p1,r/p1,o,o,o, ( p, r),r/p2,为此，任意给定收入r 0和价格 ，选一个开球V使得 。则对包含 p的任何开集U以及U中这样的点 p = ( p1
17、, p2)：p1 p2，都有D( p, r)V = 。故D( p, r)在( p, r)处不是下半连续的。,(3) 移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性,移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此移动通讯需求集映 D( p, r)是上半连续的。但它不是下半连续的，这一事实的证明思路是去证明在 p1 = p2 0 的地方D( p, r)不下半连续。,x1,x2,o,o,V,p,p1 p2,D( p, r),w,D(w, r),w1 w2,D( p, r)V =, =V D(w, r),价格空间,消费集合,4.2 解的性质,4.2.1 解的存在性,例4.5-例4.9见教材P80P81(请课外自己验证）,4.2.3 解的凹凸性,最大值定理不仅能判断最优化问题有解的条件，而且能够用,
